Uneigentliche Integrale

Neue Frage »

Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliche Integrale
Hallo

ich soll hier ein Integral auf Konvergenz untersuchen:



allerdings kann ich mir hier kaum vorstellen dass ich das integral berechnen soll. Ich habe mit der Patialbruchzerlegung angefangen und bekomm dann schon ein recht hässliches Teil, was darauf schließen lässt, dass das Integral auch hässlich wird. Gibt es vielleicht auch einen "schönen" weg auf das gewünschte Ergebnis zukommen? Irgendein netter Trick vielleicht? Wenn nicht muss ich wohl anfangen ein Buch zuschreiben, in dem ich das Integral berechne smile
pressure Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja eigentlich nur um die obere Grenze.

Wenn du nun z.B. eine Funktion findest, welche für x > x_0 > 1 größer gleich deinem Integranden ist und zudem integrierbar im Intervall x0 bis Unendlich ist, dann folgt dass dein Integral auch konvergiert. Eine solche Funktion zu finden, die zudem elementar integrierbar ist, sollte recht einfach sein.
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral lautet (mit Maple):
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

@ lenzilenz: das hat mir mathematica auch erzählt...nur wie man zu diesem Ergebnis kommt, ist sehr sehr aufwendig. Also für mich nicht akzeptabel.

@ pressure: was für eine funktion wäre das dann zum Beispiel? Denn f(x)=2 wäre ja auch immer größer gleich dem Integranten oder nicht!?
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Suche eine Funktion, für die



und für alle
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

mich befriedigt das aber reichlich wenig. Es kann ja auch durchaus sein, dass das Integral gar nicht Konvergent ist. Ich also auch niemals eine solche funktion finden werde
 
 
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Man kriegt irgendwann einfach ein Gefühl für solche Funktionen. Da sollte fix eine Abschätzung zu finden sein. Fällt dir da was ein?
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

wäre eine solche

und das wäre dann integriert arctan(x).. damit könnte ich dann rechnen und zeigen, dass dieses Integral konvergent ist?!
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

ist das wirklich eine Majorante? bereits für x = 1 ist das nicht erfüllt. außerdem denkst du zu kompliziert ^^ das ist wirklich ziemlich simple.
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

ah.... smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Icheben3
ah....

Überleg nochmal, ob das wirklich sinnvoll wäre.

Und mach es dir doch nicht so schwer. Ein Bruch wird größer, wenn der Nenner kleiner wird. Was wäre denn eine ganz einfache Möglichkeit, den ursprünglichen Bruch (bzw. den Nenner) dahingehend zu verändern? So, dass sich eine Stammfunktion dann sehr einfach bestimmen ließe?
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

okey dann nehme ich eben mal als Majorante =)

aber ich habe das mit der Majorante immer noch nicht so recht verstanden. Mit der Majorante kann ich doch nur beweisen, dass die Funktion nicht ins Positive divergiert. Aber was mach ich nun, wenn sie ins negative divergiert?

gibt es eine Majorante für ?
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Icheben3
okey dann nehme ich eben mal als Majorante =)

aber ich habe das mit der Majorante immer noch nicht so recht verstanden. Mit der Majorante kann ich doch nur beweisen, dass die Funktion nicht ins Positive divergiert. Aber was mach ich nun, wenn sie ins negative divergiert?


Schau dir nochmal das Majorantenkriterium an.
Wenn dann gilt:


Zitat:
Original von Icheben3
gibt es eine Majorante für ?


Sag erstmal den Integrationsbereich.
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh wahrscheinlich sollte ich das machen.. in meinem Skript ist das nur nicht allzu gut erklärt unglücklich

Die Grenzen für das genannte integral wären Pi/4 bis Inf
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Icheben3
Mhh wahrscheinlich sollte ich das machen.. in meinem Skript ist das nur nicht allzu gut erklärt unglücklich

Die Grenzen für das genannte integral wären Pi/4 bis Inf


Hier kann man das minorantenkriterium anwenden, um die Divergenz zu zeigen.
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

ah okey...also wäre hier eine Minorante .

da diese divergent ist, muss auch divergent sein
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das wirklich eine Minorante? Kannst du das beweisen? Falls ja, für welchen Bereich?
Icheben3 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn "Ein blick auf die Schaubilder" also beweis ausreicht, dann kann ich es Beweisen..ja smile

ich weiß aber nicht mehr weiter mit diesen Minoranten etc. Also vor dieser Funktion sitze ich jetzt wirklich schon lange und ich bekomme einfach keine Funktion die man als Minorante beweisen könnte und auch noch einfach integrierbar ist
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollte man diesen Thread

Untersuche Integral auf Konvergenz

mit dem hier vereinigen. Augenzwinkern
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Vielleicht sollte man diesen Thread

Untersuche Integral auf Konvergenz

mit dem hier vereinigen. Augenzwinkern


danke, hab den die ganze zeit gesucht ^^
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »