DGL 1. Ordnung lösen mit mit EW

29.06.2011, 22:54

ZurspätenStunde

DGL 1. Ordnung lösen mit mit EW

Meine Frage:
Hi,
grad am lösen von Aufgaben zum Thema Diagonalisierbarkeit. Da brachten mich die 3 Aufgaben zum verzweifeln

$\begin{eqnarray*} a) y_{1}'(t)=y_{1}(t)- y_{2}(t) \ y_{2}'(t)=2y_{1}(t)+ 4y_{2}(t)\\ y_{1}(0)=0, y_{2}(0)=0 b) y_{1}'(t)=y_{1}(t)+ 2y_{2}(t) \ y_{2}'(t)=-2y_{1}(t)+ y_{2}(t)\\ y_{1}(0)=10, y_{2}(0)=2 c)y_{1}'(t)=3y_{1}(t)+ y_{2}(t)\ y_{2}'(t)=-y_{1}(t)+ y_{2}(t)\\ y_{1}(0)=10, y_{2}(0)=1 \end{eqnarray*}$

Ich hab die Aufgaben eg schon so gut wie gelöst mir fehlt nur paar kleinigkeiten zum verständnis, ich hoffe ihr könnt mir helfen

Meine Ideen:
Bevor meine Lsg kommen erstmal was vorweg:
$\begin{eqnarray*} y'=A\cdot y \end{eqnarray*}$
allgemeine (reelle) Lösung
$\begin{eqnarray*} y_{allg}(t)=s_{1}\cdot y_{1}` (t)+s_{n} \cdot y_{n}` \end{eqnarray*}$
Dabei
$\begin{eqnarray*} y_{1}`(t)=e^{\lambda \cdot (t-t_{0}) }\cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ ein element von R fest aber sonst beliebig
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Die Eigenwerte
$\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von A

Ich poste nur mal die a) die anderen müssten ja dann lösbar sein wenn der Funke überspringt^^

Als Eigenwerte hab ich $\begin{eqnarray*} \lambda1 = 2 \ \lambda2= 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{c}_{1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \vec{c}_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sind meine Eigenvektoren

Nun gut soweit kam ich selber, ich hab noch eingesetzt und ab nun beginnt meine Verwirrung:
Ich hab hier die nächsten zwei Lsg Schritte die ich nicht nachvollziehen kann:
$\begin{eqnarray*} y_{allg}`(t)=s_{1} \cdot e^{2t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+s_{2} \cdot e^{3t}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wieso fällt hier das $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ weg.

So nun die Endlösung ist dann:
$\begin{eqnarray*} y_{1}(t)=20 \cdot e^{2t} - 10 \cdot e^{3t} y_{2}(t)=-20 \cdot e^{2t} + 20 \cdot e^{3t} \end{eqnarray*}$

Und wie man dann darauf kommt, kam mir heute auch nicht in den Sinn...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, wäre euch seeeehr dankbar.

mfg

30.06.2011, 08:56

klarsoweit

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RE: DGL 1. Ordnung lösen mit mit EW

Zitat:

Original von ZurspätenStunde
$\begin{eqnarray*} y_{1}(0)=0, y_{2}(0)=0 \end{eqnarray*}$

Bei dieser Angabe stimmt etwas nicht.

Zitat:

Original von ZurspätenStunde
Wieso fällt hier das $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ weg.

Man kann den Ansatz $\begin{eqnarray*} y_{1}'(t) = e^{\lambda \cdot (t-t_0) } \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ auch umformen in:

$\begin{eqnarray*} y_{1}'(t) = e^{\lambda \cdot (t) } \cdot e^{\lambda \cdot (-t_0) } \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ und den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} e^{\lambda \cdot (-t_0) } \end{eqnarray*}$ bequem in dem Vektor c unterbringen. smile

30.06.2011, 11:29

ZurspätenStunde

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Stimmt so müsste es heißen

$\begin{eqnarray*} y_{1}(0)=10 y_{2}(0)=0 \end{eqnarray*}$

wählt er dann t_{o}=0, denn im wenn ich einsetze steht im vektor c auch nur der vektor c.

30.06.2011, 13:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von ZurspätenStunde
denn im wenn ich einsetze steht im vektor c auch nur der vektor c.

Mit solchen Sätzen verfügt man über die besten Voraussetzungen für eine Politiker-Karriere. Big Laugh

Also offensichtlich wurde der Anfangswert zum Nullpunkt angegeben, also nimmt man logischerweise t_0 = 0. smile

01.07.2011, 11:24

ZurspätenStunde

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Ukay schon mal danke Big Laugh

Kannst du mir etz vllt noch helfen, wie er in der letzen gleichung auf die auf die konstanten 20 und 10 gekommen ist?

Wird wahrscheinlich was mit den gleichungen y1 von 0 und y2 von 0 zu tun haben. Aber keine Ahnung wie er auf das Endergebnis kommt..

01.07.2011, 13:30

klarsoweit

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RE: DGL 1. Ordnung lösen mit mit EW

Zitat:

Original von ZurspätenStunde
$\begin{eqnarray*} y_{allg}'(t)=s_{1} \cdot e^{2t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+s_{2} \cdot e^{3t}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setze hier t=0 ein. Auf der linken Seite steht ja dann der Anfangswert.

01.07.2011, 18:09

ZurspätenStunde

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Wenn ich dich richtig versteh sollte dann das dastehen?:

$\begin{eqnarray*} 10=-s_{1} - s_{2} 20= s_{1} + 2s_{2} \end{eqnarray*}$

aber dann krieg ich für $\begin{eqnarray*} s_{2}=30 \end{eqnarray*}$ raus...

Ich weiß, ich stell mich grad sau blöd an... aber kA was da los ist

02.07.2011, 10:09

ZurspätenStunde

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Hilfe?

02.07.2011, 15:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von ZurspätenStunde
$\begin{eqnarray*} 20= s_{1} + 2s_{2} \end{eqnarray*}$

Wieso schreibst du links eine 20 hin? Es sollte doch y_2(0)=0 sein. smile

02.07.2011, 15:40

ZurspätenStunde