Quadratische Form

28.06.2011, 21:58

allahahbarpingok

Quadratische Form

Hallo,
habe Probleme mit dieser Aufgabe:

Folgende quadratische Form ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} f: R^3 -> R : x -> 3x^2 + 2xy + 3y^2 + 2yz + 3z^2 \end{eqnarray*}$

Es soll nun festgestellt werden, ob diese quadratische Form positiv definit ist. Zunächst würde ich versuchen, eine Matrix M zu finden, so dass gilt: f(x) = <M*x, x> . Und jetzt die Frage, wie finde ich diese? Bin ratlos... unglücklich

28.06.2011, 22:10

tigerbine

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RE: Quadratische Form
Kann man das nicht straight forwad machen, also die Matrix mit Einträgen hinschreiben, ausrechnen und unter Berücksichtigung der Symmetrie dann einen Koeffizientenvergleich?

28.06.2011, 22:27

Cosinuspihalbe

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RE: Quadratische Form
ich glaube gerade das "matrix mit einträgen hinschreiben" scheint ihm sorgen zu machen.

sei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein vektor der form $\begin{eqnarray*} (x, y, z) \end{eqnarray*}$ .

finde ein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} v \cdot A \cdot ^t v = 3x^2 + 2xy + 3y^2 +2yz +3z^2 \end{eqnarray*}$

um hinter das muster zu kommen kannst du einfach das mal mit der einheitsmatrix durchrechnen. danach setze mal beliebig 1sen in die einheitsmatrix ein und rechne es erneut durch.
dabei wird dir sicherlich ein muster auffallen, mit welchem du aus dem polynom dein A direkt ablesen kannst.

wie du nun noch bestimmen kannst, ob es positiv definit ist, dazu wirst du entweder wohl in deinem skript oder im inet fündig. (tipp: mir sind zwei möglichkeiten bekannt: scharfes hinsehen + proberechnen oder anhand von A bestimmen - stichwort: diagonalform)

edit: hatte nen tippfehler beim polynom

28.06.2011, 22:28

allahahbarpingok

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edit

28.06.2011, 22:29

tigerbine

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RE: Quadratische Form

Zitat:

Original von Cosinuspihalbe
ich glaube gerade das "matrix mit einträgen hinschreiben" scheint ihm sorgen zu machen.

Aufwand unter 5 Minuten... Augenzwinkern

Also keine Angst.

01.07.2011, 13:43

allahahbarpingok

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Sodele, hatte viel zu tun, bin aber jetzt zu der Aufgabe gekommen:

Ich habe die Matrix nun so bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} x^T * A * x \end{eqnarray*}$ bilde erhalte ich genaud meine quadratische Form.

Was mich noch interessiert, warum ist:

$\begin{eqnarray*} <x*A, x> = x^T * A * x \end{eqnarray*}$ ? Sollte es nicht $\begin{eqnarray*} x*A*x \end{eqnarray*}$ sein?

eidt: Nun zur postiv-Definitheit. Ich würde jetzt einfach die Eigenwerte der Matrix untersuchen, um eine Aussage über die Definitheit zu treffen. Jetzt geht das aber nur, wenn die Matrix symmetrisch ist. Auf Wikipedia habe ich jetzt gelesen, dass man bei einer reellen Matrix auch einfach den "symmetrischen Teil" betrachten kann ( $\begin{eqnarray*} 1/2*(A+A^T) \end{eqnarray*}$ ). Ist das ein guter Plan?

01.07.2011, 15:12

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} <x*A, x> = x^T * A * x \end{eqnarray*}$ ? Sollte es nicht $\begin{eqnarray*} x*A*x \end{eqnarray*}$ sein?

Wie war das euklidische Skalarprodukt noch mal definiert...

Deine Matrix ist nicht symmetrisch! Im Hinterkopf (da ich meine Rechunungen nun nicht mehr habe) habe ich noch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1& 0 \\1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kannst ja mal die Probe machen. Dann würde ich mir mal das Hurwitzkriterium anschauen.

01.07.2011, 16:15

allahahbarpingok

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Hey, jetzt bin ich verwirrt unglücklich

Im Skript haben wir Sesquilinearformen so definiert:

$\begin{eqnarray*} b: V x V -> K \end{eqnarray*}$ (K ist Körper, V ist Vektorraum)

Dann steht drin, dass eine selbstadjungierte nXn-Matrix existiert, so dass:

$\begin{eqnarray*} b(v, w) = <M_{b}^{E} (v)_{E}, (w)_{E}>_{K^n} \end{eqnarray*}$

E ist hier eine orthonormalbasis für V. Die quadratische Form ist nun so definiert:

$\begin{eqnarray*} q: V -> K : v -> b(v, v) \end{eqnarray*}$

Dann müsste also gelten: $\begin{eqnarray*} <M_{b}^E (v)_{E}, (v)_{E}>_{K^n} \end{eqnarray*}$ . Die von dir errechnete Matrix ist jetzt symmetrisch, aber sie akzeptiert jetzt $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ zur Standardbasis oder nicht?

01.07.2011, 16:26

tigerbine

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Ja, meine Matrix ist bezüglich der Einheitsbasis (ONB). Und es gilt $\begin{eqnarray*} A=A^T=A^* \end{eqnarray*}$ , es ist A also selbstadjungiert.

$\begin{eqnarray*} \langle Ax,x \rangle=\langle x,Ax \rangle = x^TAx = 3x^2 + 2xy + 3y^2 + 2yz + 3z^2 \end{eqnarray*}$

Was ist daran nun nicht ok? verwirrt

01.07.2011, 17:12

allahahbarpingok

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Jop passt alles tigerbine. Danke, dass du dir Zeit genommen hast. Mein Problem lag darin nicht zu wissen, dass jede kanonische Basis gleichzeitig eine Orthonormalbasis ist (wie banal...).

01.07.2011, 17:21

tigerbine

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Dann haben wir es ja. Schönes WoE. Wink

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