Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren

26.06.2011, 21:32

Lena_S.

Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren

Abend

Ich habe eine Frage.
Und zwar habe ich eine Matrix A gegeben : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und davon sollte ich die Eigenwerte (-7,9,12) und die Eigenvektoren ( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) bestimmen.
Und nun lautet die Aufgabe:
Ermitteln Sie eine geeignete orthogonale Transformationsmatrix T und führen Sie mit dieser eine Basistransformation durch, sodass die bestimmten Eigenvektoren der Matrix A in Richtung der Basisvektoren zu liegen kommen.
Also bestimme ich nun eine Matrix T, die durch die Eigenvektoren aufgespannt wird, bilde davon die Inverse und multipliziere dann T^{-1}*A*T? Also sodass ich dann auf die Diagonalform von A komme? Irgendwie verwirrt mich die Aufgabenstellung.
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte smile

Liebe Grüße, Lena.

26.06.2011, 22:17

Lena_S.

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren
Ahso, noch was vergessen:
Es handelt sich um eine lineare Transformation, $\begin{eqnarray*} A*\vec{x}=\vec{y} \end{eqnarray*}$
LG, Lena smile

30.06.2011, 08:56

LenaS

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren
echt niemand?^^
Lg,Lena.

30.06.2011, 23:52

wdposchmann

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren

Zitat:

Original von Lena_S.
Abend smile

Hi, also ich hab da die Eigenwerte 0 (einfach) und 2 (doppelt) raus. Hast du deine Eigenwert selbst berechnet oder waren sie so vorgegeben? Als zugehörige Eigevektoren habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für den EW 0 und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für den doppelten EW 2. Wenn ich mit diesen Werten $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ bilde, so bekomme ich auch das richtige Ergebnis (und zwar die Diagonalmatrix mit den EW 0 und 2 auf der Diagonalen).

Zitat:

Und nun lautet die Aufgabe:
Ermitteln Sie eine geeignete orthogonale Transformationsmatrix T und führen Sie mit dieser eine Basistransformation durch, sodass die bestimmten Eigenvektoren der Matrix A in Richtung der Basisvektoren zu liegen kommen.
Also bestimme ich nun eine Matrix T, die durch die Eigenvektoren aufgespannt wird, bilde davon die Inverse und multipliziere dann T^{-1}*A*T? Also sodass ich dann auf die Diagonalform von A komme? Irgendwie verwirrt mich die Aufgabenstellung.
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte smile

Liebe Grüße, Lena.

Also ich verstehe die Aufgabe nun so, dass du eine Matrix T bestimmen sollst, welche orthogonal ist, sprich deren Spalten eine ONB bilden. Wie würdest du da jetzt weiter vorgehen? Du hast ja die drei Eigenvektoren zu den Eigenwerten gegeben, weiche genügen würden, die Matrix T zu bestimmen. Du sollst jetzt jedoch eine "spezielle" Matrix T bestimmen, welche die eben beschriebenen Eigenschaften besitzt. Diese soll jedoch weiterhin das gleiche Ergebnis für $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ bringen.

LG

01.07.2011, 10:22

lenaS_

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren
ja, tut mir Leid,habe mich bei der Matrix verschrieben, fiel mir gerade auf.
Aber ich bin dann so vorgegangen, dass ich die Eigenvektoren dann noch normiert habe, mit denen dann eine Matrix T gebildet habe und geguckt habe, oder T*T(transponiert)=E ergibt. Das gab sie auch-->orthogonal. Also habe ich T(invers)*A*T gebildet und es kam die Diagonalmatrix raus.
Stimmt das so?
Liebe Grüße und vielen Dank!!

01.07.2011, 12:54

wdposchmann

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren

Zitat:

Original von lenaS_
Aber ich bin dann so vorgegangen, dass ich die Eigenvektoren dann noch normiert habe, mit denen dann eine Matrix T gebildet habe und geguckt habe, oder T*T(transponiert)=E ergibt. Das gab sie auch-->orthogonal. Also habe ich T(invers)*A*T gebildet und es kam die Diagonalmatrix raus.
Stimmt das so?
Liebe Grüße und vielen Dank!!

Hi, also was du gemacht hast ist leider im Allgemeinen nicht richtig bzw. ausreichend. Der Grund ist folgender: Du hast ja aus deiner (richtigen, also nicht der hier geposteten) Matrix drei Eigenwerte mit jeweils einem Eigenvektor herausbekommen. Diese Vektoren ergeben die Matrix T. Was du nun gemacht hast, ist diese Vektoren zu normieren und dann $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Das da dann die Diagonalmatrix herauskommt, ist klar, denn durch das Normieren der Vektoren hast du ja nichts anderes gemacht, als sie durch einen Wert (naemlich ihre Laenge) zu teilen.

Eine ORTHOGONALE Matrix besitzt jedoch zusaetlich die Eigenschaft, dass ihre Spalten (also in diesem Falle die Eigenvektoren) senkrecht aufeinander stehen, also eine ORTHONORMALBASIS bilden (anscheinen hat es sich in der Mathematik nie durchgesetzt, diese Matrizen ORTHONORMALE Matrizen zu nennen, das wuerde das ganze etwas klarer machen).

Was du also machen musst, ist dir aus deinen Eigenvektoren eine Orthonormalbasis zu bilden, und DAS ist dann die Matrix T. Ich gehe stark davon aus, dass die richtige Matrix symmetrisch ist, denn die von dir geposteten EV bilden bereits eine ORTHOGONALBASIS. Wenn du die jetzt noch normierst, hast du deine Matrix T.

(Mir faellt beim Betrachten deiner Eigenvektoren dadurch auch auf, dass deine Vorgehensweise richtig war und du dadurch auch das richtige Ergebnis haben muesstest. Vielleicht hilft dir ja aber meine Erklaerung trotzdem, denn Unterschied zwischen "Vektoren nur Normieren" und "Orthonormalbasis" bestimmen zu verstehen. Falls du ihn schon kennst, so lass dich hier durch nichts verwirren smile

)

LG

02.07.2011, 00:24

Lena_S.

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RE: Transformationsmatrix, Eigenvektoren-Basisvektoren
wow, ja, super, vielen Dank! Das mit der Orthonomalbasis habe ich gar nicht beachtet!
Aber vielen Dank für die gute und verständliche Erklärung! smile

Schönes Wochenende, und liebe Grüße, Lena.

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