Galois-Gruppe

28.06.2011, 22:38

Hamsterchen

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Galois-Gruppe

Hallo nochmal,
ich bräuchte wirklich etwas Hilfe im Moment, komme nicht mehr so wirklich mit. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet. Ich denke, sie ist nicht so schwer, aber ich brauch eben immer mal nen Schubser in die richtige Richtung

Also: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+ax^2+b\in\mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Z.z.:

(a) $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb Q]\in\{4,8\} \end{eqnarray*}$
(b) Ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb Q: c^2=b \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$
(c) Genau dann ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , wenn die Galois-gruppe $\begin{eqnarray*} L/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

LG
Hamsterchen

29.06.2011, 11:13

Reksilat

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RE: Galois-Gruppe
Hallo Hamsterchen,

Zumindest bei a) kannst Du doch schon mal ein paar Aussagen über den Erweiterungsgrad treffen. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, muss der Grad ja mindestens 4 sein. Nun sieht man auch leicht, dass zu einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auch immer $\begin{eqnarray*} -r \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist und man erhält die obere Schranke für den Grad.

Nun hast Du zwei Nullstellen und kannst den verbliebenen Rest auf Irreduzibilität untersuchen.

Gruß,
Reksilat.

29.06.2011, 14:03

Hamsterchen

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Hi Reksilat,
könntest du mir evtl. erklären, wieso der Grad mind. 4 sein muss? Also kann denn f in L keine doppelte Nullstelle haben oder sowas?

Hab dazu auch noch eine allgemeine Frage: wieso kann $\begin{eqnarray*} [K(a):K] \end{eqnarray*}$ mehr als 2 sein? Ich meine, da wird ja nur ein Element adjungiert. Das wurde in der Vorlesung nicht klar. Oder hab ich mich verlesen und das ist wirklich höchstens Grad 2? Wäre für etwas Licht im Dunkeln sehr sehr dankbar.

29.06.2011, 14:23

Reksilat

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Der Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray*} [K[a):K] \end{eqnarray*}$ ist der Grad des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Der kann dann dementsprechend auch größer als 2 sein.
Eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat als Minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ eben gerade dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und insofern ist der Grad mindestens vier.

Das sollte alles mehr oder weniger direkt aus der Definition des Erweiterungsgrades folgen. Ich weiß ja leider nicht, welche Ergebnisse Ihr dafür schon so habt.

29.06.2011, 15:10

Hamsterchen

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Hi, vielen Dank für deine Erklärung. Könntest du mir sagen, ob ich das so richtig verstanden habe?

Also: Sagen wir, $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3,a_4 \end{eqnarray*}$ sind die Nullstellen von f. Dann ist der Grad von dem Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ 4, so wie du gesagt hast. Das heißt ja dann auch, dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a_1):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -a_1=:a_2 \end{eqnarray*}$ auch Nullstelle von f. Damit ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a_2):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a_2):\mathbb Q(a_1)]=1 \end{eqnarray*}$ weil das Minimalpolynom dann einfach lautet: $\begin{eqnarray*} x+a_1 \end{eqnarray*}$ .

Dann können wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a_1) \end{eqnarray*}$ f schreiben als $\begin{eqnarray*} f=(x-a_1)(x+a_1)g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} grad(g)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in \mathbb Q(a_1)[x] \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man sich den Gradsatz ansehen:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a_1,a_2,a_3,a_4):\mathbb Q]=[\mathbb Q(a_1,a_2,a_3,a_4):\mathbb Q(a_1)]\cdot[\mathbb Q(a_1):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Den letzten Term kennen wir, der ist 4. Jetzt brauchen wir noch den vorletzten. Kann man jetzt sagen, dass wenn man a_3 durch a_1 darstellen kann, dass dann $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a_1,a_2,a_3,a_4):\mathbb Q(a_1)]=1 \end{eqnarray*}$ ist und wenn nicht, dann ist es 2?

29.06.2011, 15:39

Reksilat

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Ja, genau, wenn $\begin{eqnarray*} a_3\in \mathbb{Q}(a_1) \end{eqnarray*}$ ist, dann sind die Körper gleich. Ansonsten ist der Grad zwei, da dann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom sein muss.

