Grenzwerte mit log und e

25.06.2011, 19:46

Calcoolon

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Grenzwerte mit log und e

Hallo zusammen!

Für folgende Aufgaben versuche ich gerade den Grenzwert zu berechnen. Da das Thema noch relativ neu für mich ist, würde ich gerne um Hilfe und Tipps bitten.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{log(1+a*x)}{x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{|x|^{n}}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$

25.06.2011, 20:00

Calcoolon

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Mein Ansatz
Für die erste Rechnung:

Die Regel von l'Hospital benutzen!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} log(1+a*x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = 0 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von log(1+a*x):
g'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+a*x)ln(10)} \end{eqnarray*}$

und die Ableitung von x:
h'(x) = 1

Mein Ergebniss bisher ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{h'(x)}=\frac{1/ln(10)}{1}=1/ln(10) \end{eqnarray*}$

Soviel zur ersten. Die 2. Aufgabe möchte ich lösen, nachdem ich weiss, dass ich hier richtig vorgegangen bin.

25.06.2011, 20:01

lenzilenz

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Sagt dir die Regel von de l'Hopital was? Die musst du hier anwenden.
EDIT: zu spät

25.06.2011, 20:10

pressure

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Sicher, dass der 10er Logarithmus gemeint ist ? Für diesen schreibt man meistens lg.
Zudem hast beim ableiten vom Logarithmus vergessen nachzudifferenzieren.

25.06.2011, 20:15

Calcoolon

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Danke fürs Antworten.

Also die Aufgabe ist wie oben angegeben. Zum log ist keine Basis angegeben.
Wäre es dann Basis 2 oder soll man hier unabhängig von der Basis auf eine Lösung kommen?

Was meinst du mit nachdifferenzieren? bzw. welcher Teil der Ableitung stimmt nicht?

25.06.2011, 20:18

lenzilenz

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Das heißt du hast beim Ableiten die Kettenregel nicht beachtet und die innere Ableitung vergessen.

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25.06.2011, 20:43

Calcoolon

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ok, die korrekte Ableitung lautet:

g'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{a}{ln(10)(1+a*x)} \end{eqnarray*}$

Dann korrigiere ich mein Ergebniss:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{a/ln(10)}{1}=a/ln(10) \end{eqnarray*}$

Ich denke das ich vom logarithmus zur Basis 10 ausgehen kann, kann man also erstmal unberücksichtig lassen.

Ist die Rechnung sonst korrekt?

26.06.2011, 12:41

Calcoolon

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Könnte bitte jemand einen kurzen Blick auf meine Rechnung werfen? Die 2. Aufgabe ist ersteinmal nicht so wichtig.

26.06.2011, 12:49

Wetal

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Wenn keine Basis angegeben ist, rechnet man in der Regel mit der Basis e. Da ich mir nicht sicher bin wie man mit Basis 10 rechnet, wäre zumindest für Basis e der Grenzwert a.

26.06.2011, 12:56

Calcoolon

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ja klar! Klasse!
weil ln(e) = 1 ist das ergebniss also a?

Das macht viel mehr Sinn. Danke vielmals.

26.06.2011, 13:08

pressure

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Für den Fall des dekadischen Logarithmus ist a/ln(10) korrekt.

26.06.2011, 13:30

Calcoolon

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Ok, super. Freut mich die Regeln richtig angewendet zu haben.

Zur zweiten Aufgabe, habe ich folgendes Problem. Mir bereiten nicht die Ableitungen probleme, sondern das ich wenn ich das x mit null ersetzen will, plötzlich duch 0 teilen muss.
Ist l'Hospital hier überhaupt möglich?

26.06.2011, 14:01

Wetal

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Bei der ersten "müsstest" du ja auch durch 0 teilen, wenn du direkt x einsetzst.

26.06.2011, 14:32

Calcoolon

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Bei der ersten Aufgabe verstehe ich es, da ich ja wegen 0/0 mit l'Hospital arbeite.
Ich leg einfach mal mit der 2. los:
g(x)= $\begin{eqnarray*} |x|^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$
h(x)= $\begin{eqnarray*} e^{-1/x^{2}} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{h(x)}=\frac{0}{0}=0 \end{eqnarray*}$
deswegen wende ich l'Hospital an:
g'(x)= $\begin{eqnarray*} n*|x|^{n-1} \end{eqnarray*}$

h'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{2e^{-1/x^{2}}}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{h'(x)}=0/0=\infty \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

26.06.2011, 14:38

Wetal

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g' ist nicht ganz korrekt und 0/0 ist nicht definiert, daher ist das weder 0 noch unendlich.

26.06.2011, 14:48

Calcoolon

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Ok, da hab ichs mir gerade zu einfach gemacht mit der Ableitung.

Also g'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{n*|x|^{n}}{x} \end{eqnarray*}$

und trotzdem komme ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}=0/0 \end{eqnarray*}$

26.06.2011, 14:58

Wetal

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Was könnte man denn nun machen? Du hast lim von einem Bruch wo beide Funktionen gegen 0 gehen.

Edit: Sag mir zunächst wie du den Grenzwert von h'(x) und g'(x) ausgerechnet hast

26.06.2011, 15:06

Calcoolon

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da beide gegen 0 gehen, muss man etwa nochmal ableiten?

Ansonsten, kettenregel für ableitungen... bei der Funktion mit dem Betrag, wusste ich nicht, dass da andere Regeln gelten, als einfach x^n abzuleiten

Eben, das ist das Problem im Moment, die Grenzwerte sind so ziemlich "geraten". Ich habe für jedes x einfach 0 eingesetzt

26.06.2011, 15:15

Wetal

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das wird auch problematisch für n =1, lim g'(x) auszurechnen, weil es da nicht definiert ist. Sonst würde ich erstmal g' / h' ausschreiben und schauen ob du da nicht neue Funktionen erhältst,deren Grenzwert du einfach ablesen kannst. Eventuell wieder l'Hospital anwenden.

26.06.2011, 15:49

Calcoolon

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Leider komme ich nicht mehr weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\frac{n*|x|^{n}}{x}}{\frac{2e^{-1/x^{2}}}{x^{3}}} \end{eqnarray*}$

Hab das Gefühl, nochmal l'Hospital und ich würde mich im Kreis drehen. Kann die Grenzwerte sowieso schon jetzt nicht mehr begründen.

26.06.2011, 16:28

Wetal

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Da kürzt sich doch was weg?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n\cdot |x|^n \cdot x^2}{2e^{-\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n\cdot |x|^{n+2}}{2e^{-\frac{1}{x^2}}} \end{eqnarray*}$

ja ich weiß auch nicht genau wo das hinführt ^^ manchmla muss man einfach rumprobieren.

26.06.2011, 16:53

Calcoolon

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Danke für den Tipp.
Jetzt erübrigt sich auch die Sache mit n=0!

Also ich denke beide Werte (über und unter Bruchstrich), streben gegen 0

26.06.2011, 17:09

Huggy

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Bevor man loslegt, sollte man sich ein paar Fragen beantworten:

(1) Für welche n wird der Grenzwert gesucht?

(2) Kann man den lästigen Betragsstrich loswerden?

(3) Kann man den Ausdruck in eine günstigere Form bringen?

26.06.2011, 17:24

Calcoolon

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(1) soll für $\begin{eqnarray*} n \in N_{0} \end{eqnarray*}$ gelten
(2) hier weiss ich nicht wie ich das anstellen soll
(3) kann ich erst abhaken, wenn (2) auch erledigt ist

26.06.2011, 17:31

Huggy

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(1) $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ heißt wahrscheinlich natürliche Zahlen einschließlich 0. Dann kann man den Fall n = 0 schon mal ohne l'Hospital abhaken.

(2) Wenn der Grenzwert existiert, dann müssen auch die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sein. Jetzt kann man sich den Ausdruck mal für x > 0 und x < 0 hinschreiben und zwar in beiden Fällen ohne Betragsstrich. Vielleicht kommt dir dann für x < 0 eine Idee.

26.06.2011, 17:44

Calcoolon

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(1) Also für n = 0 wäre der Grenzwert wohl 0!
Da für den oberen Ausdruch 0 rauskommt, ist es egal welchen wert der untere annimt.

(2) n>0
für x<0 -> $\begin{eqnarray*} n*(-x)^{n+2} \end{eqnarray*}$
für x>0 -> $\begin{eqnarray*} n*(x)^{n+2} \end{eqnarray*}$

Richtig soweit?

[EDIT]
Also für x<0 und für x>0 ist der Grenzwert auch 0

26.06.2011, 17:53

Huggy

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(1) Wir bleiben erst mal bei dem ursprunglichen Ausdruck vor der Anwendung von l'Hospital.
Was ergibt sich da für n = 0?

(2) Das ist richtig. Und beim ursprünglichen Ausdruck wäre das im Zähler:

$\begin{eqnarray*} x >0: \quad x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x <0: \quad (-x)^n \end{eqnarray*}$

Nun mach mal bei x < 0 die Substitution y = -x. Dann ist y > 0. Und der Ausdruck sieht dann genauso aus wie für x > 0. Die beiden einseitigen Grenzwerte sind also identisch. Man kann sich daher auf den Grenzwert von der positiven Seite aus beschränken und die Betragsstriche weglassen.

26.06.2011, 18:17

Calcoolon

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Also komplett zurück an den Anfang,
zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{|x|^{n}}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$
Das war bevor ich das erste mal l'Hospital eingesetzt habe.

(1) für n=0 ist $\begin{eqnarray*} |x|^{n}=1 \end{eqnarray*}$ (ausser für x=0???).

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$

(2) Also wenn ich die Betragstriche einfach weglassen kann, nachder obigen Annahme, dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{y^{n}}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$

So und jetzt l'Hospital?

26.06.2011, 18:24

Huggy

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Zitat:

Original von Calcoolon
(1) für n=0 ist $\begin{eqnarray*} |x|^{n}=1 \end{eqnarray*}$ (ausser für x=0???).

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Ja. Und was ist denn nun dieser Grenzwert?

Zitat:

(2) Also wenn ich die Betragstriche einfach weglassen kann, nachder obigen Annahme, dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{y^{n}}{e^{-1/x^{2}}} \end{eqnarray*}$

So und jetzt l'Hospital?

Noch nicht und im Zähler steht auch x.

Jetzt bring mal den Zähler in den Nenner und den Nenner in den Zähler. Nicht einfach vertauschen, sondern mathematisch korrekt umschreiben. Danach sieht man eine naheliegende Substitution.

26.06.2011, 18:46

Calcoolon

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Ok, sorry falls man mich gerade zu sehr an die Hand nehmen muss : )

(1) Grenzwert = 0?

(2) ich versteh leider nicht, wie ich das machen soll. Tut mir leid.

26.06.2011, 18:49

Calcoolon

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Zu allem überfluss, habe ich gerade von meinem Tutor bescheid bekommen, dass wir nicht l'Hospital nutzen dürfen : (

26.06.2011, 18:52

Huggy

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Zitat:

Original von Calcoolon
(1) Grenzwert = 0?

Nein!!!
Der Zähler ist konstant 1. Und der Nenner geht gegen 0. Was ist dann der Grenzwert?

Zitat:

(2) ich versteh leider nicht, wie ich das machen soll. Tut mir leid.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{e^{-\frac{1}{x^2}}}=\frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x^n}} \end{eqnarray*}$

Umformung klar?
Siehst du jetzt eine naheliegende Substitution?

26.06.2011, 19:08

Calcoolon

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(1) grenzwert = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
(2) kann man $\begin{eqnarray*} 1/x^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1/x^{n} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ersetzen?

26.06.2011, 19:12

Huggy

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Zitat:

Original von Calcoolon
(1) grenzwert = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

So ist es!

Zitat:

(2) kann man $\begin{eqnarray*} 1/x^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1/x^{n} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Nein!
Ich meinte die Substitution y = 1/x. Wie schaut der Ausdruck dann aus?
Für den sich ergebenden Ausdruck gilt, wenn x für x > 0 gegen Null geht, dann geht y gegen +Unendlich.

26.06.2011, 19:23

Calcoolon

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also (1) ist abgehakt

(2)
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{y*2}}{y^{n}} \end{eqnarray*}$

26.06.2011, 19:29

Huggy

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Zitat:

Original von Calcoolon
also (1) ist abgehakt

Ja!

Zitat:

(2)
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{y*2}}{y^{n}} \end{eqnarray*}$

Korrekt, falls * = ^. Dieser Ausdruck ist für l'Hospital geeigneter als der ursprüngliche, wie man gleich sehen wird.
Wende jetzt l'Hospital erst mal für n =1 an. Den Grund sieht man später.

26.06.2011, 19:31

Calcoolon

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stimmt, * = ^

aber wie ich oben angemerkt habe, habe ich gerade erfahren, dass l'Hospital hier nicht erlaubt ist.

Gibt es eine andere Möglichkeit?

26.06.2011, 19:33

Huggy

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Wieso sollte L'Hospital nicht erlaubt sein?

26.06.2011, 19:34

Calcoolon

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Weil mein Tutor gerade meinte, es war noch nicht teil des Stoffes, wird also erst noch eingeführt bei uns.

26.06.2011, 19:42

Huggy

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Was habt ihr bisher über die Exponentialfunktion erfahren?

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