Normalisator einer echten Untergruppe einer endlichen p-Gruppe

28.06.2011, 20:50

mathinitus

Normalisator einer echten Untergruppe einer endlichen p-Gruppe

Hallo Leute,

wie kann man zeigen, dass der Normalisator einer echten Untergruppe H einer endlichen p-Gruppe G echt größer ist als H?
Habt ihr einen Wink in die richtige Richtung?

28.06.2011, 20:54

zweiundvierzig

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Als Hinweis, unterscheide die Fälle $\begin{eqnarray*} Z(G) \not \subset H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z(G) \subset H \end{eqnarray*}$ . Was lässt sich in ersterem Fall folgern? Im zweiten Fall, wende für $\begin{eqnarray*} G = p^n \end{eqnarray*}$ Induktion nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an. Wie siehtdie Situation für den Induktionsanfang aus? Wie kann ein geeigneter Induktionsschritt aussehen?

28.06.2011, 21:48

mathinitus

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Im ersten Fall gibt es die Möglichkeit, dass H echte Teilmenge des Zentrum ist, dann wäre es natürlich super, weil das Zentrum auch Teilmenge des Normalisators ist.
Es könnte aber auch sein, dass H und das Zentrum bestimmte Elemente gemeinsam haben, andere aber nicht, so dass weder das Zentrum noch H Untergruppe der jeweils anderen Gruppe ist, wie man dann vorgeht, weiß ich nicht.

Gilt Z(G)=H, dann wäre sicherlich G der Normalisator von H. Doch wenn das Zentrum echt kleiner als H ist, ist dann G immer noch der Normalisator von H?

28.06.2011, 22:01

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von mathinitus
Es könnte aber auch sein, dass H und das Zentrum bestimmte Elemente gemeinsam haben, andere aber nicht [...]

Ja, darauf wollte ich hinaus. Aus der Annahme $\begin{eqnarray*} Z(G) \not\subset H \end{eqnarray*}$ folgt ja direkt die Existenz eines $\begin{eqnarray*} g \in Z(G) \cap H^C \end{eqnarray*}$ . Warum ist das toll?

Übrigens solltest Du bei der Aufgabenstellung präziser sagen, dass nur $\begin{eqnarray*} H \neq G \end{eqnarray*}$ sein soll. In einem bestimmten Fall kann nämlich sehr wohl $\begin{eqnarray*} H = \{1 \} \end{eqnarray*}$ auftreten.

28.06.2011, 22:18

mathinitus

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Dass $\begin{eqnarray*} H \neq G \end{eqnarray*}$ ist, habe ich ja durch einer echten Untergruppe H angedeutet.

Dein g hätte also die Eigenschaft, dass es mit allen Elementen aus H kommutiert, aber nicht aus H ist. Also gilt $\begin{eqnarray*} gHg^{-1}=H \end{eqnarray*}$ und folglich hätten wir gezeigt, dass g zum Normalisator, nicht aber zu H gehört und damit wäre der Beweis fertig.

Nun bleibt also zu klären, ob ich mit meiner Vermutung im Fall, dass das Zentrum echt kleiner als H ist, recht habe.

28.06.2011, 22:38

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von mathinitus
Dass $\begin{eqnarray*} H \neq G \end{eqnarray*}$ ist, habe ich ja durch einer echten Untergruppe H angedeutet.

Sicher, aber oft ist mit dieser Formulierung auch $\begin{eqnarray*} H \neq 1 \end{eqnarray*}$ gemeint, was man hier aber nicht ausschließen sollte.

Zitat:

Original von mathinitus
Dein g hätte also die Eigenschaft, dass es mit allen Elementen aus H kommutiert, aber nicht aus H ist. Also gilt $\begin{eqnarray*} gHg^{-1}=H \end{eqnarray*}$ und folglich hätten wir gezeigt, dass g zum Normalisator, nicht aber zu H gehört und damit wäre der Beweis fertig.

Genau.

Zitat:

Original von mathinitus
Nun bleibt also zu klären, ob ich mit meiner Vermutung im Fall, dass das Zentrum echt kleiner als H ist, recht habe.

Natürlich gilt die Aussage auch im Fall $\begin{eqnarray*} Z(G) \subseteq H \end{eqnarray*}$ , aber man muss etwas dafür arbeiten. Ich hatte Dir doch den Hinweis mit der Induktion gegeben.

