Schnitt von Teilräumen |
28.06.2011, 22:44 | gigala | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schnitt von Teilräumen hi, Es seien U und W 3-dim. Teilräume eines 4-dim. VR v. Welche Dim hat mindestens? Meine Ideen: Ich habe mir ein paar Gedanken dazu gemacht. Wenn U und W 3-dim Teilräume sind, dann werden U und W von der Standardbasis U=W={e1,e2,e3}aufgespannt. Also gilt dann (i)dim(U)=dim(W)= 3 Weiter lassen sich die Basiselement aus U als Linearkombination der Basiselemente aus W darstellen und andersherum, daher besteht lineare Abhängigkeit zwischen den Elementen aus U und aus V und es gilt dann (ii)dim(U+W)=3 Die Dimensionsformel lautet also Also müsste die Dimension von mindestens 3 sein....so habe ich mir das gedacht. ich bin mir nicht sicher, ob ich meine schritte gut und ausreichend und vorallem richtig begründet habe. kann mir jemand helfen? |
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29.06.2011, 01:09 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kommt es Dir nicht komisch vor, dass Du nirgends die Dimension von V verwendet hast? Dein Ansatz ist leider schon falsch, denn U und V müssen nicht einmal einen der Einheitsvektoren enthalten. Nimm beispielsweise Mach Dir zunächst noch einmal Gedanken, was die Dimension eines Vektroraums besagt und gehe dann vom ungünstigsten Fall aus. |
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29.06.2011, 16:40 | gigala | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn wir jetzt mal sagen, das eine Bais von V ist. Wir wissen, dass U,W Unterräume von V sind und dim(U)=deim(W)=3 Dann können die Basen von U und W unterschiedliche Gestalt haben (da bin ich mir jetzt nicht ganz sicher ) Dann gilt: und weiter: für Dann könnte man folgern,dass die Dimension von U geschnitten V mindestens 2 ist.... |
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29.06.2011, 16:58 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Schnitt von Teilräumen Warum so kompliziert und auch nicht wirklich richtig? Noch einmal: Die Basen von U und W müssen nichts mit der Basis von V zu tun haben. bzw. Und nun schätze nach oben ab. |
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29.06.2011, 16:59 | Cosinuspihalbe | Auf diesen Beitrag antworten » |
ergebnis ist richtig, beachte nur, dass die basen deiner unterräume nicht zwingend aus basiselementen aus V bestehen müssen. vielleicht hilft dir eine plastische geometrische vorstellung: betrachten wir mal . ein zweidimensionaler unterraum entspricht einer ebene. nun hast du 2 ebenen. beim schnitt der ebenen gibt es geometrisch 3 mögliche fälle: a) der schnitt ist eine ebene, weil die ebenen gleich sind -> schnitt ist 2 dimensional b) der schnitt ist eine gerade -> schnitt ist eindimensional c) es gibt keinen schnitt, weil die ebenen parallel sind. ACHTUNG, in unserer betrachtung entsprich dies jedoch dem fall a). edit: sorry helferlein, nicht gesehen, dass du online bist. wollt mich nciht einmischen *verkrümel* |
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29.06.2011, 17:28 | gigala | Auf diesen Beitrag antworten » |
manooo dim (U+W) <= 4, da U und W Teilräume von V und dim(V)=4 damit folgt dann, dass dim(U geschnitten W)>= 2 ist, also mindestens 2. |
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