Punkt eines Quadrates im Raum finden anhand von 2 Punkten und Ebene

29.06.2011, 17:21

lolalo

Punkt eines Quadrates im Raum finden anhand von 2 Punkten und Ebene

Meine Frage:
Gegeben sind die Punkte A(-3,2,-2) und C(2,-1,6) des Quadrates ABCD.
Gesucht ist der Punkt B welcher auf der Ebene x+y-z=0 liegt.

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass das Vektorprodukt von AB und BC = 0 sein muss. Desweiteren muss der Betrag von AB und BC gleich sein. Ich kann dann noch die Ebenengleichung verwenden und mit einem Gleichungssystem der drei Gleichungen vorgehen. Allerdings komme ich irgendwie auf keine Lösung, da ich mit so vielen Wurzeln und Potenzen arbeiten sollte, sowas habe ich bisher noch nie gemacht.

Bin ich auf dem richtigen Weg? Wie gehts einfacher?

29.06.2011, 19:01

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Punkt eines Quadrates im Raum finden anhand von 2 Punkten und Ebene
1) ich denke, du verwechselst zunächst skalar- und vektorprodukt
2) mir fehlt eine "echte" dritte gleichung, du kannst dir ja einmal überlegen, wie groß |AB| sein sollte Augenzwinkern

ansonsten ist dein weg richtig smile

ich bekomme allerdings keine wurzeln

eine lösung wäre $\begin{eqnarray*} B_1(-1/5/4) \end{eqnarray*}$

29.06.2011, 19:20

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, natürlich! Ich meine natürlich Skalarprodukt!

Ja das habe ich mir auch schon überlegt.
|AB|*sqrt(2)=|AC|=sqrt(98)
|AB| = 7

$\begin{eqnarray*} AB=\begin{pmatrix} x+3 \\ y-2 \\ z+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} BC=\begin{pmatrix} 2-x \\ -1-y \\ 6-z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G1: (x+3)(2-x)+(y-2)(-1-y)+(z+2)(6-z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G2: x+y-z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G3: \sqrt{(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+(z+2)^{2}} = 7 \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Wie löst man das denn nun auf? Ich habe Gauss noch nie mit quadratischen Gleichungen verwendet..

29.06.2011, 19:44

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die 3. gleichung!

bilde doch einfach G3²

anschließend subtrahierst du du G1 und G3², das ergibt eine lineare gl. G4.

aus G2 und G4 drückst du jetzt y und z durch x aus und setzt in G1 ein.
die lösungen dieser quadratischen gleichung sind die gesuchten x-koordinaten von B

29.06.2011, 20:08

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, G3² gebildet. Aber wenn ich jetzt G1-G3² subtrahiere dann erhalte ich doch keine lineare gleichung? oder bin ich schon zu lange dran und mein Hirn macht nicht mehr mit?

29.06.2011, 20:20

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lolalo
Okey, G3² gebildet. Aber wenn ich jetzt G1-G3² subtrahiere dann erhalte ich doch keine lineare gleichung? oder bin ich schon zu lange dran und mein Hirn macht nicht mehr mit?

dann zeige doch, was du wie und wann und wo gemacht hast.

ich bin kein hellseher unglücklich

29.06.2011, 20:28

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beginne so:
$\begin{eqnarray*} (x+3)(2-x)-(x+3)²+(y-2)(-1-y)-(y-2)²+(z+2)(6-z)-(z+2)²=-49 \end{eqnarray*}$

Um ehrlich zu sein denke ich, dass ich da nicht wie beim normalen Gauss vorgehen kann?

wenn ich mal bei den Werten mit x anfange erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 2x-x²+6-3x-x²-6x-9 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} -2x²-7x-3 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

29.06.2011, 21:07

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lolalo
Ich beginne so:
$\begin{eqnarray*} (x+3)(2-x)-(x+3)²+(y-2)(-1-y)-(y-2)²+(z+2)(6-z)-(z+2)²=-49 \end{eqnarray*}$

Um ehrlich zu sein denke ich, dass ich da nicht wie beim normalen Gauss vorgehen kann?

wenn ich mal bei den Werten mit x anfange erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 2x-x²+6-3x-x²-6x-9 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} -2x²-7x-3 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

ALLES

laß doch endlich einmal den "normalen" gauß in ruhe, der rotiert eh schon im grabe.

schreibe her
G1:.... = ..

G3²:.... = ..

29.06.2011, 21:22

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

haha, okey :-P

g1:=-x²-x-y²-3y-z²+4z=-20
g3²:=x²+6x+y²-4y+z²+4z=32

29.06.2011, 21:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lolalo
haha, okey :-P

g1:=-x²-x-y²-3y-z²+4z=-20
g3²:=x²+6x+y²-4y+z²+4z=32

G1 ist falsch. vorzeichenfehler bei y unglücklich

bitte benutze den formeleditor, ich tu es ja auch!

29.06.2011, 21:37

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, es ist wirklich schon spät. Die Flüchtigkeitsfehler häufen sich.

$\begin{eqnarray*} g1:=-x²-x-y²+y-z²+4z=-20 \end{eqnarray*}$

29.06.2011, 21:49

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lolalo
Huch, es ist wirklich schon spät. Die Flüchtigkeitsfehler häufen sich.

$\begin{eqnarray*} g1:=-x²-x-y²+y-z²+4z=-20 \end{eqnarray*}$

du mußt es ja nicht gleich übertreiben mit den "-" Augenzwinkern

aber jetzt paßt es Freude

$\begin{eqnarray*} (1) \quad{ }x^2+x+y^2-y+z^2-4z=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3)\quad{ }x^2+6x+y^2-4y+z^2+4z=32 \end{eqnarray*}$

jetzt subtrahiere die beiden gleichungen,
nun sind wir auf dem richtigen weg Augenzwinkern

29.06.2011, 21:55

lolalo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt dämmert es mir langsam!

$\begin{eqnarray*} 5x-3y+8z=12 \end{eqnarray*}$

Danke für die grossartige Hilfe! Alleine hätte ich das nicht gepackt! Ich werde den Rest jetzt noch alleine schaffen!

29.06.2011, 22:01

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast dich wacker geschlagen Freude

, nachdem du die "gaußsche barriere" überwunden hast. auch dein ansatz war richtig (bis auf die terminologische verwechslung).

sei doch so nett und stelle abschließend deine lösung hier rein

(und wenn´s doch noch wo happern sollte, ich bin da Augenzwinkern

)

Neue Frage »

Antworten »

Punkt eines Quadrates im Raum finden anhand von 2 Punkten und Ebene

Verwandte Themen