Erwartungswert (Fatou & dom. Konvergenz)

24.06.2011, 12:48

Gast11022013

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Erwartungswert (Fatou & dom. Konvergenz)

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X,Y,X_1,X_2,\hdots \in\mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ .

Zeige:

(a) Lemma von Fatou

Ist $\begin{eqnarray*} X_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n und $\begin{eqnarray*} X=\liminf_{n\to\infty} X_n \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} E(X)\leq \liminf_{n\to\infty} E(X_n) \end{eqnarray*}$ .

Hinweis:
$\begin{eqnarray*} Y_n=\inf_{k\geq n} X_n \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsvariable und es gilt $\begin{eqnarray*} Y_n\uparrow X \end{eqnarray*}$ .

(b) Satz von der dominierten Konvergenz

Ist $\begin{eqnarray*} \vert X\vert \leq Y \end{eqnarray*}$ für alle n und $\begin{eqnarray*} X=\lim_{n\to\infty} X_n \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty} E(X_n) \end{eqnarray*}$ .

Hinweis:

Wenden Sie (a) auf die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
Zu (a):

Eine wirkliche Idee habe ich nicht, aber ich schreibe erstmal die Definition des Limes inferior auf. Vielleicht hilft das schon ein bisschen:

Zu zeigen ist ja:

$\begin{eqnarray*} E(X)\leq \liminf_{n\to\infty} E(X_n) \end{eqnarray*}$

Und nun ist ja

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} E(X_n)=\sup_{n\geq 0} \inf_{k\geq n} E(X_n) \end{eqnarray*}$

bzw. ist der Kimes inferior definiert als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n} E(X_k)\right) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem weiß man doch aufgrund des Hinweises, dass:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty} E(Y_n)=\lim_{n\to\infty} E(\inf_{k\geq n} X_k) \end{eqnarray*}$ , oder?

Meine Idee ist:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty} E(Y_n)=\lim_{n\to\infty} E(\inf_{k\geq n} X_k)\leq \underbrace{\lim_{n\to\infty} E(X_n)}_{=\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n}E(X_k)\right)} \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} \inf_{k\geq n}X_k\leq X_n \forall n \end{eqnarray*}$ ?

[Monotonie des Erwartungswerts]

Ist das richtig?
Kann und mag mir jemand helfen?

24.06.2011, 15:54

Mecky

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Beim ersten gleichheitszeichen bräuchtest du monotone Konvergenz und beim Ungleichheitszeichen muss der Limes rechts nicht existieren

24.06.2011, 15:57

Gast11022013

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Okay, dann kann man es so nicht machen.

Wie dann?

24.06.2011, 16:01

Mecky?

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habt ihr monotone konvergenz?

24.06.2011, 16:08

Gast11022013

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Leider nein.

Wenn ja, wäre das, was ich hier beweisen sollte, ja einfach eine Anwendung davon.

Ich gehe aber trotzdem davon aus, dass ich das über die monotone Konvergenz machen muss. Der Professor stellt gerne mal Aufgaben, die viel mehr voraussetzen, als während der Vorlesung je gemacht wurde.

24.06.2011, 16:17

Mecky

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na ich weiß nicht, das wäre dann wohl ne andere Teilaufgabe, aber gesetz den Fall, Ihr hattet es wirklich nicht( auch unter Beppo Levi bekannt): das muss in jedem Stochastikbuch samt Beweis stehen, weil es wirklich überall gebraucht wird smile

smile

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24.06.2011, 16:21

Mecky

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edit: es wäre noch nicht der Beweis, von dem, was Du tun sollst, es wäre lediglich das, was du sowieso schon beim ersten gleichheitszeichen genutzt hast

24.06.2011, 16:34

Gast11022013

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Also jetzt mal gesetzt den Fall, dass ich den Satz von der monotonen Konvergenz als bewiesen voraussetzen kann. (Obwohl der Satz wirklich nicht dran kam.)

