Maximum-Likelihood-Schätzer für Gleichverteilung

23.06.2011, 21:35

hoaxhoax

Maximum-Likelihood-Schätzer für Gleichverteilung

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} X=(X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ mit unabhängigen Zufallsvariablen X_i, die gleichverteilt mit

$\begin{eqnarray*} P_q(X_i=r)=\frac{q}{r(r+1)} \end{eqnarray*}$

sind, wobei q aus N und r=q,q+1,...

Ich möchte jetzt den ML-Schätzer für q bestimmen.

Meine Ideen:
Das Maximum der Funktion

$\begin{eqnarray*} P(X_1=x_1,...,X_n=x_n) = q^n * \prod_{i=1}^n\frac{1}{(x_i(x_i + 1))} \end{eqnarray*}$

lässt sich hier nicht durch Logarithmieren bestimmen und jetzt weiß ich nicht. Wie kann ich hier also dem ML-Schätzer andersweitig erhalten?

24.06.2011, 08:57

Mazze

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Ich würde das erstmal umschreiben. Wenn r = q ist, dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{q}{r(r + 1)} = \frac{1}{q + 1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt hat man auch die Gleichverteilung auf [1,q+1] (nat Zahlen). Die exakte, und das ist wichtig, Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

$\begin{eqnarray*} f_q(X) = \begin{cases} \frac{1}{1 + q} & x \in \{1,...,q+1\} \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe wird eigentlich immer der 0-Teil vergessen , ohne den das Ganze aber nicht lösbar ist. Dann ist natürlich :

$\begin{eqnarray*} L(q,x_1,...,x_n) = \prod_{i = 1}^n f_q(X_i = x_i) \end{eqnarray*}$

Schritt 1 : Überlege Dir , wo die Likelihoodfunktion überall 0 ist.
Schritt 2 : Zeige, dass ab dem Punkt wo sie nicht mehr 0 ist, die Funktion monoton fällt.

Daraus kannst Du das Maximum dann ableiten.

24.06.2011, 09:05

René Gruber

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@Mazze

Ich denke, du hast dich durch die falsche Wortwahl von hoaxhoax irritieren lassen: Statt "die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind unabhängig und gleichverteilt" sollte da wohl eher "die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind unabhängig und identisch verteilt" stehen. Die genannte Verteilung

$\begin{eqnarray*} P_q(X_i=r) = \frac{q}{r(r+1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r=q,q+1,\ldots \end{eqnarray*}$

ist durchaus eine passende diskrete Verteilung, nur eben keine Gleichverteilung.

24.06.2011, 09:14

Mazze

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Ah, danke

. In dem Fall wäre die exakte Verteilungsfunktion :

$\begin{eqnarray*} f(X_i = x) = \begin{cases} \frac{q}{x(1 + x)} & x \in \{q,q+1,... \} \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Argumentation bleibt aber tatsächlich die Gleiche. Schaue nach wo

$\begin{eqnarray*} L(q,x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^n f_q(X_i = x_i) \end{eqnarray*}$

gleich 0 ist, und wie sich diese Funktion ausserhalb verhält.

24.06.2011, 09:27

René Gruber

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Nach der von hoaxhoax muss ich jetzt auch deine Wortwahl kritisieren:

$\begin{eqnarray*} f_{X_i}(x) = P_q(X_i = x) = \begin{cases} \frac{q}{x(1 + x)} & x \in \{q,q+1,... \} \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist eine (diskrete) Dichtefunktion, keine Verteilungsfunktion. Big Laugh

Letztere wäre (obwohl hier gar nicht benötigt)

$\begin{eqnarray*} F_{X_i}(x) = P_q(X_i\leq x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<q \\ 1-\frac{q}{1 + \lfloor x\rfloor} &\mbox{für}\;x\geq q \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nach diesen oberlehrerhaften Einsprüchen möchte ich dir allerdings hier im Thread nicht weiter ins Handwerk pfuschen. Wink

24.06.2011, 10:52

hoaxhoax

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Danke für eure Antworten. Ich habe nochmal ein bisschen rumprobiert und bin jetzt auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} P_q(X_1=x_1,...,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{q}{x_i(x_i+1)} \prod_{i=1}^n 1_{\geq q}(x_i) =: L(q) \end{eqnarray*}$

wobei das letzte Produkt gleich 1 ist, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \min\{x_i; i=1,...,n\}\geq q \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , gilt jetzt $\begin{eqnarray*} q \in [1, \min\{x_i\}] \end{eqnarray*}$ .

Weiter ist jeder Faktor vom ersten Produkt kleiner Eins, d.h. L(q) ist auf jedem Intervall monoton fallend. Damit wiederum nimmt L(q) sein Maximum für q=1 an?

Kann das sein? Ich hätte erwartet, dass der Schätzer von q auf jeden Fall von den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ abhängt... ?!

24.06.2011, 11:08

Huggy

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Zitat:

Original von hoaxhoax
Weiter ist jeder Faktor vom ersten Produkt kleiner Eins, d.h. L(q) ist auf jedem Intervall monoton fallend. Damit wiederum nimmt L(q) sein Maximum für q=1 an?

Wie kommst du denn auf diese Schnapsidee? L(q) wird doch größer, wenn q größer wird.

24.06.2011, 11:10

hoaxhoax

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von hoaxhoax
Weiter ist jeder Faktor vom ersten Produkt kleiner Eins, d.h. L(q) ist auf jedem Intervall monoton fallend. Damit wiederum nimmt L(q) sein Maximum für q=1 an?

Wie kommst du denn auf diese Schnapsidee? L(q) wird doch größer, wenn q größer wird.

Nun, da $\begin{eqnarray*} x_i \in \{q, q+1, ...\}\ \ q \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ denke ich doch, dass meine Behauptung gilt. Prost!

24.06.2011, 11:15

Huggy

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Du solltest bedenken, dass die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gegeben sind. Das ist deine Stichprobe. Variabel ist q, das du schätzen sollst. Prost!

24.06.2011, 11:32

hoaxhoax

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Zitat:

Original von Huggy
Du solltest bedenken, dass die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gegeben sind. Das ist deine Stichprobe. Variabel ist q, das du schätzen sollst. Prost!

Und wie steht das im Widerspruch zu meiner vorherigen Aussage? Ich meine wenn ich q bestimmen soll und ich habe nur die x_i und ich weiß aus der Aufgabenstellung, dass diese x_i größer gleich meinem q sind, wieso ist das dann eine Schnappsidee?

Du kannst mich auch konstruktiv in die richtige Richtung schicken... Augenzwinkern

24.06.2011, 11:41

Huggy

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Wenn du weißt, dass die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ größer oder gleich dem gesuchten q sind, weißt du auch, dass q kleiner oder gleich dem kleinsten der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ist. Mach dir mal ein Beispiel:

n = 3
$\begin{eqnarray*} x_1=5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3=7 \end{eqnarray*}$

Jetzt schreib dir L(q) auf. Der erlaubte Bereich für q ist 1, 2, 3, 4. Welches q maximiert L?

24.06.2011, 11:51

hoaxhoax

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Ja okay, das Maximum liegt am rechten Rand, d.h. L(q) wird maximal für q=min{x_i}. Jetzt weiß ich auch, was Du mit Schnapsidee meintest; q^n ist JA SOWAS von monoton fallend Hammer

Danke

24.06.2011, 11:55

Huggy

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Solche Gehirnblockaden sind mir nicht fremd.

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