algebraische Zahlen

25.06.2011, 15:06

Pascal95

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algebraische Zahlen

Hallo,

Wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[m] a+\sqrt[n] b \ \text{,} \ a,b,m,n\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ algebraisch ist ?

Ich würde folgendermaßen anfangen:
$\begin{eqnarray*} x_N=\sqrt[m] a+\sqrt[n] b \end{eqnarray*}$ ist die Nullstelle eines Polynoms endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten.

Wenn man z.B. zeigen möchte, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]a \end{eqnarray*}$ algebraisch ist, kann man das Polynom mit rationalen Koeffizienten entwickeln, das $\begin{eqnarray*} x_N=\sqrt[n]a \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat: $\begin{eqnarray*} x_N=\sqrt[n]a\Rightarrow x_N^n=a\Rightarrow x_N^n-a=0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} x_N^n-a \end{eqnarray*}$ .

Nur wie könnte man hier fortfahren?
Stimmt die Annahme überhaupt?

Vielen Dank

25.06.2011, 15:29

tmo

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Schaust du mal hier nach.

01.07.2011, 12:45

Pascal95

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Da mir einige Begriffe auf der von dir verlinkten Seite neu sind, halte ich diesen Artikel für zu schwierig - jedenfalls jetzt, für mich.

Gibt es eine Möglichkeit, meine Frage auch ohne zu viel erwartetes Vorwissen zu beantworten ?

02.07.2011, 18:07

Reksilat

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Ich sehe eigentlich keine besonders großen Hürden in diesem Artikel. Jedenfalls nicht, wenn man bereits die Begriffe Körper, Ring, Vektorraum und Erzeugendensystem kennt.
Wo hakt es denn?

Gruß,
Reksilat.

02.07.2011, 18:16

Pascal95

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Zuerst wurde ich von den Begriffen entmutigt.
Von denen, die du gelistet hast, weiß ich mit allen - außer "Erzeugendensystem" - etwas anzufangen.
Da ich weiß, dass dies etwas mit Vektorräumen, mit denen ich mich noch nicht sehr viel beschäftigt habe, zu tun hat, kann ich leider damit nicht sehr viel anfangen.

Man merkt beim Lesen des Artikels doch schon sehr rasch, ob man es nun wirklich versteht.

Schon mit dem Begriff Körpererweiterung weiß ich nicht viel anzufangen.

Danke trotzdem für die Bemühungen.

02.07.2011, 18:28

Reksilat

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Das ist auch ein Grund, weshalb im Studium normalerweise schon im ersten Semester der Vektorraumbegriff ausführlich behandelt wird, während Körper und Ringe erst später drankommen.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein anderes Vorgehen fällt mir im Moment leider auch nicht ein.

Gruß,
Reksilat.

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02.07.2011, 18:30

Pascal95

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Achso, schade.

Ich werde mich dann wohl mit einigen Begriffen auseinandersetzen (müssen).

Trotzdem danke, euch beiden smile

smile

02.07.2011, 19:06

Reksilat

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Ich versuch's trotzdem mal, die Idee zu erklären, wobei dann eben ein wenig was fehlt. Ein formal korrekter Beweis ist damit vielleicht nicht möglich, aber der Grundgedanke sollte klarwerden.

Setze $\begin{eqnarray*} r:=\sqrt[m]a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s:=\sqrt[n]b \end{eqnarray*}$

Wir betrachten für alle möglichen $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (r+s)^k \end{eqnarray*}$

Das ist dann $\begin{eqnarray*} (r+s)^k=\sum_{l=0}^k \binom k lr^{l}s^{k-l} \end{eqnarray*}$

Also letztlich eine Summe von lauter Ausdrücken der Form $\begin{eqnarray*} r^i\cdot s^j \end{eqnarray*}$ mit Vorfaktoren aus den rationalen Zahlen.

Ist nun $\begin{eqnarray*} i>m \end{eqnarray*}$ , so ziehen wir einfach $\begin{eqnarray*} r^m \end{eqnarray*}$ (das ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegt) so oft wie möglich raus und stecken es in den rationalen Vorfaktor. Bei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ analog

Damit stehen da immer nur lauter Ausdrücke der Form:
$\begin{eqnarray*} (r+s)^k=\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}d_{ijk}r^is^j \end{eqnarray*}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray*} d_{ijk}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Man kann also jede Potenz von $\begin{eqnarray*} r+s \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dieser insgesamt $\begin{eqnarray*} n\cdot m \end{eqnarray*}$ Elemente der Form $\begin{eqnarray*} r^is^j \end{eqnarray*}$ schreiben

_________

Und jetzt benötigt man doch etwas vom Vektorraum. - Den Begriff der linearen unabhängigkeit und der Dimension.

Wir schreiben diese $\begin{eqnarray*} d_{ijk} \end{eqnarray*}$ als Vektoren. Der erste Vektor ist der für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ da stehen dann alle $\begin{eqnarray*} d_{ij0} \end{eqnarray*}$ drin. Ein Vektor mit $\begin{eqnarray*} n\cdot m \end{eqnarray*}$ Einträgen.
Der nächste Vektor besteht aus den $\begin{eqnarray*} d_{ij1} \end{eqnarray*}$ usw.
Damit bekommt man beliebig viele Vektoren mit jeweils $\begin{eqnarray*} n\cdot m \end{eqnarray*}$ Einträgen und spätestens wenn man $\begin{eqnarray*} m\cdot n+1 \end{eqnarray*}$ davon hat, werden diese linear abhängig, d.h. man kann einen der Vektoren als Linearkombination der vorherigen darstellen.

