Parametergleichung der Ebene

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G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »
Parametergleichung der Ebene
Meine Frage:
Hallo Leute, da es etwas länger her ist, dass wir Vektoren, ... durchgenommen haben, habe ich etwas Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:
"Ermitteln sie eine Parameterform der Ebene, die den Punkt A(2/-1/-2) und die Gerade g: enthält."

Meine Ideen:
Ich habe leider absolut keine Ahnung mehr. Es tut mir leid
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was braucht man denn allgemein in der Regel um eine Ebenengleichung in Parameterform aufzustellen ?
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parametergleichung der Ebene
Ich glaube man braucht so was wie Ich bin mir nicht sicher, ob nach dem hier gefragt wird, oder ich etwas verwechselt habe.

Übrigens habe ich das Endergebnis:

Es bringt mir aber nichts, wenn ich die Lösung hab und nicht den Rechenweg.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es bringt mir aber nichts, wenn ich die Lösung hab und nicht den Rechenweg.


Eine weise Aussage. smile

Jedoch wäre dein Kontrollergebnis eine Koordinatenform und keine Parameterform.

Deine Vektorengleichung oben geht in die richtige Richtung, nur das k ist überflüssig.
Man muss sich klar machen was diese ganzen Vektoren nun bedeuten.
Für eine Ebene in Parameterform benötigt man einen Stützvektor (hier also der Vektor a) und zwei Spann- bzw Richtungsvektoren (hier also die Vektoren b und c).

Jetzt muss man sich überlegen wie man diese Vektoren mittels des gegebenen Punktes A und der Geraden g bestimmt.
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist deshalb eine Koordinatenform, da die Aufgabe ursprünglich nach einer Koordinatenform gefragt hatte, meine Lehrerin die Aufgabe aber umgeändert hat, da wir das noch nicht hatten im Unterricht.

Ich könnte mir vorstellen (bin mir aber nicht sicher), dass man den Punkt A statt des Vektors schreiben könnte. Und die Vektoren der Gerade g einsetzen in und

Ich bin mir überhaupt nicht sicher... traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, versuchen wir uns mal etwas anders ranzutasten.

Um eine Ebenengleichung eindeutig anzugeben benötigt man 3 Punkte (für eine Gerade braucht man nur 2 Punkte).
Zudem muss auch noch erfüllt sein, dass die 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Nennen wir diese 3 Punkte mal A,B und C.
Die Ebene soll in A positioniert werden und von den Vektoren AB und AC aufgespannt werden.
Folglich wäre eine mögliche Parameterform dieser Ebene defniert durch

wobei s und t reelle Zahlen sind

Überlege dir nun wie man bei der Aufgabe an seine 3 Punkte gelangen könnte, durch welche man dann eine entsprechende Ebenengleichung aufstellen kann.
 
 
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte mir vorstellen, dass der Stützvektor (?) durch den Punkt A ersetzt werden könnte. Was ich aber mit und anfangen soll, weiß ich überhaupt nicht. verwirrt

t und s sind, denke ich mal, "frei wählbar" um lineare (Un-)Abhängigkeit zu zeigen. Aber sonst weiß ich nichts. traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich nur, dass du mir 3 Punkte nennst, die man hier für die Ebene verwenden könnte. Augenzwinkern

Einen Punkt haben wir nun schon, also den Punkt A, damit können wir schonmal den Stützvektor der Ebene bilden (Koordinaten von A als Vektor geschrieben).
Jetzt brauchen wir noch 2 weitere Punkte.
Wir haben nur noch eine Gerade gegeben, mit der wir wohl irgendwas machen müssen.
Wie könnte man denn an Punkte einer Geraden gelangen ?
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Also da die Gerade g aus 2 Punkten bzw. Vektoren besteht, und 2 Punkte gefragt sind, würde ich einfach die Vektoren und nehmen.

Ich hoffe es stimmt, aber falls nicht, belehre mich eines besseren.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fragte ja nach Punkten nicht nach Vektoren. smile
Die Frage ist wie kommt man an Punkte bei einer Geraden.
Und genau dafür ist dieser Geradenparameter t zuständig (mit linearer Unabhängigkeit hat das nichts zu tun).
Setze für t irgendeine Zahl ein und du erhälst den Ortsvektor zu einem Punkt von g.
Für t=0 erhält man somit in der Tat als Vektor und damit den Punkt B(3|3|1).
Einen weiteren Punkt erhält man z.B. durch Einsetzen von t=1 in die Geradengleichung.
Dadurch entsteht wiederum ein anderer Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden g.

Danach muss man nur noch die Vektoren und bilden und dann alles in die vorhin genannte Parameterdarstellung einer Ebene einsetzen.
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Danach muss man nur noch die Vektoren und bilden und dann alles in die vorhin genannte Parameterdarstellung einer Ebene einsetzen.


Entschuldige, dass ich wieder so blöd frage, aber wie meinst du das? Ich weiß schon wie man Vektoren bildet. Aber ich habe B und C doch gar nicht.
Wie kommt man auf diese Punkte, und vor allem, was ist das entgültige Ergebnis (Ich meine wegen der Schreibweise).

Danke für deine Geduld mit MIR Mit Zunge
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt wir brauchen 3 Punkte.
2 davon haben wir schon, die haben wir hier A und B genannt.
A war der eh schon gegebene Punkt (der nicht auf g liegt) und B ist ein Punkt der Geraden g (nämlich der Punkt den man für t=0 erhält).
Wie man an einen weiteren 3. Punkt kommt hatte ich ja beschrieben.
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Alsooo, wenn ich dich richtig verstanden habe, errechnen wir den Punkt C in dem wir für t bspw. 1 einsetzen. Ich habe das getan, und für C (6/3/2) herausbekommen. Bin mir unsicher, ob das so stimmt, denn der Wert für C wäre vom Parameter t abhängig und damit nicht eindeutig.

Na ja, ich hab mal alles eingesetzt, und das hier herausbekommen:

Bitte sag mir, dass das jetzt stimmt ....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf den Abschreibfehler im Stützvektor OA stimmt es Freude
G8 Opfer Auf diesen Beitrag antworten »

Yuuuuhuuu, vielen vielen Dank für deine Hilfe Mit Zunge
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Zusatzinfo noch für den zweiten Richtungsvektor:
Man darf hier auch kürzen (also irgendein Vielfaches des Vektors nehmen), denn das verändert nur die Länge aber nicht die (entscheidende) Richtung des Vektors.
Deshalb kann man statt z.B. auch nehmen.
Aber das nur am Rande.

Viel Erfolg weiterhin. Wink
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