Maximierung des Erwartungswerts des Gewinns

30.06.2011, 13:38

Schlumpf90

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Maximierung des Erwartungswerts des Gewinns

Eine Marktanalyse für eine Tageszeitung ergibt, dass die tägliche Nachfrage als exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =10^(-6) betrachtet werden kann. Pro verkaufter Zeitung entsteht ein Gewinn von 10 Cent, pro nicht verkaufter Zeitung ein Verlust von 50 Cent. Welche Auflage maximiert den Erwartungswert des Nettogewinns?
Hinweis: Die Zahl der verkauften Zeitungen ist das Maximum zwischen der Nachfrage und der Auflage.

Meine Ideen: Bis jetzt habe ich in die allg. Formel für stetige Erwartungswerte die Dichtefunktion der Exponentialverteilung eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_0^\infty \! x*\alpha e^(-\alpha x) \, dx <br /> = \int_0^\infty \! x*10^((-6)*x)*e^(-10-^6x) \, dx \end{eqnarray*}$
(Ich entschuldige mich für die unübersichtliche Darstellung. Dort, wo eine Klammer höher ist, folgt ein Exponent. Ich weiß leider nicht, wie man das eingibt).
Nun ist meine Frage, ob dies der richtige Ansatz ist und wie es (wenn ja) weitergehen kann. Wer gibt mir einen kleinen Hinweis?
Danke im Voraus smile

smile

03.09.2011, 15:22

Gast11022013

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Ich beschäftige mich auch gerade mit dieser Aufgabe.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} X=\text{Anzahl der nachgefragten bzw. gekauften Exemplare} \end{eqnarray*}$

Nettogewinn G (bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gedruckten und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verkauften Exemplaren):

$\begin{eqnarray*} G(X)=10X-50(n-X), X<n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(X)=10n, X\geq n \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste man irgendwie den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} G(X) \end{eqnarray*}$ aufschreiben.
Ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt, aber meine Vermutung ist

$\begin{eqnarray*} E(G(X))=\int_{-\infty}^{\infty}G(X=x)\cdot f_X(x)dx \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=10^{-6}\cdot e^{-10^{-6}x}, x\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=0, x<0 \end{eqnarray*}$

Also hat man wohl nur

$\begin{eqnarray*} E(G(X))=\int_0^{\infty}G(X=x)\cdot 10^{-6}\cdot e^{-10^{-6}x}dx \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das und kommt man jetzt irgendwie damit weiter?

Irgendwie muss man ja jetzt das Maximum davon bestimmen.

Edit:

Ich habe in die Integrale nochmal die beiden Möglichkeiten für G(X=x) eingesetzt und habe dann:

a) Für $\begin{eqnarray*} X<n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E(G(X))=-50\cdot (n-1200000) \end{eqnarray*}$ und

b) für $\begin{eqnarray*} X\geq n: E(G(X)=10\cdot n \end{eqnarray*}$ .

Also b) kommt mir einigermaßen plausibel vor: Wenn ich n Zeitungen herstelle und die Anzahl der gekauften Exemplare immer mindestens so groß ist wie die Anzahl der produzierten Zeitungen, kann ich langfristig nicht mehr Gewinn machen, als ich aus dem Verkauf aller gedruckten Zeitungen (10 Cent/ Stück) erziele.

Aber a) kommt mir reichlich spanisch vor. Dann hätte man ja unter der Voraussetzung, daß stets weniger Zeitungen verkauft als gedruckt werden, am meisten Gewinn, wenn man gar keine Zeitungen produziert.

verwirrt

verwirrt

Wer kann mir mal helfen?