Und man sieht natürlich auch wieder $\begin{eqnarray*} a_4=-a_3 \end{eqnarray*}$

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29.06.2011, 15:42

Hamsterchen

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Hi nochmal,
ich hab jetzt mal angenommen, dass das oben stimmt. dann könnte man die b) doch so beweisen, oder?

also wenn b ein quadrat ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f=x^4+ax^2+c^2 \end{eqnarray*}$ , dann muss doch gelten: $\begin{eqnarray*} a_1a_2a_3a_4=c^2\iff -(a_1)^2(-(a_3)^2)=c^2\iff -a_1(-a_3)=\pm c \end{eqnarray*}$ und damit folgt doch dann, dass $\begin{eqnarray*} a_3=\frac c{a_1} \end{eqnarray*}$ (Vorzeichen mal egal jetzt ^^) und da $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , damit ist auch $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb Q(a_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1\in\mathbb Q(a_1) \end{eqnarray*}$ und weil körper abgeschlossen sind, folgt $\begin{eqnarray*} a_3\in\mathbb Q(a_1) \end{eqnarray*}$ und damit sollte es doch gezeigt sein, oder???

29.06.2011, 15:46

Reksilat

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Jep. So geht das. Freude

Freude

29.06.2011, 19:09

Hamsterchen

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ok super, dass ich das jetzt verstanden habe =)

jetzt fehlt noch die c) dabei bräuchte ich aber noch etwas hilfe (vielleicht auch etwas mehr... ^^)

wie fängt man denn am besten an? man muss ja hin- und rückrichtung zeigen. welche ist denn erstmal einfacher?

29.06.2011, 21:06

Reksilat

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Anfangen ist immer leicht. Man nimmt eine der Richtungen und schaut, was man so rausfindet. Am Ende muss man ja eh beide machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei der Hinrichtung musst Du nur zeigen, dass die Gruppe nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist. Angenommen doch, dann kannst Du Dir überlegen, wie $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden müssen. Andererseits wissen wir aber von oben, dass $\begin{eqnarray*} a_1\cdot a_3\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist. Das kann man zum Widerspruch führen.

Für die Rückrichtung benötigst Du, dass die Fixpunkte der Galoisgruppe in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eben genau die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sind.

Gruß,
Reksilat.

29.06.2011, 21:16

Hamsterchen

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Hi,
danke für deine Erklärung. Aber in diesem Thema bin ich noch nicht so gut ^^
Also vielleicht könntest du kurz erklären, was genau man mit den Gruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und der anderen im Zusammenhang mit der Galois-Gruppe versteht, also ich blick da noch nicht ganz durch.

Ich weiß folgendes:
Die Galoisgruppe von L/Q ist die Menge aller Automorphismen von L nach L, die Q festhalten. Außerdem gilt noch, dass die Elemente aus der Galoisgruppe Nullstellen von f wieder auf Nullstellenvon f abbilden. Und die Anzahl dieser Automorphismen ist glaub ich immer kleinergleich dem Erweiterungsgrad.

Aber aus diesen Sachen werd ich irgendwie net so wirklich schlau ^^

29.06.2011, 22:13

Reksilat

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Bei einer Galoiserweiterung ist die Anzahl der Automorphismen (=Ordnung der Galoisgruppe) sogar genau gleich dem Erweiterungsgrad.
Das mit dem Permutieren der Nullstellen ist korrekt. Im Fall dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein Quadrat ist wissen wir also, dass die Galoisgruppe vier Elemente hat und es kommen die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \Sigma_4 \end{eqnarray*}$ der Ordnung 4 in Frage.
Jetzt musst Du nur überlegen, wie ein Element der Ordnung 4 aus $\begin{eqnarray*} \Sigma_4 \end{eqnarray*}$ die vier Nullstellen $\begin{eqnarray*} a_1,-a_1,a_3,-a_3 \end{eqnarray*}$ permutieren kann.

