Vollständige Induktion: Rentenendwertformel

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moclus Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion: Rentenendwertformel
Meine Probleme liegen darin den Vorgang zu verstehen wie der eigentliche Induktionsbeweis doch abläuft ...

Ich fang trotzdem Schritt für Schritt an ...

Es soll folgende Summenformel bewiesen werden:


1) Induktionsanfang: (wahr)
Doch da versteh ich den Sinn nicht: Wenn ich doch am Anfang (etwas verzinse) ist ja hier die Rentenendwertformel, da hab ich doch für nicht n = 1 sondern z.B. 10 oder so? :o ...

2) Induktionsvoraussetzung:
Nun zeige ich das diese Formel für den Beweis benötigt wird ...

3) Induktionsbehauptung:

4) Induktionsbeweis:

Nun interessiert mich wie doch der Bruch und der Nenner mit den selben Werten weitererweitert wird? Welche algebraische Regel gilt hier? Welche Operation wird durchgeführt?

dann folgt ...


und somit:


mein einziges Problem ist hier eigentlich diese Brucherweiterung ... kann mir das jemand erläutern?

danke im voraus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion: Rentenendwertformel
Sollst du das denn mit Induktion beweisen?

Man könnte da direkt herangehen:



Nun multipliziere das mit (q-1).
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

hey ja, aber das ist interessant fürs verständnis ... kannst du mir das bitte einmal als rechenoperation durchführen??

Dann kann man das in der mündlichen Prüfung besser erläutern =)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben:




Die Multiplikation solltest du doch durchführen können.
Zuerst einmal Distributivgesetz:

.

Nun noch ausrechnen.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

hey erstmal danke für deinen Ansatz !!
Doch könntest du mir vllt erläutern, welche mathematische Operation da durchgeführt wird ? Als der Bruch mit dem Nenner weiterweitert wird?

Glaub das würde mir echt sehr helfen ...

edit: Wobei ich da noch eine theoretische Frage hätte... wie kann ich die vollständige Induktion mathematisch definieren?

Ich lese auf vielen Seiten das sie nur für die Menge der natürlichen Zahlen gilt, aber warum ? :o
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir möchten doch prinzipiell zeigen, dass gilt: .

Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit q-1 und zeigen dann, dass gilt , die beiden Gleichungen sind äquivalent zueinander.

Ich habe das nun unter Zuhilfenahme des Distributivgesetzes etwas umgeformt, die Rechnung ist dann recht einfach durchzuführen.

Zu deiner Frage der Induktion möchte ich dich erst einmal auf unseren Workshop [WS] Vollständige Induktion hinweisen.

Du kannst dann Fragen konkret dazu stellen.
 
 
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

wow =))) vielen dank!!!
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

mal eben eine andere Frage ...

hier soll das bewiesen werden:

kann mir bitte einer den ersten Schritt erklären wie da zusammengefasst wird :O?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »




moclus Auf diesen Beitrag antworten »

danke nochmal für deine Hilfe ..
ich sitz hier dran ... immer wieder neue aufgaben und verständnisprobleme ... :/ ...



Diesen Schritt hat mein Lehrer angwandt ... aber da lösen sich doch alle auf oder nicht?! im nächsten Schritt ist er schon so weit das er ausklammern kann und die Gleichung beweist :O


danach wird ausgeklammert ... aber das mit den versteh ich wirklich garnicht!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Sortiere dir den Zähler doch mal ein wenig um.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

wie genau meinst du das mit umsortieren? Ich mein ich schau auf den Zähler und sehe doch das sich die + und - auflösen =( ?

Ordnen kann ich da ja nicht wirklich ich hab keine konkreten Zahlen :/ ?
Hilf mir mal etwas auf die Sprünge =) ...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wende doch einfach das Kommutativgesetz an auf die verschiedenen Summanden und sortiere diese ein wenig:

.

Nun sieht man doch was 0 ergibt und was nicht....
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich hab da grad ein algebraisches problem ...

weil ich dir wieder sagen würde das sich in meinen Augen alles auflöst ...
für jedes ist doch nen gegenwert zum auflösen gegeben unglücklich ??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja? ?

Ich sehe nicht, dass das negative des Summanden irgendwo in der Summe steht, übersehe ich was? verwirrt
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

also ist ein Summand .. danach folgt ein
somit gelten als Faktoren und da darf man nichts auflösen =) hab ich das jetzt richtig verstanden?! Somit ist die Lösung und das kann man noch potentiell zusammenfassen somit ergibt sich ...

Richtig erklärt ??
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

außerdem hat mein lehrer hinter die Lösung noch geschrieben

q. e . d. = w. z. b. w ...
hat das eine Bedeutung?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit richtig, aber es heißt exponentiell und nicht potenziell.

q.e.d bedeutet quod erat demonstrandum (was zu zeigen war), w.z.b.w. bedeutet was zu beweisen war.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank erstmal ..
ich versuche grade für mich selber die nachschüssige Rentenbarwertformel zu beweisen ... doch irgendwie gibts da einen Haken



Ich komm schon beim Induktionsanfang für nicht weiter ...

ist der Ansatz denn richtig?

denn irgendwie bekomme ich nichts richtiges raus ... wenn ich z.B. für

was einsetze!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moclus




Fehlt auf der rechten Seite nicht noch ein Summand, nämlich ?

Ansonsten wird das auch nichts mit dem Induktionsanfang:

n=2

auf der linken Seite steht dann , wohingegen auf der rechten Seite steht , also bereits am Anfang gescheitert unsere Induktion.

Auch das könnte man direkt zeigen (einen Teil haben wir ja schon), aber wenn es diesmal Induktion sein soll.....


Ich bitte dich, für die nächste Aufgabe einen neuen Thread zu eröffnen.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir das bitte näher erläutern? Versteh das nicht wirklich ... = /
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch einfach auf der linken und der rechten Seite n=2 ein, also überall, wo ein n steht setzt du 2 ein und rechnest das aus, steht auf beiden Seiten das gleiche?
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

ne das ist es ja aber das versteh ich nicht wieso ich am ende nach
noch
schreiben soll :o
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das war lediglich eine Frage von mir, ansonsten scheitert die Induktion bereits am Anfang und es ist nichts mehr zu zeigen.

Den Induktionsanfang habe ich dir doch vor gemacht.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

problem ist die erläuterung
das ich da nicht draufkomme ...
ich verstehe nicht warum es so ist.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Setze hier auf beiden Seiten der Gleichung n=2 ein (meinetwegen auch n=3), steht auf beiden Seiten das gleiche?

Zitat:
Original von moclus


lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Um das ganze einmal zu Ende zu bringen:

.

Es braucht also keine Induktion.

(Alles gute zur bestandenen Prüfung)
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