Dann würde meine Lösung für (a) so aussehen:

Zu (a):

Folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} E(\liminf_{n\to\infty}X_n)=E(\lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}X_k)=\lim_{n\to\infty} E(\inf_{k\geq n}X_k)\leq \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}E(X_k)=\liminf_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$ ,

da die Folge $\begin{eqnarray*} (Y_n) \end{eqnarray*}$ der Infima monoton wachsend ist und $\begin{eqnarray*} Y_n\uparrow X \end{eqnarray*}$ .

Korrekt?

Edit:

Ich muss meine Aussage ein bisschen relativieren: Wir hatten zwar nicht den Satz über monotone Konvergenz in der Vorlesung, wir hatten aber festgestellt und bewiesen, dass eine Eigenschaft des Erwartungswert (im diskreten und stetigen Fall) gerade die monotone Konvergenz ist, dass also gilt:

"Wenn $\begin{eqnarray*} Y_n\uparrow Y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\uparrow\infty \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} E(Y)=\lim_{n\to\infty}E(Y_n) \end{eqnarray*}$ ."

Das ist ja gerade das, was ich hier für $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ brauche!
Mit dieser Info ist die Aufgabe (zumindest (a)) nicht mehr schwer und das Obige müsste stimmen.

24.06.2011, 17:46

Mecky

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Wenn Du das mit dem Ungleichheitszeichen begründen kannst, ja Freude

Freude

24.06.2011, 17:53

Gast11022013

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Okay, warum gilt in obigem Beweis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}E(\inf_{k\geq n}X_k)\leq \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n} E(X_k) \end{eqnarray*}$ ?

In Integralform ist das doch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\geq n} X_k\leq \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}\int X_k \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung gilt doch dann, weil $\begin{eqnarray*} \inf_{k\geq n}X_k\leq X_m\forall m\geq k \end{eqnarray*}$ .

Reicht das als Begründung?

24.06.2011, 17:53

Mecky

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edit zu deinem edit: das was Du da schreibst, ist für mich monotone Konvergenz smile

smile

steht auch bei wiki unter monotoner konvergenz, aber gebe zu, dass interessanter weise in meiner stoch1 buch (klenke) ne andere (nicht äquivalente Formulierung steht), vllt deshalb die Verwirrung

24.06.2011, 17:57

Gast11022013

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Naja, egal. Die Hauptsache ist ja, dass ich das so wie oben machen darf, weil in der Vorlesung gezeigt wurde, dass Erwartungswerte monoton konvergent sind.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2011, 17:58

Mecky

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keine ahnung ob das reicht, ausführlicher:

E[inf Xk]<= E[Xm]

-->
E[inf Xk]< inf E[Xm]

--> lim E[inf Xk]<= lim inf E[Xm], weil die limiten existieren

24.06.2011, 18:07

Gast11022013

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Danke! Damit ist (a) gezeigt, super!

Nun mal zu (b):

Das würde ich so machen:

Da $\begin{eqnarray*} X_n\geq -Y_n, X_n\leq Y_n \end{eqnarray*}$ für alle n gilt:

Nach dem Lemma von Fatou (a) gilt:

$\begin{eqnarray*} E(\liminf_{n\to\infty}X_n)\leq \liminf_{n\to\infty}E(X_n)\leq \limsup_{n\to\infty}E(X_n)\leq E(\limsup_{n\to\infty}X_n) \end{eqnarray*}$ .

Stimmen nicht jetzt die linke und die rechte Seite überein, da Limes inferior und Limes superior identisch sind?

24.06.2011, 18:55

Mecky

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benutz doch lieber den Tipp smile

smile

Kann auch so gehen, aber dann müssteste die Ungleichungen noch beweisen. Denk dran, Fatou gilt erstmal nur für positive ZV.

lg

24.06.2011, 18:59

Gast11022013

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Das Problem ist, dass ich den Tipp nicht verstehe.