30.06.2011, 09:42

Hamsterchen

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also wenn ein element die ordnung 4 hat, dann muss es nach "4 mal anwenden" wieder bei eins, also hier id, sein, richtig?
aber ich verstehe trotzdem nicht so ganz, wie das funktioniert ^^

also ich soll ja eigentlich sowas angebene, oder?
$\begin{eqnarray*} a_1\to a_3\to -a_3\to -a_1\to a_1 \end{eqnarray*}$ also wenn man in jedem schritt den automorphismus anwendet. aber davon gibts ja nun ziemlich viele möglichkeiten, welche brauche ich? Und was ist eigentlich der Unterschied, wenn eine Galoisgruppe isomorph zu Z/2ZxZ/2Z oder zu Z/4Z ist???

30.06.2011, 11:51

Reksilat

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Also $\begin{eqnarray*} a_1\to a_3\to -a_3\to -a_1\to a_1 \end{eqnarray*}$ ist so eine Möglichkeit, kann aber kein Automorphismus sein, denn dieser lässt ja Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ fest und damit weiß man schon, dass wenn $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, auch $\begin{eqnarray*} -a_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -a_3 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden muss.
Das schränkt die Möglichkeiten schon mal ein.
Wenn Du dann noch überprüfst, ob $\begin{eqnarray*} a_1\cdot a_3\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ festgelassen wird, dann solltest Du alle Möglichkeiten solcher Automorphismen der Ordnung 4 ausschließen können. Das ist ja letztlich das Ziel.

Zitat:

Und was ist eigentlich der Unterschied, wenn eine Galoisgruppe isomorph zu Z/2ZxZ/2Z oder zu Z/4Z ist???

Na die Galoisgruppe hat dann eine ganz andere Struktur. Die eine enthält nur Elemente der Ordnung 2 und die andere auch Elemente der Ordnung 4.

30.06.2011, 12:43

Hamsterchen

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hi, also dann kann es doch eigentlich nur sein $\begin{eqnarray*} a_1\to a_3\to a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -a_1\to-a_3\to -a_1 \end{eqnarray*}$ oder?

ist das dann sowas wie (12)(34)???

sowas wie $\begin{eqnarray*} a_1\to a_3\to -a_1\to -a_3\to a_1 \end{eqnarray*}$ kann doch nicht gehen, weil dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \varphi(a_1a_3)=-a_1a_3 \end{eqnarray*}$ und damit würde das element aus Q nicht fest bleiben. oder?

30.06.2011, 12:56

Reksilat

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Ja, richtig. So sieht man, dass ein Automorphismus nicht die Ordnung 4 haben kann. Freude

Freude

Wenn wir die Nullstellen mal mit $\begin{eqnarray*} a_1,a_2(=-a_1),a_3,a_4(=-a_3) \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann entspricht Dein oben gefundener Automorphismus der Ordnung 2 gerade $\begin{eqnarray*} (13)(24) \end{eqnarray*}$ .
Die weiteren Möglichkeiten sind $\begin{eqnarray*} id. \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (12)(34) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (14)(23) \end{eqnarray*}$ .
Das ist die ganze Galoisgruppe.
_________________

Für die Rückrichtung musst Du nun annehmen, dass die Galoisgruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist. Das kann dann in der $\begin{eqnarray*} \Sigma_4 \end{eqnarray*}$ so was wie $\begin{eqnarray*} \{id.,(12),(34),(12)(34)\} \end{eqnarray*}$ sein (drei Möglichkeiten - kann man alle ausschließen), oder aber die oben erhaltene Gruppe. Bei der sieht man dann, dass $\begin{eqnarray*} a_1a_3 \end{eqnarray*}$ festbleibt und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegen muss.

30.06.2011, 13:52

Hamsterchen

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hi,
ich hab eig. alles verstanden aber mir ist noch nicht so klar, wie ich bei der rückrichtung etwas ausschliessen kann. könntest du das noch kurz erklären? dann wärs das ja dann mit der aufgabe

30.06.2011, 14:01

Reksilat

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Na die Frage ist doch, ob $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ ein Galois-Automorphismus sein kann. der würde dann ja $\begin{eqnarray*} a_1\leftrightarrow -a_1 \end{eqnarray*}$ abbilden und $\begin{eqnarray*} a_3,-a_3 \end{eqnarray*}$ festlassen.

30.06.2011, 15:15

Hamsterchen

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hi reksilat,
das hab ich jetzt verstanden. vielen dank, bist echt ne super hilfe =)

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