Länge eines Polynoms berechnen

24.06.2011, 14:05

fikus

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Länge eines Polynoms berechnen

hi, habe folgende aufgabe und weiß nicht was ich tun soll..

Sei $\begin{eqnarray*} f= x^{4}+4x^{3} -4x^{2} +4x-5 \end{eqnarray*}$ aus R[X].

Bestimmen sie die Länge von

(R[X]/(f))^10

als R[X] - Modul.

Hört sich eigtl leicht an aber ich weiß ehrlich gesagt nicht was ich damit anfangen soll.

Für die Länge hatten wir folgenden Satz:

R Hauptidealbereich, a aus R mit Primfaktorzerlegung a=p1*...*pr
Es gilt
Lr(R/(a))=r

und folgende Definition:

Sei R komm. Ring und M ein R-Modul.
Das Supremum Lr(M) aller Längen t von echt aufsteigenden Ketten von Untermoduln von M

$\begin{eqnarray*} 0\subset N1\subset N2\subset ...\subset Nt = M \end{eqnarray*}$

heißt die Länge von M.

So aber was mach ich jetzt mit so nem Polynom ausm Polynomring?

24.06.2011, 19:38

fikus

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okay schade das sich noch keiner gemeldet hat^^

ich saß bis jetzt davor und hab mir mal so überlegt das eine primfaktorzerlegung recht günstig wäre von dem polynom.

diese ist möglich, da ein polynomring über einen Körper auch immer ein Hauptidealbereich ist und somit gilt der satz den ich aufgeschrieben hab

hab nun folgendes für die zerlegung heraus:

$\begin{eqnarray*} x^{4} +4x^{3} -4x^{2} +4x-5= \left(x-1\right) * \left(x+5\right) *\left(x²+1\right) \end{eqnarray*}$

so in drei faktoren zerlegt also wäre die länge nach dem satz: 3!

das einzige was stört ist jetzt noch das man die Länge von (R[X]/(f))^10 ! bestimmen soll!

ist es dann 3^10 oder wie?^^

24.06.2011, 20:31

jester.

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Was ist denn aus Länge von Z-Modul geworden? Hast du diese Aufgabe inzwischen gelöst? Sie ist der Aufgabe hier ja recht ähnlich.

Edit: Du schreibst, dass du von einem Polynomring über einem Körper ausgehst. R ist doch aber eigentlich eher die typische Bezeichnung für einen Ring, der nun nicht unbedingt Körper sein muss. Schaffe da bitte Klarheit!

24.06.2011, 20:40

fikus

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ja da hab ich quasi mir ne antwort zusammengeschrieben

aber erstma danke für deine antwort smile

smile

also ich habe gesagt das die kette von aufsteigenden Untermoduln die Polynome sind also halt die ideale x,x² so^^

die vielfachheiten der ideale sind auch unendlich

dannhabe ich gesagt

Lr (R[X]) = dim r R[X] = unendlich

mit *r* mein ich immer auf also halt als indize soll aber auch das reelle zahlen R sein^^ und R soll die reellen zahlen sein.

deswegen ist der polynomring ein hauptidealbereich usw...
und dann komme ich auf 3 zerlegungen.
was mich halt stört ist dieses hoch 10.

ich hoffe ich habe nicht zu verwirrend geschrieben^^

24.06.2011, 21:07

jester.

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1) Ohne http://www.matheboard.de/formeleditor.php wird das hier zu unübersichtlich.

Ein Beispiel, klicke auf "Zitat" um den zugehörigen Code zu sehen: $\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb{R}} \mathbb{R}[X]=\infty \end{eqnarray*}$

2) Zum Inhaltlichen:

Zitat:

also ich habe gesagt das die kette von aufsteigenden Untermoduln die Polynome sind also halt die ideale x,x² so^^

Die Ideale $\begin{eqnarray*} (X)\supseteq (X^2) \supseteq (X^3) \supseteq ... \end{eqnarray*}$ bilden eine absteigende Kette.

Zitat:

die vielfachheiten der ideale sind auch unendlich

Was meinst du mit Vielfachheiten von Idealen?

Mir scheint, dass du die Aufgabenstellung gar nicht verstehst, daher schreibe ich sie aus deinem ersten Post nochmal ab: es soll die Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[X]/(X^4+4X^3-4X^2+4x-5))^{10} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Modul bestimmt werden. Kannst du in Worte fassen, was die Länge eines Moduls ist?

Der Satz, den du zitierst, sagt beispielsweise, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ Länge 2 als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Modul hat. Diesen Modul hast du in der früheren Übungsaufgabe untersucht.
Welche Länge hast du für $\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^5 \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ festgestellt? Der Lösungsweg sollte analog sein.