Was ist gemeint mit:

Wenden Sie (a) auf die ZV.n $\begin{eqnarray*} Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ an?

$\begin{eqnarray*} E(\liminf_{n\to\infty}Y+X_n)\leq \liminf_{n\to\infty}E(Y+X_n)=... \end{eqnarray*}$

24.06.2011, 19:01

Mecky

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$\begin{eqnarray*} Y_n=Y\pm X_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ einfach in Dein Lemma einsetzen

24.06.2011, 19:04

Gast11022013

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Wie kommt das jetzt zustande:

$\begin{eqnarray*} Y_n=Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ ?

24.06.2011, 19:07

Mecky

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Sry, so ist's verwirrend, meine

Zitat:

Original von Mecky
$\begin{eqnarray*} Z_n:=Y\pm X_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ einfach in Dein Lemma einsetzen

24.06.2011, 19:11

Gast11022013

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Meinst Du:

$\begin{eqnarray*} E(\liminf_{n\to\infty}Z_n)\leq \liminf_{n\to\infty}E(Z_n)=\liminf_{n\to\infty}E(Y\pm X_n) \end{eqnarray*}$

Aber was sieht man da?

Werde da nicht schlau draus.

24.06.2011, 21:45

Gast11022013

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Noch jemand einen Tipp für (b)?

Ist mein Ansatz (im letzten Artikel) korrekt? Wie könnte es da weiter gehen?

Danke für jeden Hinweis.

25.06.2011, 11:21

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe gar nicht, wieso mir das so ein Problem bereitet.

Ich soll bei (b) ja "einfach nur" das Resultat bei (a) auf die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ich verstehe aber leider immer noch nicht, wie das gemeint ist bzw. wie es weitergeht.

(a) auf $\begin{eqnarray*} Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ anwenden: Das Verstehe ich so:

$\begin{eqnarray*} E(\liminf_{n\to\infty}Y\pm X_n)\leq \liminf_{n\to\infty} E(Y\pm X_n) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie scheint mir das wenig Sinn zu machen.

Wer kann mir aus meiner Verlegenheit heraus helfen?

[Ich glaube, da ist einfach ein Denkfehler bei mir oder ich sehe den entscheidenden Kniff nicht.]

Danke! :-)

25.06.2011, 14:52

Gast11022013

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Ich pushe mal ein bisschen.

Vielleicht drückt ihr ein Auge zu und versteht meine "Eile".

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn nicht: Entschuldigung.

(b) wurmt mich aber, dass ich das nicht hinbekomme.

25.06.2011, 16:16

Gast11022013

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Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}Y\pm X_n=X \end{eqnarray*}$ ?

böse

böse

Diese blöde Aufgabe!

[Ja, ich weiß: Ich bin hier blöd, nicht die Aufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

]

25.06.2011, 18:30

Mecky

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$\begin{eqnarray*} X=lim X_n \rightarrow lim inf Y+X_n = Y+X \end{eqnarray*}$

Ana 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2011, 18:32

Mecky

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Dein Problem ist wohl, dass Du Dir unter Zufallsvariablen sonstwas kompliziertes vorstellst. Sind einfach(besondere, da messbare) Funktionen.

25.06.2011, 18:37

Gast11022013

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Kannst Du mir bitte einen konkreten Tipp geben bzw. den Ansatz?

Ich möchte das so gerne hinbekommen, werde aber bald irre daran.

25.06.2011, 18:51

Mecky

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$\begin{eqnarray*} lim inf(-...)=-lim sup(...) \end{eqnarray*}$ + mein vorletzter Beitrag

25.06.2011, 18:59

Gast11022013

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Zitat:

Original von Mecky
$\begin{eqnarray*} X=lim X_n \rightarrow lim inf Y+X_n = Y+X \end{eqnarray*}$

Ana 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich will Dich jetzt auch nicht nerven oder so, aber das ist mir irgendwie unklar.

X strebt gegen Y+X?..

