Finden einer algebraischen Körpererweiterung

28.06.2011, 16:28	arattilien	Auf diesen Beitrag antworten »
Finden einer algebraischen Körpererweiterung Meine Frage: Hallo zusammen, trotz schönem Wetter brüte ich über Algebra und komme einfach nicht weiter... Meine Aufgabe lautet: Finden Sie eine algebraische Körpererweiterung K von $\begin{eqnarray} \mathbb Q (x) \end{eqnarray}$ , sodass das Polynom $\begin{eqnarray} f(y)=\frac{y^2-x^3}{x^2+1} \in \mathbb{Q}(x)[y] \end{eqnarray}$ eine Nullstelle in K hat. Meine Ideen: Ich habe versucht das Polynom Null gleichzusetzen und habe dann bekommen: $\begin{eqnarray} y^2=x^3 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x=\sqrt [3] {y} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y=\sqrt {x^3} \end{eqnarray}$ . Ich habe mir überlegt, dass mein Erweiterungskörper dann so aussehen müsste: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} (x)[\sqrt [3] {y}] \end{eqnarray}$ . Allerdings bin ich mir da überhaupt nicht sicher und kann mir auch nicht richtig vorstellen in was für einem Körper ich mich genau befinde. Ist der Ansatz überhaupt richtig? Vielen Dank schonmal! Arattilien
28.06.2011, 18:04	arattilien	Auf diesen Beitrag antworten »
huch, ich meinte $\begin{eqnarray} x=\sqrt [3] {y^2} \end{eqnarray}$ aber das erscheint mir alles ein bisschen zu einfach... kann mir jemand helfen???
29.06.2011, 12:01	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arattilien, Also der Körper über dem Du rechnest ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(x) \end{eqnarray}$ , der Körper der rationalen Funktionen in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Da wir hier aber gar nicht vorhaben, für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ irgendwelche Werte einzusetzen, ist es letztlich nur wichtig, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ transzendent über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist und insofern kannst Du statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ überall auch $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ schreiben, denn $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist transzendent über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Dann lautet die Frage, in welcher Körpererweiterung $\begin{eqnarray} f(y)=\frac{y^2-\pi^3}{\pi^2+1} \in \mathbb{Q}(\pi)[y] \end{eqnarray}$ eine Nullstelle hat. In dieser Körpererweiterung sollte das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ übrigens nicht drinliegen, denn $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist transzendent über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(x) \end{eqnarray}$ . Die Lösung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} (x)[\sqrt [3] {y}] \end{eqnarray}$ ist demnach falsch. Gruß, Reksilat.
29.06.2011, 21:46	arattilien	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, Erst einmal vielen Dank für deine Antwort! Das habe ich dummerweise gar nicht beachtet, dass ich ja y wissen will.. D.h. Ich muss die Nullstelle auf y betrachtet ausrechnen, was ja $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\pi^3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x^3} \end{eqnarray}$ bedeutet. Also wäre mein Erweiterungskörper dann $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(x)[\sqrt{x^3}] \end{eqnarray}$ . Grüße, arattilien
29.06.2011, 22:07	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep.
30.06.2011, 10:49	arattilien	Auf diesen Beitrag antworten »
cool Vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast!!!!!
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