24.06.2011, 21:35

fikus

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oh jetzt bin ich ein wenig verwirrt^^

also das meiste was ich eben geschrieben habe war ja eine lösung zu meiner alten aufgabe...

die länge ist halt das supremum einer echt aufsteigenden kette von untermoduln.

und puh jetzt wo du das mit der direkten summe schreibst könntest du echt recht haben das ich das ganze nicht ganz verstehe^^

in der VOrlesung hatten wir das Bsp.:

Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(8)\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ = 3 ist wegen 8=2^3

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24.06.2011, 21:46

jester.

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Zitat:

Original von fikus
also das meiste was ich eben geschrieben habe war ja eine lösung zu meiner alten aufgabe...

Ich erkenne hier nichts, was einer Lösung gleichkäme. Was hast du denn dort als Länge erhalten?

Zitat:

die länge ist halt das supremum einer echt aufsteigenden kette von untermoduln.

Was soll denn das Supremum einer echt aufsteigenden Kette von Untermoduln sein? Richtig ist: Die Länge des Moduls ist das Supremum der Längen von Ketten von echt aufsteigenden Untermoduln.

Zitat:

und puh jetzt wo du das mit der direkten summe schreibst könntest du echt recht haben das ich das ganze nicht ganz verstehe^^

Wo siehst du den Unterscheid zwischen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^5 \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(8)\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ = 3 ist wegen 8=2^3

"wegen $\begin{eqnarray*} 8=2^3 \end{eqnarray*}$ " kann wohl kaum die Begründung sein, es sei denn man zitiert mittels dieser Tatsache wieder einen anderen Satz.
Warum hat dieser Modul denn gerade Länge 3?

25.06.2011, 00:48

fikus

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naja es ist 3, da man die 8 in drei Primfaktoren zerlegen kann: 2*2*2 und die anzahl der primfaktoren ist die länge.

und ich wollte das von dem anderen Thema beweisen, das die Länge von R[X] als R[X] - Modul (R=reelle Zahlen) unendlich ist und dachte eigentlich das meine überlegung so stimmt!

also die schreibweise mit dem ()³ hatten wir noch gar nicht sondern nur die direkte summe ist mir bekannt ich wusste nicht das das das selbe ist.

und bei dem vorliegenden polynom habe ich die faktoren (x-1)*(x+5)*(x²+1) heraus. also dahingehend zerlegt. und somit sei die länge erst einmal drei. soweit richtig?

ich muss doch jetzt nur noch das mit dieser direkten summe verstehen oder?

25.06.2011, 10:02

jester.

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Zitat:

Original von fikus
naja es ist 3, da man die 8 in drei Primfaktoren zerlegen kann: 2*2*2 und die anzahl der primfaktoren ist die länge.

Das kann doch nicht die Antwort auf die Frage sein, warum die Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ 3 ist. Du kannst davon ausgehen, dass wenn ich "Warum?" schreibe, ich den tatsächlichen Grund für einen Sachverhalt meine und nicht irgendeine vorgeschobene Hilfsbehauptung.
Was also ist der Beweis dafür, dass die Länge dieses Moduls 3 ist?

Zitat:

und ich wollte das von dem anderen Thema beweisen, das die Länge von R[X] als R[X] - Modul (R=reelle Zahlen) unendlich ist und dachte eigentlich das meine überlegung so stimmt!

Wo siehst du die Relevanz der Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ für diese Aufgabe?

Zitat:

also die schreibweise mit dem ()³ hatten wir noch gar nicht sondern nur die direkte summe ist mir bekannt ich wusste nicht das das das selbe ist.

Du verwendest diese Schreibweise selbst in Länge von Z-Modul: Zitat "Bestimmen sie die Länge von M^5=M+M+M+M+M als Z-Modul."

Zitat:

und bei dem vorliegenden polynom habe ich die faktoren (x-1)*(x+5)*(x²+1) heraus. also dahingehend zerlegt. und somit sei die länge erst einmal drei. soweit richtig?

Die Länge von was ist 3? Von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}/(f) \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}/(f)){10} \end{eqnarray*}$ oder sprichst du wieder von der "Länge des Polynoms", so wie du es übrigens fälschlicherweise im Titel tust?

Zitat:

ich muss doch jetzt nur noch das mit dieser direkten summe verstehen oder?

