Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)

25.06.2011, 11:44

Schlumpf90

Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der mir der Ansatz fehlt:
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable X, wenn sie die folgende Verteilung hat:
1) Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b], für a<b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
2) Normalverteilung N( $\begin{eqnarray*} \alpha ,\sigma \end{eqnarray*}$ ^2).

Meine Ideen:
Ich habe schon herausgefunden, dass die Erwartungswerte (a+b)/2 bzw. $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sind, weiß aber nicht, wie ich genau dies zeigen kann. Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Vielen Dank im Voraus smile

25.06.2011, 12:29

Math1986

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RE: Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)
Wie ist denn der Erwartungswert für stetige Zufallsvariablen definiert?

Bei a) musst du einfach nur nach Definition rechnen
Bei b) ist es hilfreich, zuerst den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} X\sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, und dann die Transformation $\begin{eqnarray*} Y=\sigma X+\alpha \end{eqnarray*}$ zu betrachten

Bei $\begin{eqnarray*} X\sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ ist es auch hilfreich, sich die Dichtefunktion zu betrachten - wo wird der Erwartungswert wohl liegen?

25.06.2011, 15:26

Schlumpf90

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RE: Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)
So habe a) jetzt probiert. Also der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable ist definiert als E(X)= $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x*f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , wobei a im allgemeinen Fall minus unendlich und b plus unendlich ist (weiß nicht, wie man das mit Latex macht...).
Hab dann bei a) gerechnet:
E(X)= $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (1/b)*x \, dx = 1/b \int_a^b \! x \, dx = 1/b \left[1/2x^2\right]_{a}^{b} = b^2-a^2/2b =b-a^2/2 \end{eqnarray*}$
Es scheint nicht mit meiner recherchierten Lösung (s.o.) übereinzustimmen. Habe ich mich irgendwo versehen oder habe ich falsch recherchiert?
Vielen Dank im Voraus smile

25.06.2011, 15:30

Math1986

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RE: Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)

Zitat:

Original von Schlumpf90
Es scheint nicht mit meiner recherchierten Lösung (s.o.) übereinzustimmen. Habe ich mich irgendwo versehen oder habe ich falsch recherchiert?
Vielen Dank im Voraus smile

Du hast die falsche Wahrscheinlichkeitsdichte für die Gleichverteilung genommen, schlag die nochmal nach!

Und bitte:
An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!

25.06.2011, 15:53

Gast11022013

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Den Erwartungswert bei der Normalverteilung habe ich mit Substitution bestimmt:
Dann bekommt man ganz am Ende die Summe aus zwei Integralen, ein Integral ist Null und das andere Integral ist dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Kommt hin.
Einmal muss man das wichtige Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ benutzen.

Da hätte ich auch nochmal eine Frage:

Kann man solche "Standardintegrale" als bewiesen voraussetzen oder muss man das noch extra zeigen (ich habe es gemacht, aber denke eigentlich, dass man das nicht muss)?

Der Weg, den Math vorgeschlagen hat, ist aber bestimmt einfacher.
Ich wusste allerdings nichts mit der Transformation anzufangen und habs daher lieber mit Substitution gemacht.

25.06.2011, 16:02

Schlumpf90

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RE: Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)
Ah ja genau. Habe jetzt gerechnet
E(X)= $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1/(b-a) *x \, dx = 1/(b-a) \int_a^b \! x \, dx = 1/(b-a) \left[1/2x^2\right]_{a}^{b} = 1/(b-a) * ((1/2) b^2 - (1/2)a^2)= (1/2) b+a = (a+b)/2 \end{eqnarray*}$
Also scheint das ja schonmal richtig zu sein. Danke für den Hinweis mit den Klammern. Dann mach ich mich mal an b)...

25.06.2011, 16:07

Math1986

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RE: Erwartungswert (Gleichverteilung und Normalverteilung)

Zitat:

Original von Schlumpf90
$\begin{eqnarray*} \ldots (1/2) b+a = (a+b)/2 \end{eqnarray*}$

Siehe auch Wie kann man Formeln schreiben? , da ist erklärt wie man Brüche schreibt

25.06.2011, 16:10

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

Kann man solche "Standardintegrale" als bewiesen voraussetzen oder muss man das noch extra zeigen (ich habe es gemacht, aber denke eigentlich, dass man das nicht muss)?

Hängt zwar vom Prof ab, aber hier denke ich schon dass man das darf smile

(wobei ich es eben nicht verwendet habe)

25.06.2011, 16:13

Gast11022013

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Ja, ich denke das an sich auch.
Hier war der Beweis ja nicht so lang (wenn auch recht originell mit dem Quadrieren usw.), aber wenn man immer sowas nebenbei auch noch beweisen müsste, würde man ja nie fertig. Augenzwinkern

25.06.2011, 16:15

Schlumpf90

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Ok, alles klar, bin noch nicht so erfahren in der Benutzung vom Mathebord verwirrt

Hmm, also der Erwartungswert für N(0,1) ist ja nach E(x)= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , also demnach 0. Wie kann ich jetzt mit der o.g. Transformation oder Substitution weiterrechnen?
Tanzen

25.06.2011, 16:21

Gast11022013

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Also ich glaube nicht, dass das so gemeint war.

Man soll ja gerade zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert ist. Kann man ja nicht dann einfach für die Standardnormalverteilung so schon anwenden.
Und da meinte Math glaube ich, dass man am besten mit der Standardnormalverteilung zu beweisen anfängt und das Bewiesene dann auf den allgemeinen Fall ausweitet mittels der Transformation.

25.06.2011, 16:22

Math1986

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Zitat:

Original von Schlumpf90
Hmm, also der Erwartungswert für N(0,1) ist ja nach E(x)= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , also demnach 0.

Das musst du erstmnal beweisen! Selber Ansatz wie oben!

Zitat:

Original von Schlumpf90
Wie kann ich jetzt mit der o.g. Transformation oder Substitution weiterrechnen?
Tanzen

Durch die Linearität des Erwartungswertes!

25.06.2011, 17:02

Schlumpf90

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Hab dann mal wie oben angefangen:
$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_a^b \! x*f(x) \, dx = \int_a^b \! x* 1/(\sigma\sqrt{2\pi } \, dx exp ((-1/2) ((x-\alpha)/\sigma)^2)= \int_a^b \! x* 1/(1\sqrt{2\pi } \, dx exp ((-1/2) ((x-0)/1)^2)= \int_a^b \! 0,398 exp (-x^2) \, dx \end{eqnarray*}$
Und wie kann ich da jetzt weiterrechnen? Sorry, stehe gerade echt auf dem Schlauch verwirrt

25.06.2011, 17:08

Math1986

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Zitat:

Original von Schlumpf90
Und wie kann ich da jetzt weiterrechnen? Sorry, stehe gerade echt auf dem Schlauch verwirrt

Punktsymmetrie... Augenzwinkern

Und bitte bemühe dich, deine Formeln leserlich zu gestalten!

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