Taylorpolynom ohne Ableitungen?

Neue Frage »

Roonex Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom ohne Ableitungen?
Aufgabe:

Bestimme das 4te Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0 für





Also hab jetzt die ersten beiden Ableitungen berechnet, aber bei der dritten wird das schon recht stressig^^

Als Hinweis steht bei der Aufgabe dabei, dass man hier gar keine Ableitung zu berechnen braucht, um auf das Ergebnis zu kommen.

Habe mir überlegt, was denn passiert wenn ich in die Ableitungen 0 einsetze, für und die ersten beiden Ableitungen kommt jeweils 1 raus... ich könnte mir vorstellen dass das für die dritte Ableitung auch hinhaut weil da überall noch stehen müssten.

Aber bei der vierten Ableitung muss irgendwo noch eine Konstante rauskommen, sodass dort dann wenn man 0 einsetzt nicht mehr 1 rauskommt (weil da ja "aufgebraucht" ist)

Ich hoffe ich bin verständlich genug^^

Sind meine Überlegungen richtig? Oder muss man da anders rangehen?
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hier noch die ersten beiden Ableitungen:



Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Bei zweiten Ableitung soll es im 2ten Summanden heißen
bey Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist recht einfach. Ich vermute, du kennst die Entwicklung von e^y an der Stelle 0:



Setze nun einfach für y, deine Funktion 4x^4+x ein. Beachte nun, dass du alle x^5, x^6, x^7 usw vernachlässigen kannst, da du nur das Polynom vierten Grades suchst.
bey Auf diesen Beitrag antworten »

sry das soll natürlich so heißen

Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, d.h. das ist doch die Potenzreihen-Schreibweise der Exponentialfunktion?

Ich muss ja die Stelle betrachten, und für ist 0...

Würde das dann nicht heißen dass alle sind?

Die Zusammenhänge sind mir noch nicht so klar, sorry Gott
 
 
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stelle x=0 steckt doch schon in der Potenzschreibweise des Logarithmus drin!
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, und wo kommt der Logarithmus vor? Und wie steckt x=0 da drin?


Also ich weiß jetzt auf Anhieb nur



und dass das irgendwie mit dem Taylorpolynom zusammenhängt, aber wie genau weiß ich nicht (abgesehen davon dass es ähnlich aussieht)
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Die Taylorentwicklung an der Stelle kann man allgemein schreiben als



mit Koeffizienten . Du sollst eine ähnliche Summe für finden. Du entwickelst zunächst e^y an stelle y=0. Die Entwicklung lautet dann:



setze nun für y die Funktion ein. Wenn man es ausmultipliziert, erhält man wieder so eine Summe wie ganz oben mit gewissen Koeffizienten. Man kann zeigen, dass für "gewisse" Funktion (ohne zu sehr ins Detail zu gehen) diese Koeffizienten eindeutig sind. Unabhängig davon wie man darauf kommt. Versuche nun die ersten 5 Koeffizienten aufzuschreiben, indem du in



einsetzst.

\Edit: Es gilt



wobei die n-te Ableitung von ist, die man dann an der Stelle auswertet. Die n-te Ableitung von ist . Wenn man dies an der Stelle auswertet, kommt man auf die Koeffizienten
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht schon mal nicht schlecht aus, aber wie bey bereits gesagt hat, kannst du Terme mit höherer Ordnung vernachlässigen. Also kannst du z.b. sagen: (4x^4+x)^4 = x^4 + Terme mit Ordnung x^5 bis x^16. Die sollst du ja nicht beachten, also lässt du sie direkt weg und schreibst nur x^4 hin.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich jetzt aber nicht verwirrt


Meinst du dass ich dann statt das hier schreiben kann? Weil usw. "wegfällt"?

Verstehe aber auch nicht warum das einfach wegfällt verwirrt Klingt irgendwie merkwürdig
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Es fällt nicht weg, sondern taucht im Restglied auf, welches die Form



mit gewissen Koeffizienten hat. In der Aufgabe war allerdings nur das Polynom mit den ersten 5 Gliedern gefragt. Also

.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Im Taylorpolynom tauchen doch normalweise die Ableitungen in den Summanden auf?

Also wo ist denn der Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und dem Taylorpolynom? Ist es nur eine 'Umsortierung' so dass man wie in der Aufgabe die höheren Potenzen 'nach Rechts' packt?
Und heißt das wenn ich die Taylorreihe betrachte, ist die dann gleich der Exponentialfunktion? Weil dann alle Potenzen beachtet werden? Und warum ist das gleich, in der Taylorreihe werden lauter Ableitungen betrachtet und in der Exponentialfunktion nur Potenzen?

Fragen über Fragen Erstaunt2


Laut Definition setzt man den Entwicklungspunkt in die Ableitung ein, das heißt doch wenn ich 0 einsetze in der Aufgabe, müsste doch vieles wegfallen?
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roonex
Im Taylorpolynom tauchen doch normalweise die Ableitungen in den Summanden auf?


Das ist richtig. Diese Form hab ich aber auch vorhin angegeben.

wobei .


Zitat:
Original von Roonex
Also wo ist denn der Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und dem Taylorpolynom? Ist es nur eine 'Umsortierung' so dass man wie in der Aufgabe die höheren Potenzen 'nach Rechts' packt?