Ich weiß nicht, was du damit genau meinst. Aber mal etwas anderes: ich habe dich nun zweimal direkt und einmal indirekt aufgefordert, preiszugeben, welche Länge der Modul $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^5 \end{eqnarray*}$ aus der letzten Übungsaufgabe hat. Warum schreibst du die Länge nicht einfach mal hier hinein? Kennst du die Lösung nun oder kennst du sie nicht? Ohne diese Lösung müssen wir hier nicht weitermachen.

Und dann wäre da noch etwas. Eigentlich wollte ich mit diesem Hinweis bis zum Abschluss des Themas warten, aber

Zitat:

[...] ist mir bekannt ich wusste nicht das das das selbe ist.

ist schon ein starkes Stück. In meinen Augen gebietet es die Höflichkeit, sich in einem Forum, das kein Chatroom ist, sondern wissenschaftliche Themen behandelt, einer annehmbaren Rechtschreibung einschließlich Groß- und Kleinschreibung, Kommasetzung und Unterscheidung von "das" und "dass" zu befleißigen.

Ich erwarte also, dass dein nächster Beitrag wieder schöner geschrieben ist, wie zum Beispiel der erste Beitrag hier, und dass du endlich die Lösung der früheren Übungsaufgabe angibst. Ein weiteres Mal werde ich um letzteres nicht bitten.

25.06.2011, 11:30

fikus

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Okay, alles klar.
Ich bin auf deine Frage nicht eingegangen, da ich einfach nur auf das hoch 10 fixiert war und ich die Frage so spät einfach nicht mehr realisiert habe. Die Bedeutung dieser ist mir jetzt jedoch klar geworden!

Also nun zu der Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^5 \end{eqnarray*}$ .
Ich habe diese Aufgabe nicht mehr lösen können, da ich meinen Zettel schon wieder abgeben musste.
Bei diesem Beispiel würde ich es nun so machen, dass ich die 10 in Primfaktoren zerlegen würde:

$\begin{eqnarray*} 10= 2*5 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die 10 in 2 Primfaktoren zerlegt.
Daraufhin habe ich den von mir erwähnten Satz betrachtet:

Zitat:

Original von fikus

Für die Länge hatten wir folgenden Satz:

R Hauptidealbereich, a aus R mit Primfaktorzerlegung a=p1*...*pr
Es gilt
Lr(R/(a))=r

Da bei mir der r-te Faktor der Primfaktorzerlegun 2 ist, es gibt zwei Primfaktoren, würde ich nun behaupten, dass die Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})=2 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun sollte aber die Länge von $\begin{eqnarray*} M=(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^5 \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Und deshalb würde ich folgendes behaupten:
$\begin{eqnarray*} M^{5} =2+2+2+2+2 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die ältere Aufgabe für mich gelöst gewesen!

Ich hoffe ich habe mich nun besser ausgerückt. Freude

Freude

25.06.2011, 11:48

jester.

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Ja, die Länge aus der alten Aufgabe ist in der Tat $\begin{eqnarray*} 5\cdot 2 \end{eqnarray*}$ , wobei ich noch immer so ein bisschen glaube, dass du nur diesen Satz anwendest, ohne ihn so ganz zu verstehen. Falls das nicht der Fall ist, sollte diese Aufgabe hier eigentlich klar sein.

Versuchen wir uns mal an $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(f) \end{eqnarray*}$ (ohne das "hoch 10"):
es ist $\begin{eqnarray*} f=(X-1)(X+5)(X^2+1) \end{eqnarray*}$ . Dabei sind die einzelnen Faktoren prim bzw. irreduzibel, sodass die Moduln $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(X-1), ~ \mathbb{R}[X]/(X+5), ~ \mathbb{R}[X]/(X^2+1) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Moduln einfach sind.
Also bekommen wir $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(f) \supsetneq \mathbb{R}[X]/( (X+5)(X^2+1) ) \supsetneq \mathbb{R}[X]/(X^2+1) \supsetneq \{0\} \end{eqnarray*}$ als Kompositionsreihe des Moduls (die Faktoren sind ja jeweils einfach).
Also hat in der Tat $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(f) \end{eqnarray*}$ die Länge 3 als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Modul.

Analog zur Lösung der letzten Aufgabe können wir nun auf die Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[X]/(f))^{10} \end{eqnarray*}$ schließen.

Es bleibt vielleicht so ein bisschen die Frage bestehen, warum sich die Längen so addieren. Dazu kann man sich -nicht ganz im Sinne eines formalen Beweises- überlegen, dass man bei einer solchen direkten Summe jeden Summanden einzeln "abbauen" kann. Betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} = (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Modul:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \supsetneq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \supsetneq \{0\} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \supsetneq \{0\}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \supsetneq \{0\}\oplus\{0\} \end{eqnarray*}$
Dies ist wieder eine Kompositionsreihe, sodass wir als Länge in der Tat sie Summe erhalten.

