Kern positiv definiter Matrizen

29.06.2011, 20:36

steviehawk

Kern positiv definiter Matrizen

Meine Frage:
Hallo Leute ich muss folgendes zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} A = A^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ = Adjungierte

Zeigen Sie: Ist A positiv definit (p.d) so gilt: $\begin{eqnarray*} x \in N(A) \Leftarrow \Rightarrow <x,Ax> = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hab mir das so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} x \in N(A) \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ dann folgt: $\begin{eqnarray*} <x,Ax> = <x,0> = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} <x,Ax> = 0 \end{eqnarray*}$ dann muss x = 0 sein, dann ist x der Nullvektor und sicher im Kern enthalten, oder Ax = 0 mit x ungleich 0, dann ist aber x wieder ein Kernvektor.

Ist es wirklich so einfach??? Was ist mit der postiiv definitheit? Es muss doch gelten: <x.Ax> > 0 für alle x, wenn ich jetzt aber einen Kernvektor wähle als x, dann gibt <x,Ax> = 0, das ist doch ein Widerspruch zur positiv definitheit, das würde ja heißen, dass eine p.d Matrix zu einer injektiven Abbildung gehört, weil der Kern ja nur aus dem Nullvektor bestteht...

Kann mir jemand helfen??

29.06.2011, 20:39

tigerbine

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Wie ist positiv definit ganz genau definiert?

Was ist N(A)?

29.06.2011, 21:00

steviehawk

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N(A) ist der Kern der Matrix A, in ihm liegen alle Vektoren x für die gilt: Ax = 0;

p.d. $\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$

29.06.2011, 21:01

tigerbine

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Positiv definit ist mir zu ungenau. N(A) war mir "formal" unbekannt.

29.06.2011, 21:05

steviehawk

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N(A) = ker(A)

29.06.2011, 21:07

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Positiv definit ist mir zu ungenau.

29.06.2011, 21:16

steviehawk

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(im komplexen fall gilt $\begin{eqnarray*} x^*Ax > 0 \end{eqnarray*}$ wobei die linke Seite immer reel sein muss, dass die Ungleichung einen Sinn ergibt)

Sorry ich habe keine Ahnung worauf du hinaus willst,

29.06.2011, 21:17

tigerbine

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Ich will, dass du die Definition noch mal ganz genau liest. Es fehlt eine wichtige Information über x.

29.06.2011, 21:21

steviehawk

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Okay es gilt x ist unlgleich Null, also stimmt die Argumentation mit dem Nullvektor nicht.

Aber der Rest müsste ja dann passen oder?

29.06.2011, 21:28

tigerbine

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Ja, wobei ich das <= muss deutlicher machen würde, dass hier die positive Definitheit reinspielt.