charakteristisches polynom

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mickel Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristisches polynom
Meine Frage:
Sei

A=

a.)bestimmen sie den grad des charakteristischen polynoms von A
b.)bestimmen sie den leitkoeffizienten des charakterischen polynoms von A
c.)bestimmen sie den linearen Koeffizienten des charakteristischen polynoms von A
d.)bestimmen sie den grad des minimalpolynoms von A.


Meine Ideen:
zu a.) das charakteristische polynom lautet:

also ist der grad 4

zu b.) weiß ich leider nicht wie ich vorgehen soll

zu c.) sind das die nullstellen vom char. polynoms

zu d.) komme ich auch nicht weiter

für hilfe bin ich sehr dankbar
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: charakteristisches polynom
Hallo mickel,

Dieses Forum ist eigentlich nicht dafür da, Definitionen anzugeben, denn:
i) Ist so was bisweilen vorlesungsspezifisch (hier nicht)
ii) Kann man das andernfalls auch gut googeln (geht zumindest bei b) wirklich prima)

Der Leitkoeffizient ist der Koeffizient vor dem höchsten , welcher nicht Null ist. Bei ist es also .
Der lineare Koeffizient ist der Koeffizient vor dem linearen Term . Bei ist es also . Bei ist es .

Die ersten drei Teilaufgaben kann man übrigens problemlos ohne die Berechnung des char. Polynoms lösen. Augenzwinkern

Fürs Minimalpolynom (MP) empfehle ich die Zerlegung des charakteristischen Polynoms (CP) in Linearfaktoren, da ja das MP das CP teilt und man so die Teiler des CP besser erkennen kann.

Gruß,
Reksilat.
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: charakteristisches polynom
Zitat:
Original von Reksilat
...
Der lineare Koeffizient ist der Koeffizient vor dem linearen Term . Bei ist es also . Bei ist es .

Die ersten drei Teilaufgaben kann man übrigens problemlos ohne die Berechnung des char. Polynoms lösen. Augenzwinkern



ist der lineare koeffizient nicht derjenige vor dem ? verwirrt

wie könnte man die ersten drei teilaufgaben ohne char. poly. lösen? man kann bei dieser matrix die linearfaktoren direkt ablesen, was eigentlich schon einer bestimmung des char. poly. entspricht.
oder was meinst du?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: charakteristisches polynom
Mit dem linearen Koeffizienten hast Du wohl recht. Augenzwinkern

Um den Grad des CP einer 4x4-Matrix zu bestimmen, muss man aber das CP nicht explizit ausrechnen. Das sieht man direkt, wenn man sich zum Beispiel die Leibniz-Formel anguckt. Auch für den Leitkoeffizienten lässt sich so eine allgemeine Vorschrift ermitteln.
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