Edit:

Oder soll der Pfeil eine Funktion darstellen? verwirrt

verwirrt

Habe total die Blockade im Hirn.

25.06.2011, 20:19

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es gilt: $\begin{eqnarray*} X=\lim_{n\to\infty}X_n\Rightarrow \liminf_{n\to\infty}Y\pm X_n=Y\pm X \end{eqnarray*}$

Weiter:

$\begin{eqnarray*} E(Y)\pm E(X)=E(Y\pm X)=E(\liminf_{n\to\infty n}Y\pm X_n)\leq \liminf_{n\to\infty}E(Y\pm X_n)=\liminf_{n\to\infty}(E(Y)\pm E(X))\leq \liminf_{n\to\infty}E(Y)\pm \liminf_ {n\to\infty} E(X_n)=E(Y)\pm \liminf_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm E(X)\leq \pm\liminf_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin korrekt?

Bin mir absolut nicht sicher.

unglücklich

unglücklich

Kannst Du nicht bitte eine etwas ausführlichere Hilfe geben, ich komme so einfach nicht weiter.

25.06.2011, 21:51

Gast11022013

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Kurze Frage:

Läuft es darauf hinaus, dass man zeigt:

bei $\begin{eqnarray*} Y+X_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E(X)\leq \liminf_{n\to\infty}E(X_n) [=\lim_{n\to\infty}E(X_n)] \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} Y-X_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E(X)\geq \limsup_{n\to\infty}E(X_n) [=\lim_{n\to\infty}E(X_n)] \end{eqnarray*}$

woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$ ?

26.06.2011, 00:32

Mecky

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Japp, in den letzten beiden Beiträgen ist alles richtig, bis auf irgendnen schreibfehler im vorletzten beitrag, da fehlt ein n

UND: wichtig ist, dass man wirklich nicht weiß, ob der limes in Deinem letzten Beitrag existiert, dass also nicht einfach hinschreiben kann.

Das läuft aber natürlich trivial wie Du es schon gefolgert hast:

E[X]>=limsupE[Xn]>=liminf E[Xn]>= E[X]

--> überall "="

--> limsup=liminf --> lim existiert

qed

andere Frage, studierst Du Mathe im Monobachelor/Diplom?

Falls ja, kann ich Dir nur dringend raten, dass zu lassen hier so viel zu fragen, da könntest Du später auf die Nase fallen. Es macht wesentlich mehr Sinn lieber mehr Zeit zu investieren oder mal ne Aufgabe nicht zu lösen, aber eigenständig drüber nachgedacht zu haben, als sich das (sry, wenn ich das so sage) fast vollständig vorrechnen zu lassen. Oder such lieber in einem Buch, wenn's wirklich gar nicht klappt, da ist der Lerneffekt größer. Für Mathe muss man sehr fleißig sein.

Falls Nebenfach oder Kombibachelor oder Lehrer, will ich nichts gesagt haben, da reichen dann wohl am Ende die Ergebnisse und falls Du Lehrer wirst, find ich die Aufgaben sogar sinnlos bis unnötig schwer

Soll keine Kritik an Dir sein, sondern eher ne Hilfe, weil es so bei schwereren Kursen echt hammerhart wird, weil das dann nicht mehr so viele hier können smile

smile

.

lg und sei trotzdem frohen Mutes, das war nicht böse gemeint smile

smile

26.06.2011, 00:35

Mecky

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edit: der Pfeil war tatsächlich ein "daraus folgt"^^

26.06.2011, 01:02

Mecky

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edit: bevor ich noch mehr verwirrung stifte, korrigier ich mal lieber:

in deinem vorletzten beitrag ist natürlich nciht alles richtig, die zweite ungleichung (wieso eigentlich nicht gelichung?) gilt nur im plus-fall.

Im minus-fall steht da liminf E[Y-X_n]=EY+ liminf E[-X_n]= EY-limsup E[X_n],

woraus dann die Behauptung folgt

26.06.2011, 12:08

Gast11022013

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Erstmal: Dankesehr!