25.06.2011, 12:07

fikus

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Zitat:

Original von jester.Also hat in der Tat $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(f) \end{eqnarray*}$ die Länge 3 als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Modul.

Analog zur Lösung der letzten Aufgabe können wir nun auf die Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[X]/(f))^{10} \end{eqnarray*}$ schließen.

Das wären dann:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[X]/(f))^{10}= 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=30 \end{eqnarray*}$

Das ist dann die Lösung der Aufgabe nehme ich an?

Zitat:

Original von jester.Es bleibt vielleicht so ein bisschen die Frage bestehen, warum sich die Längen so addieren. Dazu kann man sich -nicht ganz im Sinne eines formalen Beweises- überlegen, dass man bei einer solchen direkten Summe jeden Summanden einzeln "abbauen" kann.

Das mit dem "abbauen" habe ich auch verstanden glaube ich. Man soll erst also erst die Länge jedes einzelnen Modul berechnen und daraufhin diese addieren. So sehe ich nun die Vorgehensweise.

Zitat:

Original von jester.Ja, die Länge aus der alten Aufgabe ist in der Tat $\begin{eqnarray*} 5\cdot 2 \end{eqnarray*}$ , wobei ich noch immer so ein bisschen glaube, dass du nur diesen Satz anwendest ohne ihn so ganz zu verstehen.

Hierbei könntest du aber recht haben, denn die vorangegangene Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Länge von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[X]) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ - Modul

Wenn ich mir meine Argumentation dazu jetzt noch einmal durchlese stelle ich fest, das sie nicht wirklich stichhaltig ist:

Zitat:

also ich habe gesagt das die kette von aufsteigenden Untermoduln die Polynome sind also halt die ideale x,x² so^^

die vielfachheiten der ideale sind auch unendlich

dannhabe ich gesagt

Lr (R[X]) = dim r R[X] = unendlich

mit *r* mein ich immer auf also halt als indize soll aber auch das reelle zahlen R sein^^ und R soll die reellen zahlen sein.

Aber ich denke trotzdem das es etwas mit der Unendlichkeit der reellen Zahlen zu tun haben muss.

Was würdest du diesbezüglich sagen? verwirrt

verwirrt

25.06.2011, 12:12

jester.

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Mit der "vorangegangenen Aufgabe" meinte ich natürlich die Aufgabe, die du zuletzt hier ins Forum gestellt hattest. Also Länge von Z-Modul

Wenn du nun noch die Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ über sich selbst bestimmen möchtest, so reicht es in der Tat, eine nicht endliche Kette von echt auf- oder absteigenden Teilmoduln (in solch einem Fall also Idealen) zu notieren.
Eine hast du schon genannt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X) \supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$ , wobei man sich natürlich noch ein wenig dazu äußern könnte, warum diese Kette nicht endet.

25.06.2011, 12:20

fikus

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Zitat:

Mit der "vorangegangenen Aufgabe" meinte ich natürlich die Aufgabe, die du zuletzt hier ins Forum gestellt hattest. Also Länge von Z-Modul

Ich glaube damit sind wir zwischendurch auch ein wenig durcheinandergekommen. Sorry nochmal deswegen.

Zitat:

Eine hast du schon genannt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X) \supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$

Warum schreibst du das immer so rum und nicht so :

$\begin{eqnarray*} (X)\subset(x²)\subset ...\subset \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$

Weil (x) ist doch in (x²) enthalten oder nicht?

Das verwirrt mich gerad ein wenig.

Außerdem ist meine angegebene Definition:

Zitat:

und folgende Definition:

Sei R komm. Ring und M ein R-Modul.
Das Supremum Lr(M) aller Längen t von echt aufsteigenden Ketten von Untermoduln von M

$\begin{eqnarray*} 0\subset N1\subset N2\subset ...\subset Nt = M \end{eqnarray*}$

heißt die Länge von M.

... auch anders herum gemeint.

Ich habe zu dieser Aufgabe auch noch einen Tipp bekommen. Und zwar soll ich die Vielfachheiten, ich glaube der Ideale, betrachten...?

25.06.2011, 12:50

fikus

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ah obwohl ich glaube ich verstehe warum du die Kette anders herum gemacht hast.

Habe gerade folgendes gelsen:

Das vom Polynom X erzeugte Ideal (X) besteht aus allen Polynomen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$

deswegen gibt es die Reihenfolge:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X) \supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$

es bleibt zu zeigen das diese unendlich ist!