Wenn man das hat, dann kann man auch das zugehörige $\begin{eqnarray*} (r+s)^k \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von lauter $\begin{eqnarray*} (r+s)^l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l< k \end{eqnarray*}$ darstellen. Also:
$\begin{eqnarray*} (r+s)^k=\sum_{l=0}^{k-1}c_l(r+s)^l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_l\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x^{k}-c_{k-1}x^{k-1}-...-c_1x-c_0 \end{eqnarray*}$ das gewünschte Polynom.
_____

Den zweiten Teil kann ich auch mal am Beispiel verdeutlichen. Jedenfalls wenn Du den ersten teil verstanden hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2011, 19:10

Pascal95

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Danke, dass du versuchst, mir das zu erklären !

Leider weiß ich nicht, wo das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ herkommt.

Zitat:

Ist nun $\begin{eqnarray*} i>m \end{eqnarray*}$ , so ziehen wir einfach [...]

02.07.2011, 19:54

Reksilat

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Entschuldigung. Eigentlich wollte ich statt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ überall $\begin{eqnarray*} r:=\sqrt[m] a \end{eqnarray*}$ stehen haben. Hammer

Hammer

Lies es mal so: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te Wurzel einer rationalen Zahl. Dann ist $\begin{eqnarray*} a^m\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

02.07.2011, 20:00

Pascal95

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Hmm, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist hier ja der Radikand, aber dann ist $\begin{eqnarray*} a^m=r \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} r=\sqrt[m] a \end{eqnarray*}$ , man weiß ja nicht, ob $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

02.07.2011, 20:33

Reksilat

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Ich habe es jetzt oben verändert. Hatte dafür vorhin leider keine Zeit.
Damit stimmen die Bezeichnungen mit Deinem ersten Beitrag überein.

Bin für heute weg. Wink

Wink

Gruß,
Reksilat.

03.07.2011, 22:01

Pascal95

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Hallo,

Zitat:

Ist nun $\begin{eqnarray*} i>m \end{eqnarray*}$ , so ziehen wir einfach $\begin{eqnarray*} r^m \end{eqnarray*}$ (das ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegt) so oft wie möglich raus und stecken es in den rationalen Vorfaktor.

Meinst du das für jeweils einen Summanden? ( $\begin{eqnarray*} i>m \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} r^m \end{eqnarray*}$ ist ja auch gleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} i=m+1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} r^i=\left(\sqrt[m]a\right)^{m+1}=\left(\sqrt[m]a\right)^{m}\cdot \left(\sqrt[m]a\right)^{1}=a\cdot \sqrt[m]a \end{eqnarray*}$ .
Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} i=m+2 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} r^i=\left(\sqrt[m]a\right)^{m+2}=\left(\sqrt[m]a\right)^{m}\cdot \left(\sqrt[m]a\right)^{2}=a\cdot \sqrt[m]a^2 \end{eqnarray*}$ .
Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} i=2m \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} r^i=\left(\sqrt[m]a\right)^{2m}=\left(\left(\sqrt[m]a\right)^{m}\right)^2=a^2 \end{eqnarray*}$ .

Soweit richtig verstanden?

Mit " $\begin{eqnarray*} r^m \end{eqnarray*}$ rausziehen" meinst du $\begin{eqnarray*} r^i \end{eqnarray*}$ durch Vielfache von $\begin{eqnarray*} r^m \end{eqnarray*}$ teilen und $\begin{eqnarray*} k\choose l \end{eqnarray*}$ mit dem entsprechenden multiplizieren?

04.07.2011, 10:41

Reksilat

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Ja, genau.

04.07.2011, 16:47

Pascal95

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Wie kommst du denn hier auf die Doppelsummen?

Zitat:

Damit stehen da immer nur lauter Ausdrücke der Form:
$\begin{eqnarray*} (r+s)^k=\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}d_{ijk}r^is^j \end{eqnarray*}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray*} d_{ijk}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} m\cdot n=k \end{eqnarray*}$ , hätte man wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Summanden,
weil es n Summanden von 0 bis n-1 sind und m Summanden von 0 bis m-1.

Aber wie diese Summe entsteht ist mir noch nicht ganz klar.

04.07.2011, 17:33

Reksilat

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Vielleicht doch mal am Beispiel:
$\begin{eqnarray*} r:=\sqrt 2,s:=\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} n=m=2 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte (vollkommen willkürlich) $\begin{eqnarray*} k=5 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (\sqrt 2+\sqrt 3)^5&=&\sqrt 2^5+5\sqrt 2^4\sqrt 3+10\sqrt 2^3\sqrt 3^2+10\sqrt 2^2\sqrt 3^3+5\sqrt 2\sqrt 3^4+\sqrt 3^5\\&=&4\sqrt 2+20\sqrt 3+60\sqrt 2+60\sqrt 3+45\sqrt 2+9\sqrt 3 \end{eqnarray*}$
Zusammengefasst steht da immer eine Summe der Ausdrücke $\begin{eqnarray*} 1,\sqrt 2,\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt 2\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ mit gewissen Vorfaktoren. Das sind gerade $\begin{eqnarray*} r^0s^0,r^1s^0,r^0s^1,r^1s^1 \end{eqnarray*}$ - also genau die Ausdrücke, die auch in der Doppelsumme entstehen.

Sicherlich können immer auch ein paar der Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} d_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ sein. Es können aber eben nicht mehr Summanden als diese auftreten.

Wenn man $\begin{eqnarray*} (r+s)^k \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert lässt sich halt jeder Summand als $\begin{eqnarray*} d_{ij}r^is^j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i<m,j<m \end{eqnarray*}$ und geeignetes $\begin{eqnarray*} d_{ij} \end{eqnarray*}$ schreiben.

04.07.2011, 17:43

Pascal95

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Ich hoffe, dass es mir nun einigermaßen klar geworden ist...

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