K-Vektorraum Äquivalenzrelation

15.12.2006, 20:41

SilverBullet

K-Vektorraum Äquivalenzrelation

Nabend zusammen,

habe hier eine Aufgabe die ich leider nicht verstehe. Wäre super wenn mir da jmd. helfen könnte und mir zeigt wie ich da rangehe :

Aufgabe :

Zitat:

Sei V ein K-Vektrorraum und $\begin{eqnarray*} A \subseteq V \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass es eine kleinste Menge A' mit $\begin{eqnarray*} A \subseteq A' \subseteq V \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die durch

$\begin{eqnarray*} a~b : \Leftrightarrow a - b \in A' \end{eqnarray*}$

definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist. Bestimmen sie A' unter der Vorraussetzung, dass A abgeschlossen unter skalarer Multiplikation ist :

$\begin{eqnarray*} \alpha \in K, a \in A \Rightarrow \alpha a \in K \end{eqnarray*}$

Sorry bin da total ratlos und wäre für jede Hilfe dankbar.

mfg
Silver

16.12.2006, 00:02

Sunwater

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für den ersten Teil...

zeig einfach, dass V die Anforderungen von A' erfüllt ( das folgt aus den Vektorraumeigenschaften ). Dann hast du schonmal gezeigt, es gibt solch ein A'. Aber wenn es eins gibt, dann gibt es auch ein kleinstes!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha \in K, a \in K \Rightarrow \alpha a \in K \end{eqnarray*}$

da stimmt was nicht.

16.12.2006, 14:48

Münsteraner

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha \in K, a \in K \Rightarrow \alpha a \in A \end{eqnarray*}$

muss das heißen. Wurd in unserer Übungsgruppe korrigiert.
Ansonsten bin ich leider genau so ratlos.

16.12.2006, 15:35

Sunwater

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du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \alpha \in K, a \in A \Rightarrow \alpha a \in A \end{eqnarray*}$

habt ihr denn den ersten Teil der Aufgabe hinbekommen? und habt ihr schonmal was von Idealen gehört?

16.12.2006, 18:25

Münsteraner

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joa da hast du Recht.
weder noch. Noch nichts davon gehört, udn nichts hinbekommen

16.12.2006, 22:05

Sunwater

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ok fangen wir von vorne an: welche Eigenschaften muss eine Äquivalenzrelation besitzen? Kannst du zeigen, dass die dir gegebene Relation auf V diese Eigenschaften besitzt?

17.12.2006, 23:18

SilverBullet

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Sorry es kam lange nix mehr von mir da ich noch richtig mit dem Informatikübungszettel zu kämpfen hatte.
Also dann mal zurück zur Aufgabe :

Für eine Äquivalenzrelation muss Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gelten.

Nun gut wie zeige ich sowas ?

Für Reflexivität gilt:
$\begin{eqnarray*} a \sim a \Rightarrow a - a \Rightarrow a = a \Rightarrow a \sim a \end{eqnarray*}$

Für Symmetrie gilt:
$\begin{eqnarray*} a \sim b \Rightarrow a - b \Rightarrow a = b \Rightarrow b = a \Rightarrow b \sim a \end{eqnarray*}$

Für Transitivität gilt :
$\begin{eqnarray*} a \sim b, b \sim c \Rightarrow a - b , b - c \Rightarrow a = b , b = c \Rightarrow a = c \Rightarrow a \sim c \end{eqnarray*}$

So ich hoffe das wird so gemacht.
Wozu brauch ich denn die Aussage das A abgeschlossen unter der skalaren Multiplikation ist ? Wie gehe ich nun weiter vor ?

mfg
Silver

18.12.2006, 16:49

SilverBullet

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Das war doch bisher jetzt nur der erste Teil der Aufgabe....

Verstehe leider noch immer nicht was es mit der kleinsten Teilmenge A' auf sich hat ?

18.12.2006, 23:27

jaxxon

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Falls noch irgendjemand heute Abend was zu der Aufgabe sagen könnte wäre das SUPER! Ansonsten einfach streichen morgen ist Abgabe unglücklich