Maximum-Likelihood-Schätzer für Gleichverteilung |
23.06.2011, 21:35 | hoaxhoax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Maximum-Likelihood-Schätzer für Gleichverteilung Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Sei mit unabhängigen Zufallsvariablen X_i, die gleichverteilt mit sind, wobei q aus N und r=q,q+1,... Ich möchte jetzt den ML-Schätzer für q bestimmen. Meine Ideen: Das Maximum der Funktion lässt sich hier nicht durch Logarithmieren bestimmen und jetzt weiß ich nicht. Wie kann ich hier also dem ML-Schätzer andersweitig erhalten? |
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24.06.2011, 08:57 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde das erstmal umschreiben. Wenn r = q ist, dann ist Und jetzt hat man auch die Gleichverteilung auf [1,q+1] (nat Zahlen). Die exakte, und das ist wichtig, Wahrscheinlichkeitsfunktion ist Bei dieser Aufgabe wird eigentlich immer der 0-Teil vergessen , ohne den das Ganze aber nicht lösbar ist. Dann ist natürlich : Schritt 1 : Überlege Dir , wo die Likelihoodfunktion überall 0 ist. Schritt 2 : Zeige, dass ab dem Punkt wo sie nicht mehr 0 ist, die Funktion monoton fällt. Daraus kannst Du das Maximum dann ableiten. |
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24.06.2011, 09:05 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mazze Ich denke, du hast dich durch die falsche Wortwahl von hoaxhoax irritieren lassen: Statt "die sind unabhängig und gleichverteilt" sollte da wohl eher "die sind unabhängig und identisch verteilt" stehen. Die genannte Verteilung für ist durchaus eine passende diskrete Verteilung, nur eben keine Gleichverteilung. |
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24.06.2011, 09:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, danke . In dem Fall wäre die exakte Verteilungsfunktion : Die Argumentation bleibt aber tatsächlich die Gleiche. Schaue nach wo gleich 0 ist, und wie sich diese Funktion ausserhalb verhält. |
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24.06.2011, 09:27 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach der von hoaxhoax muss ich jetzt auch deine Wortwahl kritisieren: ist eine (diskrete) Dichtefunktion, keine Verteilungsfunktion. Letztere wäre (obwohl hier gar nicht benötigt) . Nach diesen oberlehrerhaften Einsprüchen möchte ich dir allerdings hier im Thread nicht weiter ins Handwerk pfuschen. |
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24.06.2011, 10:52 | hoaxhoax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Antworten. Ich habe nochmal ein bisschen rumprobiert und bin jetzt auf folgendes gekommen: wobei das letzte Produkt gleich 1 ist, genau dann wenn . Da , gilt jetzt . Weiter ist jeder Faktor vom ersten Produkt kleiner Eins, d.h. L(q) ist auf jedem Intervall monoton fallend. Damit wiederum nimmt L(q) sein Maximum für q=1 an? Kann das sein? Ich hätte erwartet, dass der Schätzer von q auf jeden Fall von den abhängt... ?! |
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24.06.2011, 11:08 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du denn auf diese Schnapsidee? L(q) wird doch größer, wenn q größer wird. |
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24.06.2011, 11:10 | hoaxhoax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, da denke ich doch, dass meine Behauptung gilt. Prost! |
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24.06.2011, 11:15 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du solltest bedenken, dass die gegeben sind. Das ist deine Stichprobe. Variabel ist q, das du schätzen sollst. Prost! |
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24.06.2011, 11:32 | hoaxhoax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie steht das im Widerspruch zu meiner vorherigen Aussage? Ich meine wenn ich q bestimmen soll und ich habe nur die x_i und ich weiß aus der Aufgabenstellung, dass diese x_i größer gleich meinem q sind, wieso ist das dann eine Schnappsidee? Du kannst mich auch konstruktiv in die richtige Richtung schicken... |
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24.06.2011, 11:41 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du weißt, dass die größer oder gleich dem gesuchten q sind, weißt du auch, dass q kleiner oder gleich dem kleinsten der ist. Mach dir mal ein Beispiel: n = 3 , , Jetzt schreib dir L(q) auf. Der erlaubte Bereich für q ist 1, 2, 3, 4. Welches q maximiert L? |
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24.06.2011, 11:51 | hoaxhoax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja okay, das Maximum liegt am rechten Rand, d.h. L(q) wird maximal für q=min{x_i}. Jetzt weiß ich auch, was Du mit Schnapsidee meintest; q^n ist JA SOWAS von monoton fallend Danke |
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24.06.2011, 11:55 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Solche Gehirnblockaden sind mir nicht fremd. |
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