Die Taylorreihe ist ein Polynom, mit dem man eine Funktion an einer Stelle entwickelt. Entwickelt man bei , erhält man die bekannte Summenformel

.

Das ist der Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und dem Taylorpolynom.
Wenn du allgemein eine Funktion an der Stelle entwickeln willst, suchst du quasi auch ein Polynom, wobei diese Koeffizienten eindeutig sind. D.h. Wenn du nun bei entwickeln willst und nur an den ersten 5 Gliedern interessiert bist, suchst du



Wie bereits mehrmals gesagt, sind die Koeffizienten eindeutig. D.h., es ist egal wie man darauf kommt. Du könntest nun den Ansatz über Ableitungen anfangen und diese bei auswerten, oder aber du erkennst, dass du einfach die bekannte Entwicklung von anschauen kannst und da deine Funktion einsetzen kannst. Dabei entstehen wolche Terme wie . Wenn man sie Ausmultipliziert, erhält man wieder Polynome. Sie kannst du einfahc nach Potenzen sortieren. Dich interessieren nur Potenzen bis einschließlich 4, also lässt du die anderen weg, da sie nur im Restglied auftauchen.

Zitat:
Original von Roonex
Und heißt das wenn ich die Taylorreihe betrachte, ist die dann gleich der Exponentialfunktion? Weil dann alle Potenzen beachtet werden? Und warum ist das gleich, in der Taylorreihe werden lauter Ableitungen betrachtet und in der Exponentialfunktion nur Potenzen?

Fragen über Fragen Erstaunt2


Mir sind diese Fragen nicht ganz klar.

Zitat:
Original von Roonex
Laut Definition setzt man den Entwicklungspunkt in die Ableitung ein, das heißt doch wenn ich 0 einsetze in der Aufgabe, müsste doch vieles wegfallen?


Ja du sagst es. In die Ableitungen. Wenn ich aber einfach einsetze, leite ich ja nirgendwo ab. Wichtig ist, dass ich irgendwie ein Polynom



bekomme.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das jetzt doch noch mit den Ableitungen gemacht...

Danke trotzdem für eure Unterstützung! Freude


Meine Lösung:



Kann das vielleicht noch jemand bestätigen/widerlegen?

Edit: Ich muss es nochmal überprüfen, ich glaube statt 97 soll es 98 sein...
Kann aber natürlich sein dass einfach alles falsch ist böse
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Schau nochmal meine Antwort auf der ersten Seite ganz unten. Hier der eigentliche Lösungsweg:



Daraus folgt



Letzteres gilt, wenn man z.b. anschaut. Das muss man nicht mal ausmultiplizieren, um zu sehen dass die Exponenten von x nur bei einem Glied <= 4 sind. Alle andere Glieder kann man vernachlässigen, da sie nicht im Taylorpolynom 4-ten Grades auftauchen.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hab mir deine letzte Antwort durchgelesen, also im Ansatz ist es mir schon doch etwas klarer geworden.

Zwei Sachen noch:

1.)
Welche Bedeutung hat der Entwicklungspunkt für die Reihendarstellung der Exponentialfunktion?
Warum ist es nur für die übliche Darstellung, und wie sieht es sonst aus?

2.)
Warum tauschst du z.B. einfach mit aus? Das mit dem Restglied hab ich soweit verstanden, aber woher weiß man dass da nicht noch irgendwo 'en sein können?

Edit: Oh, sehe gerade dass du was zu Punkt 2.) in den letzten Post reineditiert hast :-)
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roonex
1.)
Welche Bedeutung hat der Entwicklungspunkt für die Reihendarstellung der Exponentialfunktion?
Warum ist es nur für die übliche Darstellung, und wie sieht es sonst aus?


Es gibt, wie man sich denken kann, unendlich viele Entwicklungen für die Exponentialfunktion. Allgemeine Entwicklung von an der Stelle lautet



Das folgt direkt aus der Definition der Taylorreihe mit den Ableitungen und dann einsetzen von . Welche Bedeutung das hat, kann ich dir nicht direkt sagen. Es gibt auf jeden Fall Punkte in denen sich einige Funktionen viel besser entwickeln lassen als in anderen.


Was deinen zweiten Punkt anbelangt, kannst du dir ja die binomische Formel anschauen und überlegen warum hier höchstens ein Summand entsteht, der die Potenz <= 4 hat ^^
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, fürs erste reichts mir^^

Muss gerade noch das 3te Taylorpolynom vom Arcustangens (mit Entwicklungspunkt 0) bestimmen, aber die Ableitungen hinzuschreiben geht hier wesentlich einfacher als bei der ersten Aufgabe.


Vielen Dank für deine Mühe Wetal! Es war nicht umsonst Freude
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

freut mich ^^
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Und als Abschluss:

Für das Dritte Taylorpolynom vom Arcustangens im Entwicklungspunkt 0 habe ich raus:



Bin mir zu 99% sicher dass das richtig ist^^
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Du kannst sowas auch selbst auf wolframalpha.com überprüfen. schreib da einfach sowas wie: arctan(x) series at 0
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »