Eigenvektoren orthonormal allgemein

23.06.2011, 21:04

felix&ralf

Eigenvektoren orthonormal allgemein

Meine Frage:
Meine angabe lautet:

Sei A eine symmetrische (n x n)-Matrix. Für die Eigenvektoren von A gilt:
Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, stehen aufeinander
normal.

Meine Ideen:
Ich frage mich ob ich das allgemein beweisen und muss und wenn ja, reicht dieser beweis? oder wie sollte mand as sonst beweisen

$\begin{eqnarray*} v1 * v2 = 0 v_{1}\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} *v_{2}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = 0 -ab + ab = 0 \end{eqnarray*}$
also sind die vektoren orthonormal?

23.06.2011, 21:18

Mandelbrötchen

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Du solltest das etwas strukturierter aufschreiben.

Was sind $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,a,b \end{eqnarray*}$ eigentlich?

Und was soll das was drunter steht bedeuten?

23.06.2011, 21:22

felix&ralf

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naja v1 und v2 sind vektoren aus den verschienden Eigenwerten der matrix habe ich mir vorsgestellt und die vektoren bestehen aus diesen ab

bzw ehrlich gesagt weiß ich eh nicht genau was ich da machen soll
weil ich die angabe eben nicht ganz genau verstehen verwirrt

23.06.2011, 21:33

Mandelbrötchen

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Du weißt aber was Eigenvektoren und Eigenwerte einer Abbildung bzw. einer Matrix sind oder?

Kannst sicher was mit der Definition anfangen:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M(n,n;\mathbb R) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Eigenwert von Matrix $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow \; \exists v \in \mathbb R^n v\ne 0 \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$ .

Nun ja, was du zeigen sollst ist doch folgendes:

Wenn du zwei Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ zu zwei verschiedenen Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$ nimmst (hier ist es sicher auch interessant sich kurz zu überlegen aus welchem Körper die denn stammen), dann stehen die orthogonal zueinander.

Was es heißt, dass sie orthogonal zueinander sind, hast du ja schon geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \left<v_1,v_2\right>=v_1^T v_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Was du dir jetzt überlegen könntest ist Folgendes:

Was gilt für $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1^Tv_2 \end{eqnarray*}$ ? (Tip: Verwende hier, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ist)

23.06.2011, 21:44

felix&ralf

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aber ist es erlaubt dass ich mir einfach die werte für v1 und v2 so wähle?

und ich denke für

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}v_{1}^t v_{2} \end{eqnarray*}$

würde rauskommen

$\begin{eqnarray*} -a\lambda_{1}b + b\lambda _{1} a \end{eqnarray*}$

aber das verwirrt mich jetzt ein bisschen, jetzt weiß ich nicht was da rauskommt

23.06.2011, 22:03

Mandelbrötchen

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Zunächst einmal:

Es ist nicht unbedingt richtig, dass du deine Eigenvektoren als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreibst, denn so eine Aufteilung ist nicht zwingend gegeben.
Es ist außerdem nicht nötig für den Beweis etwas über das Aussehen der Eigenvektoren zu wissen.

Die Sache ist auch die:

A ist eine symmetrische $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, d.h. sie ist orthogonal ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Was das heißt ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \exists S \in O(n) \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} S^TAS=S^{-1}AS=D \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eben erwähnte Diagonalmatrix mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.

Soweit sollte dir das erst mal klar sein.

Dann geht es weiter - und ich beantworte gleich deine erste Frage.

Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ orthogonal ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann man ja sagen, dass das charakteristische Polynom von A in Linearfaktoren zerfällt und zusätzlich gilt, dass die algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts übereinstimmen (da A diagonalisierbar ist).

Das heißt es gibt mindestens einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und dazu dann logischerweise auch einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ (das gibt die Definition des Eigenwerts her).
Um deine Frage zu beantworten: Ja man kann einfach so einen Eigenvektor wählen.

Nun nehmen wir doch mal an, es gibt nur einen Eigenwert (ein einfaches Beispiel hierfür wäre die Identität). Dann gibt es nichts zu zeigen, denn die Aussage die du zeigen sollst fordert mindestens zwei Eigenwerte.

Also nehmen wir im Folgenden doch an, dass mind. zwei Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$ existieren, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \ne \lambda_2 \end{eqnarray*}$ .

Zu beiden kannst du dir einen Eigenvektor wählen.

Überlege dir doch mal wie du $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1 \end{eqnarray*}$ noch schreiben kannst. Wie schon gesagt solltest du dir hierzu genau die Definition des Eigenwerts durchlesen und beachten, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ist.

23.06.2011, 22:29

felix&ralf

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puh, wie ich das anders schreiben könnte.. da fällt mir nur ein:
$\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$

meinst du das? und dan umformen auf
$\begin{eqnarray*} Av - \lambda v = 0 \end{eqnarray*}$

oder auf was willst du genau hinaus..bin da ein bisschen überfordert verwirrt

und ehrlich gesagt das mit dem Diagonalisieren sagt mir überhaupt nichts, weil ich das was da steht noch nie gelesn hab und nicht versteh was das überhaupt bedeuten soll

und prinzipiel würde das was ich am anfang geschrieben habe für die prüfung als antwort reichen?