28.06.2011, 22:45

mathinitus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Natürlich gilt die Aussage auch im Fall $\begin{eqnarray*} Z(G) \subseteq H \end{eqnarray*}$ , aber man muss etwas dafür arbeiten. Ich hatte Dir doch den Hinweis mit der Induktion gegeben.

Der Fall kann ja erstmals mit $\begin{eqnarray*} |G|=p^3 \end{eqnarray*}$ auftreten, denn das Zentrum hat ja mindestens Ordnung p und außerdem sollte H ja kleiner als G sein. Also wäre hier der Induktionsanfang zu machen?

28.06.2011, 23:05

zweiundvierzig

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Entschuldige, da war mein Posting am Anfang verunglückt. Ich hatte eigentlich gemeint: Wende für $\begin{eqnarray*} |G| = p^n \end{eqnarray*}$ Induktion nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an. Wie sieht die Situation für den Induktionsanfang aus? Und dann im Induktionsschritt tritt die Fallunterscheidung, dass das Zentrum in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegt oder nicht, zutage.

Der Induktionsanfang sollte nicht viel Aufwand sein. Danach ist also die Frage: wie bekommen wir eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Gruppe von kleinerer Ordnung als $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , auf die die Induktionsannahme angewendet, die gewünschte Behauptung liefert?

28.06.2011, 23:08

mathinitus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Der Induktionsanfang sollte nicht viel Aufwand sein. Danach ist also die Frage: wie bekommen wir eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Gruppe von kleinerer Ordnung als $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , auf die die Induktionsannahme angewendet, die gewünschte Behauptung liefert?

Wahrscheinlich durch rausteilen des Zentrums.

28.06.2011, 23:13

zweiundvierzig

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Sehr schön. Freude

Was heißt das nun explizit?

28.06.2011, 23:34

mathinitus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Sehr schön. Freude

Was heißt das nun explizit?

Dann muss es wegen der Induktionsvoraussetzung ein Element $\begin{eqnarray*} gZ(G) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} gZ(G) \cdot HZ(G) \cdot g^{-1}Z(G) = HZ(G) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} g \notin HZ(G) \end{eqnarray*}$ . Da nun aber $\begin{eqnarray*} HZ(G)=H \end{eqnarray*}$ , haben wir (weil Z(G) kommutiert): $\begin{eqnarray*} gHg^{-1}=H \end{eqnarray*}$ und sind fertig. Richtig?

28.06.2011, 23:45

zweiundvierzig

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Vorsicht, Du musst eine passende Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ finden, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Es ist aber $\begin{eqnarray*} HZ(G) \subset G \end{eqnarray*}$ .

28.06.2011, 23:50

mathinitus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Vorsicht, Du musst eine passende Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ finden, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Es ist aber $\begin{eqnarray*} HZ(G) \subset G \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht $\begin{eqnarray*} H/Z(G) \end{eqnarray*}$ ? Es ist doch $\begin{eqnarray*} HZ(G)=H \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ war echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

29.06.2011, 00:02

zweiundvierzig

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Ja, Du musst $\begin{eqnarray*} H/Z(G) \end{eqnarray*}$ betrachten. Es stimmt zwar, dass $\begin{eqnarray*} HZ(G) = H \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe jetzt nicht, worauf Du direkt damit hinauswillst.

29.06.2011, 00:10

mathinitus

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Ich denke, nun muss es nach Induktionsvoraussetzung ein Element $\begin{eqnarray*} gZ(G) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} gZ(G) \cdot H/Z(G) \cdot g^{-1}Z(G) = H/Z(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \notin H/Z(G) \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann wohl zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} gHg^{-1}=H \end{eqnarray*}$ . Jetzt gehe ich doch jedoch erst einmal eine Runde schlafen und danke dir sehr herzlich für deine große Mühe.

29.06.2011, 00:18

zweiundvierzig

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Ja, der Ansatz ist richtig bis auf den Punkt, dass es $\begin{eqnarray*} gZ(G) \notin H/Z(G) \end{eqnarray*}$ heißen müsste. smile

Überlege Dir davon ausgehend am besten, was das ganze auf Ebene von Elementen in $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ (also Restklassen) bedeutet, um von dort dann Aussagen über Elemente in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zu gewinnen.

Bis dann. Wink

29.06.2011, 08:23

mathinitus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ja, der Ansatz ist richtig bis auf den Punkt, dass es $\begin{eqnarray*} gZ(G) \notin H/Z(G) \end{eqnarray*}$ heißen müsste. smile

Genau das meinte ich, vielen Dank noch einmal.

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