Habe ich das jetzt richtig verstanden?

25.06.2011, 12:52

jester.

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Bei einer endlichen Kette ist die Reihenfolge, in der ich sie notiere, sicherlich egal.

Jedoch ist $\begin{eqnarray*} (X)\not\subseteq(X^2) \end{eqnarray*}$ , denn sonst gäbe es ja irgendein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} X=p\cdot X^2 \end{eqnarray*}$ , das ist aber sicherlich falsch.
Es ist $\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ sogar ein maximales Ideal bzw. ein maximaler Teilmodul in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ .

Die Kette $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X)\supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$ kann man indes gar nicht andersherum aufschreiben, da sie nicht endet.

Was Vielfachheiten von Idealen sein sollen, weiß ich leider immer noch nicht. Hast du dazu eine Definition parat?

25.06.2011, 13:00

fikus

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Das mit den Vielfachheiten war ein Tipp von einem Mitstudenten. Das habe ich ehrlich gesagt auch nicht verstanden und würde es jetzt erst einmal außen vor lassen.

Ich denke es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Kette $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X)\supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$ unendlich lang ist.

Nach der Definition verallgemeinert die Länge der Kette die Dimesion des Vektorraums.
Ich würde diese Definition jetzt rückwärts benutzen, indem ich sage, dass der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ undendlich ist. Das wissen wir.
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ ist auch unendlich. Warum kann ich jetzt nicht direkt sagen.
Aber somit ist die Dimesion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ unendlich also auch die Länge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ laut Definition.

Was meinst du dazu?

25.06.2011, 14:22

jester.

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Zitat:

Original von fikus
Habe gerade folgendes gelsen:

Das vom Polynom X erzeugte Ideal (X) besteht aus allen Polynomen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$

Wo kann man denn das lesen? Das ist einfach nur falsch. Richtig ist, dass dieses Ideal alle Polynome $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_kX^k \end{eqnarray*}$ enthält, die $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]\supsetneq (X) \supsetneq (X^2) \supsetneq ... \end{eqnarray*}$

es bleibt zu zeigen das diese unendlich ist!

Ja. Wie kann man zeigen?

Zitat:

Nach der Definition verallgemeinert die Länge der Kette die Dimesion des Vektorraums.
Ich würde diese Definition jetzt rückwärts benutzen, indem ich sage, dass der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ undendlich ist. Das wissen wir.
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ ist auch unendlich. Warum kann ich jetzt nicht direkt sagen.

Da steht wieder viel Quatsch dabei. Die Länge verallgemeinert die Dimension eines Vektorraums, aber das ist nicht die Definition der Länge.
Ein Modul über einem Körper ist ein Vektorraum und über diesem Körper ist die Dimension dann das gleiche wie die Länge. Das ist mit "Verallgemeinerung" gemeint.

Die Tatsache, dass der Modul/Vektorraum und der Grundring bzw. -körper unendlich sind, ist dabei jedoch völlig unerheblich.
Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist doch auch unendlich, ebenso wie der zugehörige Grundkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Trotzdem hat der Vektorraum die endliche Länge 2.

25.06.2011, 15:54

fikus

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Zitat:

Original von jester.

Zitat:

Original von fikus
Habe gerade folgendes gelsen:

Das vom Polynom X erzeugte Ideal (X) besteht aus allen Polynomen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$

Wo kann man denn das lesen? Das ist einfach nur falsch. Richtig ist, dass dieses Ideal alle Polynome $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_kX^k \end{eqnarray*}$ enthält, die $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Das stand bei Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal
*Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus*
Kann ich natürlich auch wieder falsch verstanden haben.

Nun zu dem Beweis:

Also ohne die Unendlichkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hätte ich jetzt echt keine Idee.

27.06.2011, 18:23

jester.

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Zitat:

Original von fikus
Das stand bei Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal
*Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus*
Kann ich natürlich auch wieder falsch verstanden haben.

Den Satz, der dort steht, hättest du einfach mal ganz lesen sollen. Dort steht nämlich auch die von mir genannte Bedingung an das Absolutglied.

Zitat:

Nun zu dem Beweis:

Also ohne die Unendlichkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hätte ich jetzt echt keine Idee.

Die richtige Strategie zur Lösung sollte doch inzwischen klar sein: wir geben eine unendlich lange absteigende Kette von Teilmoduln/Idealen an. Das Supremum aller Kettenlängen kann dann nicht endlich sein.
Hierbei ist relevant, dass wir nach einer absteigenden Kette suchen. Jede aufsteigende Kette in diesem Modul wird nämlich irgendwann konstant, weil der Modul Noethersch ist.

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