Taylor mal wieder

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Taylor mal wieder
Guten Abend, wollte mal fragen ob mir jemand hierbei helfen kann.

[latex]Sei \Omega \subset \mathbb R ^2 [/latex] ein zusammenhängendes und beschränktes Gebiet. Weiterhin setzen wir vorraus, dass [latex] u \in C^6(\overline{\Omega})[/latex] erfüllt ist. Bestimme die Koeffizienten[latex] a_{kl} \ in \mathbb R \:[/latex]derart, dass
[latex]\sum_{k=-2}^2~a_{k0}u(x+kh,y) +\sum_{l=-2}^2~a_{0l}u(x,y+lh)  = \Delta u(x,y)  + o(h^4)[/latex] gilt. Dabei nehmen wir natürlich an, dass alle auftretenden Punkte in [latex] \overline{\Omega} [/latex] liegen.

das Delta darin müsste der Laplace Operator sein.

Das ganze soll mit Taylor funktionieren, aber weiss nicht wie ich das hier zu entwickeln hab.

Danke für die Zeit

Gruss
KT
kleiner Taylor Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]\Delta u(x,y) = \sum_{i=1}^2~\frac{d^2u}{dx_i^2}[/latex] (achtung soll hier partielle Ableitung heißen) [latex] = u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y) [/latex]

Taylor auf u(x+kh,y) angewendet ergibt (entwicklungspunkt ist x):
[latex]u(x+kh,y) = u(x,y)+khu_x(x,y)+\frac{k^2h^2}{2}u_{xx}(x,y)+\frac{k^3h^3}{6}u_{xxx}(x,y)+\frac{k^4h^4}{24}u_{xxxx}(x,y)   +o(h^5)[/latex]

analog:
[latex]u(x,y+lh) = u(x,y)+lhu_y(x,y)+\frac{l^2h^2}{2}u_{yy}(x,y)+\frac{l^3h^3}{6}u_{yyy}(x,y)+\frac{l^4h^4}{24}u_{yyyy}(x,y)   +o(h^5)[/latex]

bin mir nicht sicher ob es hier richtig ist nach dem 5 Glied abzubrechen. In der Aufgabe soll u ja 6 mal stetig-diffbar sein (hier nutze ich das doch nicht?)

Nun soll ich in der Aufgabe ja die Koeffizienten bestimmen, so dass der Laplace Operator bis in die 3. Ordnung übereinstimmt.

wenn ich für k die Werte von -2 bis 2 einsetze und für l auch die Werte von -2 bis 2 einsetze kann ich mir Gleichungen herleiten, die erfüllt sein müssen.

I) [latex]u(x,y) *(a_{-20}+a_{-10}+a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{0-2}+a_{0-1}+a_{00}+a_{01}+a_{02})=0 [/latex]
IIa)[latex]u_x(x,y) *(-2h*a_{-20}-h*a_{-10}+0*a_{00}+h*a_{10}+2*h*a_{20}) = 0 [/latex]
IIb)[latex]u_y(x,y) *(-2h*a_{0-2}-h*a_{0-1}+0*a_{00}+h*a_{01}+2*h*a_{02}) = 0 [/latex]
usw bis V)[latex] u_{xxxx}(x,y)*(.....) \neq 0 \: und \: u_{yyyy}(x,y)*(.....) \neq 0 [/latex]

bei der III) muss auf der rechten Seite eine 1 stehen.
Da die Koeffizineten [latex]a_{-20}, a_{-10},a_{00},a_{10},a_{20} [/latex] und [latex] a_{0-2},a_{0-1},a_{00},a_{01},a_{02}[/latex] immer in identischen Gleichungen sitzen, habe ich daraus geschlossen:
[latex] a_{-20}  = a_{0-2} , a_{-10}  = a_{0-1}... [/latex]

Problem bei der Sache oben ist nur:
bei I) habe ich 5 Variablen
bei II, III, IV tauchen 4 Variablen auf (a_00 nicht mehr, da k=0 bzw. l=0 ist)
Nummer V) ist nur eine Ungleichung, die auch wie II, III und IV von 4 Variablen abhängt.
Habe dann mir II, III und IV vorgenommen und die Variablen in Abhängigkeit von a_20 angegeben. Dann in I eingesetzt um a_00 in Abhängikeit von a_20 zu erhalten.
Bei V erhalte ich schließlich dann was a_20 nicht sein darf.
Habe ich nun ein Fehler gemacht oder sind die Koeffizienten nicht eindeutig bestimmbar?

Hoffe mir hilft jemand ^^

MFG
KT
 
 
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