Schnitt von Teilräumen

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gigala Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt von Teilräumen
Meine Frage:
hi,
Es seien U und W 3-dim. Teilräume eines 4-dim. VR v. Welche Dim hat mindestens?

Meine Ideen:
Ich habe mir ein paar Gedanken dazu gemacht. Wenn U und W 3-dim Teilräume sind, dann werden U und W von der Standardbasis U=W={e1,e2,e3}aufgespannt.
Also gilt dann

(i)dim(U)=dim(W)= 3

Weiter lassen sich die Basiselement aus U als Linearkombination der Basiselemente aus W darstellen und andersherum, daher besteht lineare Abhängigkeit zwischen den Elementen aus U und aus V und es gilt dann

(ii)dim(U+W)=3

Die Dimensionsformel lautet
also

Also müsste die Dimension von mindestens 3 sein....so habe ich mir das gedacht.
ich bin mir nicht sicher, ob ich meine schritte gut und ausreichend und vorallem richtig begründet habe. kann mir jemand helfen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt es Dir nicht komisch vor, dass Du nirgends die Dimension von V verwendet hast?

Dein Ansatz ist leider schon falsch, denn U und V müssen nicht einmal einen der Einheitsvektoren enthalten.
Nimm beispielsweise


Mach Dir zunächst noch einmal Gedanken, was die Dimension eines Vektroraums besagt und gehe dann vom ungünstigsten Fall aus.
 
 
gigala Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir jetzt mal sagen, das eine Bais von V ist. Wir wissen, dass U,W Unterräume von V sind und dim(U)=deim(W)=3

Dann können die Basen von U und W unterschiedliche Gestalt haben (da bin ich mir jetzt nicht ganz sicher verwirrt )






Dann gilt:



und weiter:
für

Dann könnte man folgern,dass die Dimension von U geschnitten V mindestens 2 ist....
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt von Teilräumen
Warum so kompliziert und auch nicht wirklich richtig?
Noch einmal: Die Basen von U und W müssen nichts mit der Basis von V zu tun haben.



bzw.

Und nun schätze nach oben ab.
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

ergebnis ist richtig, beachte nur, dass die basen deiner unterräume nicht zwingend aus basiselementen aus V bestehen müssen.

vielleicht hilft dir eine plastische geometrische vorstellung:

betrachten wir mal .
ein zweidimensionaler unterraum entspricht einer ebene. nun hast du 2 ebenen. beim schnitt der ebenen gibt es geometrisch 3 mögliche fälle:
a) der schnitt ist eine ebene, weil die ebenen gleich sind -> schnitt ist 2 dimensional
b) der schnitt ist eine gerade -> schnitt ist eindimensional
c) es gibt keinen schnitt, weil die ebenen parallel sind. ACHTUNG, in unserer betrachtung entsprich dies jedoch dem fall a).

edit: sorry helferlein, nicht gesehen, dass du online bist. wollt mich nciht einmischen *verkrümel*
gigala Auf diesen Beitrag antworten »

böse manooo
dim (U+W) <= 4, da U und W Teilräume von V und dim(V)=4
damit folgt dann, dass dim(U geschnitten W)>= 2 ist, also mindestens 2.
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