Ich versuche, das jetzt nochmal abschließend aufzuschreiben.

--------------------------------------------------------------------------------

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

Dazu betrachte $\begin{eqnarray*} Y\pm X_n \end{eqnarray*}$ , d.h.

1.) $\begin{eqnarray*} Y+X_n \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} Y-X_n \end{eqnarray*}$

Zu 1.)

$\begin{eqnarray*} E(Y)+E(X)=E(Y+X)=E(\liminf_{n\to\infty}Y+X_n)\leq \liminf_{n\to\infty}\underbrace{E(Y+X_n)}_{=E(Y)+E(X_n)}=E(Y)+\underbrace{\liminf_{n\to\infty}E(X_n)}_{=\lim_{n\to\infty}E(X_n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} E(X)\leq \lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

Zu 2.)

$\begin{eqnarray*} E(Y)-E(X)=E(Y-X)=E(\liminf_{n\to\infty}Y-X_n)\leq \liminf_{n\to\infty}E(Y-X_n)=E(Y)-\liminf_{n\to\infty}E(X_n)=E(Y)+\liminf_{n\to\infty}E(-X_n)=E(Y)-\underbrace{\limsup_{n\to\infty}E(X_n)}_{=\lim_{n\to\infty}E(X_n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -E(X)\leq -\lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} E(X)\geq \lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

Und zusammen folgt dann, dass

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{n\to\infty}E(X_n) \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe, das ist nun korrekt?

Einen schönen Sonntag!

26.06.2011, 17:16

Mecky

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$\begin{eqnarray*} \liminf E(Y-X_n)=E(Y)-\liminf E(X_n)=E(Y)+\liminf E(-X_n) \end{eqnarray*}$

gilt eben nicht! Beide Gleichheitszeichen sind falsch! Wieso?

Aber zum Glück gilt, dass das linke gleich dem rechten gilt und Du kannst einfach die Mitte weglassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

und limsup=lim sowie liminf=lim kannst Du nicht einfach so schreiben, aber das hatte ich bereits erklärt, wie Du das umgehen kannst

26.06.2011, 17:36

Gast11022013

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Ich verstehe Dich nicht!

Wieso ist im Plus-Fall das Obige richtig und im Minus-Fall nicht?

Ich kenne folgende Rechenregeln für den Limes inferior:

$\begin{eqnarray*} \liminf(a_n+b_n)\geq \liminf a_n+\liminf b_n \end{eqnarray*}$

Liegt das daran, dass man vom Erwartungswertt nur weiß, dass das bzgl. der Addition gilt, aber für die Subtraktion gibt es diese Eigenschaft nicht?
[Deswegen das Umformen in eine Addition?]

26.06.2011, 17:52

Mecky

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Ja, mit nem Plus geht das ja auch, mit nem minus nicht.

$\begin{eqnarray*} -1=\liminf -(-1)^n =\liminf (-1)^n - 2*(-1)^n=\liminf (-1)^n -2 \liminf (-1)^n=-1-2(-1)=1 \end{eqnarray*}$ Widerspruch!

hab gerade nichts besseres parat

26.06.2011, 17:58

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Bei dem Minus geht es also nicht.

Deswegen wandelt man um in eine Addition, denn für diese weiß man ja, dass der Erwartungswert linear ist.

So korrekt?

Okay, das korrigiere ich dann.

Und ich schreibe nicht einfach so hin, dass $\begin{eqnarray*} \liminf=\limsup=\lim \end{eqnarray*}$ , sondern folgere das erst noch, wie Du es oben schon gemacht hast.

Ncoh ne kleine Frage.

Die Rechenregel oben für den $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ stimmt doch oder?

Es gilt also "eigentlich" $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ an der einen Stelle. Aber man sieht ja, dass da letztlich nur = stehen muss.

26.06.2011, 18:01

Mecky

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, >= gilt, aber = weil Y ja konstant in n

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