04.09.2011, 14:39

Huggy

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Es ist klar, dass man bei der Berechnung des Erwartungswerts des Gewinns G die Bereiche $\begin{eqnarray*} X \leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X>n \end{eqnarray*}$ getrennt betrachten muss. Es ist:

$\begin{eqnarray*} E(G)=P(X \leq n) \cdot E(G|X \leq n)+P(X>n) \cdot E(G|X>n) \end{eqnarray*}$

Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich direkt aus der Verteilungsfunktion von X. Dabei sollte man so tun, als sei n eine stetige Größe. $\begin{eqnarray*} E(G|X>n) \end{eqnarray*}$ ist trivial, da ja $\begin{eqnarray*} G(X|X>n)=10n \end{eqnarray*}$ gar nicht von X abhängt.

Für $\begin{eqnarray*} E(G|X \leq n) \end{eqnarray*}$ benötigt man die bedingte Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X|X \leq n}(x) \end{eqnarray*}$ . Das sollte auch kein Problem sein. Man sollte nur nicht vergessen, dass sie für x > n gleich 0 ist.

Ich bin auf n = 182 322 gekommen.

04.09.2011, 14:54

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy
Es ist klar, dass man bei der Berechnung des Erwartungswerts des Gewinns G die Bereiche $\begin{eqnarray*} X \leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X>n \end{eqnarray*}$ getrennt betrachten muss. Es ist:

$\begin{eqnarray*} E(G)=P(X \leq n) \cdot E(G|X \leq n)+P(X>n) \cdot E(G|X>n) \end{eqnarray*}$

Kannst Du mir vielleicht erklären, wie Du auf diese "Formel" gekommen bist?

Und wieso sollte man sich n stetig denken?

04.09.2011, 15:08

Huggy

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Ich habe den Erwartungswert des Gewinns in zwei naheliegende Summanden aufgespalten und mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert, mit denen sie auftreten.

Wenn man n diskret betrachtet, gibt es einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} X>n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \geq n \end{eqnarray*}$ und man kann nicht nach n ableiten.

04.09.2011, 15:15

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy
Ich habe den Erwartungswert des Gewinns in zwei naheliegende Summanden aufgespalten und mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert, mit denen sie auftreten.

Okay, das leuchtet mir ein. Ist irgendwie plausibel. Danke, daß Du es mir nochmal in Worten erklärt hast!

Zitat:

Original von Huggy
Wenn man n diskret betrachtet, gibt es einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} X>n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \geq n \end{eqnarray*}$ und man kann nicht nach n ableiten.

Achja, weil man dann Punktwahrscheinlichkeiten nicht vernachlässigen kann, die im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit 0 haben.

Ich versuche jetzt, das Ganze auch mal konkret auszurechnen.
Eventuelle Fragen dazu stelle ich dann.

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04.09.2011, 15:31

Gast11022013

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Da sind sie auch schon, meine Fragen!

Also zunächst habe ich:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq n)=\int_0^n 10^{-6}\cdot e^{-10^{-6}x}dx \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(X>n)=1-\int_0^n 10^{-6}\cdot e^{-10^{-6}x}dx \end{eqnarray*}$ .

Mit der Berechnung der anderen Ausdrücke habe ich aber jetzt Probleme, denn ich habe noch nie derartige Erwartungswerte ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} E(G|X\leq n)=... \end{eqnarray*}$

Da weiß ich nicht, wie sowas definiert ist.

Edit:

Ich könnte mir denken, daß

$\begin{eqnarray*} E(G|X\leq n)=\int_0^n G(X=x)\cdot p(x) dx \end{eqnarray*}$ , wobei p(x) die Dichtefunktion zum Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P(X|X\leq n)=\frac{P(X\cap X\leq n)}{P(X\leq n)} \end{eqnarray*}$ sein soll.

04.09.2011, 15:57

Huggy

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Zunächst mal schlage ich vor, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Variable stehen zu lassen. Den konkreten Wert kann man ganz am Schluss einsetzen. Die Integrale sollte man allerdings ausrechnen.

Es ist $\begin{eqnarray*} G(X|X>n)=10n \end{eqnarray*}$ . Was ist denn nun $\begin{eqnarray*} E(10n) \end{eqnarray*}$ ?

Es ist $\begin{eqnarray*} G(X|X \leq n)=60X-50n \end{eqnarray*}$ . Also ist

$\begin{eqnarray*} E(G(X|X \leq n))=60E(X|X \leq n)-E(50n) \end{eqnarray*}$

Und es ist

$\begin{eqnarray*} E(X|X \leq n)=\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X|X \leq n}(x)dx \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 16:15

Gast11022013

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Also dann habe ich

$\begin{eqnarray*} P(X\leq n)=\left(e^{\alpha n}-1\right)e^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X>n)=1-\left[\left(e^{\alpha n}-1\right)e^{-\alpha n}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(10n)=10 n \end{eqnarray*}$

Ich weiß allerdings nicht genau, was $\begin{eqnarray*} f_{X|X\leq n}(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Ist das nicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{P(X\cap X\leq n)}{P(X\leq n)} \end{eqnarray*}$ ?

04.09.2011, 16:36

Huggy

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Die Wahrscheinlichkeiten sind beide nicht richtig.

Die bedingte Dichte ist vermutlich richtig gemeint. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f_{X|X \leq n}(x)= \frac{f_X(x)}{P(X \leq n)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq X \leq n \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.

Es ist mir noch ein Weg eingefallen, der für dich transparenter sein dürfte. Aber den besprechen wir später.

04.09.2011, 16:48

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy
Die Wahrscheinlichkeiten sind beide nicht richtig.

Schon doof, wenn man nichtmal Wiki-Artikel richtig lesen kann. Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} P(X\leq n)=1-e^{-\alpha x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X>n)=1-[1-e^{-\alpha x}] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Huggy

Die bedingte Dichte ist vermutlich richtig gemeint. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f_{X|X \leq n}(x)= \frac{f_X(x)}{P(X \leq n)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq X \leq n \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.

Wieso steht im Zähler eine Dichte und im Nenner eine Verteilungsfunktion, das irritiert mich gerade ein bisschen.

04.09.2011, 17:05

Huggy

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$\begin{eqnarray*} P(X>n) \end{eqnarray*}$ kann man noch schöner schreiben.

Du hast doch selbst geschrieben:

Zitat:

Ist das nicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{P(X\cap X\leq n)}{P(X\leq n)} \end{eqnarray*}$ ?

Ganz korrekt muss da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{P(X \leq x \cap X\leq n)}{P(X\leq n)} \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt nach x ableitet, bekommt man im Zähler die Dichte. Der Nenner bleibt stehen. Der ist ja nicht von x abhängig.

04.09.2011, 17:22

Gast11022013

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Stimmt, $\begin{eqnarray*} P(X>n)=e^{-\alpha x} \end{eqnarray*}$ .

Und das Andere habe ich auch verstanden. Leider passiert es mir ja oft, daß ich etwas richtig formuliere und dann daran scheitere, es auch umzusetzen. Dies hier eben war wieder ein klassisches Beispiel dafür.

Naja, dann müsste man $\begin{eqnarray*} f_{X|X\leq n}(x)=\int_0^n x\cdot \frac{\alpha e^{-\alpha x}}{1-e^{-\alpha x}}dx \end{eqnarray*}$ haben.

Und insgesamt dann wohl:

$\begin{eqnarray*} E(G)=(1-e^{-\alpha x})(60\cdot \int_0^n x\cdot \frac{\alpha e^{-\alpha x}}{1-e^{-\alpha x}}dx - 50 n)+e^{-\alpha x}\cdot 10 n \end{eqnarray*}$ .

04.09.2011, 17:41

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Stimmt, $\begin{eqnarray*} P(X>n)=e^{-\alpha x} \end{eqnarray*}$ .

Nein, hier und in dem anderen P steckt noch ein Fehler, den ich vorhin übersehen habe. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} P(X>n)=e^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

Die Grenze des Integrals ist ja jeweils unten oder oben n. Über x wird integriert. Das kann also im Ergebnis nicht mehr auftreten.

Zitat:

Naja, dann müsste man $\begin{eqnarray*} f_{X|X\leq n}(x)=\int_0^n x\cdot \frac{\alpha e^{-\alpha x}}{1-e^{-\alpha x}}dx \end{eqnarray*}$ haben.

Nein, richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f_{X|X\leq n}(x)= \frac{\alpha e^{-\alpha x}}{1-e^{-\alpha n}} \end{eqnarray*}$

Der Rest kommt erst über den Erwartungswert hinein. Ist aber unten richtig.

Zitat:

Und insgesamt dann wohl:

$\begin{eqnarray*} E(G)=(1-e^{-\alpha x})(60\cdot \int_0^n x\cdot \frac{\alpha e^{-\alpha x}}{1-e^{-\alpha x}}dx - 50 n)+e^{-\alpha x}\cdot 10 n \end{eqnarray*}$ .

Hier ist dann noch an zwei Stellen (siehe oben) x durch n zu ersetzen. Beachte noch, dass du dadurch etwas kürzen kannst.

04.09.2011, 17:56

Gast11022013

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Natürlich! Finger1

Finger1

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq n)=1-e^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X>n)=e^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

Und daß die Dichte natürlich der Integrand (ohne den Faktor x) ist, ist natürlich auch eigentlich klar wie Kloßbrühe. Das weiß eigentlich sogar ich.

So, zur Berechnung, bei der ich

$\begin{eqnarray*} E(G)=10e^{-\alpha n}\left(6\alpha (e^{\alpha n}-1)\int_0^n\left(\frac{x}{e^{\alpha x}-1}\right)dx-(5e^{\alpha n}-6)n\right) \end{eqnarray*}$

erhalte.

04.09.2011, 18:00

Huggy

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Da ist etwas schief gegangen. Im Integral gehört das für x einzufügende n in den Nenner und nicht in den Zähler. Du kannst dann den Zähler aus dem Integral ziehen und wegkürzen.

04.09.2011, 18:13

Gast11022013

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Eine neue Rechnung ergibt bei mir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\cdot (-10e^{-2\alpha n}(5\alpha e^{2\alpha n}n-6(\alpha n-1)e^{\alpha n}-6(\alpha n+1)) \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 18:23

Huggy

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Also ich bin jetzt echt zu faul, deine Klammern auszumultiplizieren und das zu vereinfachen. Schau mal, ob es mit meinem Ergebnis übereinstimmt:

$\begin{eqnarray*} E(G)=\frac{1}{\alpha}(60-60 e^{-\alpha n}-50 \alpha n) \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 18:32

Gast11022013

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Nach meiner Rechnung stimmts überein.

Okay und dann Ableitung bilden, Nullstelle der 1. Ableitung...

Und als Maximum ergibt sich Dein obiges Ergebnis von 182322.

Puh, das fand ich jetzt alles ganz schön schwer und in einer Klausur wäre ich wohl gescheitert, leider.

04.09.2011, 18:47

Huggy

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Dann jetzt der für dich sicher transparentere Weg. Wenn man eine Zufallsvariable X mit Dichte f(x) hat und eine Funktion G(X), dann gilt ja generell:

$\begin{eqnarray*} E(G(X))=\int_{-\infty}^{\infty}G(x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

Das schreiben wir als

$\begin{eqnarray*} E(G(X))=\int_0^n G(x)f(x)dx +\int_n^{\infty}G(x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

Dabei ist schon f(x) = 0 für x < 0 berücksichtigt. Wenn man jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha e^{-\alpha x} \end{eqnarray*}$

einsetzt und

$\begin{eqnarray*} G(x)=60x-50n \end{eqnarray*}$

in das erste Integral sowie

$\begin{eqnarray*} G(x)=10n \end{eqnarray*}$

in das zweite Integral, kommt man zu demselben Ergebnis.

04.09.2011, 18:56

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy
Dann jetzt der für dich sicher transparentere Weg. Wenn man eine Zufallsvariable X mit Dichte f(x) hat und eine Funktion G(X), dann gilt ja generell:

$\begin{eqnarray*} E(G(X))=\int_{-\infty}^{\infty}G(x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

Das erinnert mich an diesen Satz, den ich gerade gestern gelesen habe:

Zitat:

Georgii, "Stochastik", S. 100
(4.13) Korollar Zufallsvariablen mit Verteilungsdichte. Sei X eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ - wertige Zufallsvariable mit Verteilungsdichte p, d.h. $\begin{eqnarray*} P\circ X^{-1} \end{eqnarray*}$ habe die Dichtefunktion p auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ . Für jede weitere Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^d\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} f\circ X\in\mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^d}\vert f(x)\vert p(x) dx<\infty \end{eqnarray*}$ , und in dem Fall gilt

$\begin{eqnarray*} E(f\circ X)=\int_{\mathbb R^d}f(x)p(x) dx \end{eqnarray*}$ .

Meinst Du den?

Nochmal eine andere Frage.

Was meint man eigentlich, wenn man z.B. sagt: $\begin{eqnarray*} f\in\mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f\in\mathcal{L}^2 \end{eqnarray*}$ ?

Das benötige ich nämlich auch hier, wofür ich mal einfach ein bisschen "Werbung" mache:

Kovarianz

04.09.2011, 19:13

Huggy

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Ja, das ist der Satz.
In Büchern für Leute, die mehr an der Anwendung interessiert sind, steht er meist in der einfachen Form, die ich genannt habe, mit dem Zusatz "unter der Voraussetzung, dass das Integral konvergiert".

Zitat:

Original von Dennis2010
Was meint man eigentlich, wenn man z.B. sagt: $\begin{eqnarray*} f\in\mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f\in\mathcal{L}^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ich vermute mal, man meint den Raum der Zufallsvariablen, bei denen das 1. bzw. 2. Moment existiert.

04.09.2011, 19:25

Gast11022013

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Gibt es sonst noch solche wirklich hilfreichen Sätze über Erwartungswerte oder Varianzen?
Ich muss mir sowas mal merken, denn hätte ich beispielsweise diesen Satz hier im Kopf gehabt, wäre ich vllt. tatsächlich auf einen Lösungsansatz gekommen.

Ansonsten bedanke ich mich sehr für die tolle Hilfe und verweise nochmal sehr dezent ( Big Laugh

Big Laugh

) auf diese Frage von mir, bei der bisher nur Dunkel ist:

Kovarianz

Wink

Wink

04.09.2011, 19:45

Huggy

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Ich habe keine Ahnung, was du kennst und was dir fehlt. Vielleicht solltest du auch mal in ein Buch zur angewandten Statistik schauen. Ich habe da

Erwin Kreyszig
Statistische Methoden und ihre Anwendung

in guter Erinnerung. Aber den gibt es schon lange nicht mehr. Er war sehr einfach gestrickt. Aber dafür fand man in ihm auch alle wichtigen Formeln sehr schnell.

Man kann aber solche Bücher nicht mit dem Georgii etc. vergleichen. Sie enthalten üblicherweise überhaupt keine Maßtheorie. Ihr Zweck ist halt auch nicht die Abhandlung der Stochastik als mathematische Theorie.

Die Sache mit der Kovarianz ist mir zu abstrakt formuliert. Da müsste ich mich zu lange eindenken. Es gibt hier im Forum Leute, die diese theoretischen Probleme besser betreuen können als ich.

04.09.2011, 21:53

Gast11022013

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In Ordnung, dann hoffe ich einfach mal, daß ich zu der verlinkten Aufgabe evtl. von anderer Seite Hilfen bekomme.

Dir nochmal allerbesten Dank für die Lösungshilfe zu dieser Aufgabe!

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