23.06.2011, 22:43

Mandelbrötchen

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Ja genau, $\begin{eqnarray*} Av_1=\lambda_1 v_1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt überlege dir, wie du die Gleichung abändern musst, um auf $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1^T \end{eqnarray*}$ zu kommen. (Tip: Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ )

Nein, mein ich nicht, denn du hast ja dann eine Differenz dastehen, das nutzt uns ja aber erst mal für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1^Tv_2 \end{eqnarray*}$ nicht direkt was.
Was da steht ist zwar nicht falsch, es bringt uns aber erst mal nicht weiter.

Du kennst Eigenwerte, Eigenvektoren, weißt, wann Vektoren orthogonal zueinander sind, weißt aber nicht, wann eine Matrix diagonalisierbar ist?

Hmm... das ist seltsam. In welchem Semester bist du denn und was studierst du? Dachte eigentlich, dass man zumindest Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit fast in einem Atemzug im ersten Semester behandelt.

Das was du am Anfang geschrieben hast reicht meiner Meinung nach nicht mal annähernd für die Prüfung.
Denn das was du schreibst ist schlichtweg so nicht richtig.

Es sollte schon ein ordentlicher Beweis her. Der ist nicht lang und eigentlich auch nicht schwer zu verstehen, wenn man denn das Themengebiet Matrizen und Eigenwerte/Eigenvektoren schon ein wenig behandelt hat.

Wenn du eine Antwort auf die Frage oben hast sind wir schon fast am Ziel, dann ist es nicht mehr viel bis du deine Aussage dastehen hast.
Also nur Mut, so schwer ist das nicht Freude

23.06.2011, 23:08

felix&ralf

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ich hab jetzt mal etwas über diagonal matrizen gelesen und
als zusammenfassung steht da eine (n x x) matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten ist ähnlich zur diagonalmatrix

das heßt
cih könnte es beweisen mit vektoren der diagonalmarix?
und zwar
$\begin{eqnarray*} v1\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} * vn\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nd somit wäre dan
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*0 + 0 * \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$

oh gott ich hoffe so sehr dass das stimmt xD

23.06.2011, 23:43

Mandelbrötchen

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Das was du gelesen hast stimmt, das ist aber nur ein spezieller Fall, in dem die Matrix n paarweise verschiedene Eigenwerte hat.

Was auch immer du mit "Vektoren der Diagonalmatrix" meinst,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v1\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} * vn\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das hier ist so nicht richtig.

Warum verwendest du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Das macht so nicht wirklich Sinn, denn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_1\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist ein "Produkt" aus zwei Vektoren und Vektormultiplikation ist auf einem Vektorraum grundsätzlich erst mal nicht definiert. Du kannst höchstens das Skalarprodukt verwenden.

Wir sollten auch an dieser Stelle einmal klären, was du mit $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ meinst. Ich fasse das als Skalarprodukt auf. Du verwendest es wechselnd als Skalarprodukt (hoffentlich bewusst) und als Produkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Hier solltest du unterscheiden indem du einmal " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " und einmal " $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ " schreibst.

Wie oben schon erwähnt versteh ich nicht wirklich, was du mit deinem Ansatz zeigen willst, bzw. wie du auf deine Folgerung kommst.

Versuche doch mal wirklich dich an den Hinweis zu halten den ich dir gegeben habe. Der ist sicherlich nicht umsonst.

26.06.2011, 23:02

melmaus

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Hat jemand schon ein Ergebnis für diese Frage, weil ich habe nämlich genau die gleiche, aber ich habe hier eine allgemeine Herleitung, aber ich verstehe sie nicht genau, vielleicht kann sie mir ja jemand erklären:

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \vec{v}_{l} \end{eqnarray*}$ ein zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_{l} \end{eqnarray*}$ gehörender Eigenvektor und $\begin{eqnarray*} \vec{v}_{k} \end{eqnarray*}$ ein zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_{k} \end{eqnarray*}$ gehärender Eigenvektor, mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{l}\neq \lambda_{k} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_{l}^{t} A \vec{v}_{k} = \vec{v}_{l}^{t} A^{t}\vec{v}_{k} \end{eqnarray*}$

jetzt kommt die Prüfung, da habe ich probleme das zu verstehen

$\begin{eqnarray*} \lambda_{k}\vec{v}_{l}^{t} \vec{v}_{k} = (\vec{v}_{l}^{t}A^{t}) \lambda_{k} \end{eqnarray*}$ hier schon mal woher das lambda aufeinmal kommt und warum man das jetzt dan in Klammer schreibt

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_{l}^{t} \lambda_{k} \vec{v}_{k} = (\lambda_{l}\vec{v}_{l})^{t}\vec{v}_{k} \end{eqnarray*}$ und warum hier auch das A zu einem lambda wird versteh ich auch nicht

$\begin{eqnarray*} (\lambda_{k} - \lambda_{l}) \vec{v}_{l}^{t}\vec{v}_{k}= 0 \end{eqnarray*}$ diesen sschritt versteh ich am wenigsten wie da umgeformt wurde dass sowas rauskommt

Ich hoffe es kann mir bitte jemand helfen.
lg, Mel

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