Erwartungswert berechnen

30.06.2011, 15:54

Gast11022013

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Erwartungswert berechnen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n\in\mathcal{L}^2 \end{eqnarray*}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} M=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{eqnarray*}$ ihr Mittelwert.

Berechne

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erstmal habe ich das so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2\right)=E\left((X_1-M)^2\right)+E\left((X_2-M)^2\right)+\hdots +E\left((X_n-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

Und das müsste sein:

$\begin{eqnarray*} = Var(X_1-M)+E(X_1-M)^2+\hdots +Var(X_n-M)+E(X_n-M)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = Var(X_1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)+E(X_1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)^2+\hdots +Var(X_n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)+E(X_n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)^2 \end{eqnarray*}$

Ich komm nicht so richtig weiter...

Irgendwo benötigt man sicher, dass die ZV unabhängig und somit auch (paarweise) unkorreliert sind, vllt. Formel von Bienaymé?

Edit:

Gilt nicht $\begin{eqnarray*} Var(X_i-M)=Var(X_i), i=1,...,n \end{eqnarray*}$ ? (lineare Transformation)

Vielleicht etwas voreilig. Aber kommt da vielleicht am Ende

$\begin{eqnarray*} E(\sum_{i=1}^{n}X_i)^2+Var(\sum_{i=1}^{n}X_i) \end{eqnarray*}$ heraus?

30.06.2011, 17:39

Gast11022013

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Achso, ich habe noch vergessen, dass gelten soll:

$\begin{eqnarray*} E(X_i)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X_i)=v \end{eqnarray*}$ .

Nach Obigem käme ich dann auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} n\cdot v \end{eqnarray*}$ .

Ich kann ja nochmal aufschreiben, wie ich darauf komme.

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^n (X_i-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E[(X_1-M)^2]+E[(X_2-M)^2]+\hdots +E[(X_n-M)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =Var[(X_1-M)]+E(X_1-M)^2+\hdots +Var[(X_n-M)]+E(X_n-M)^2 \end{eqnarray*}$

Umsortieren:

$\begin{eqnarray*} =Var[(X_1-M)]+\hdots Var[(X_n-M)]+E(X_1-M)^2+\hdots +E(X_n-M)^2 \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich, wie gesagt, dass $\begin{eqnarray*} Var(X_i-M)=Var(X_i), i=1,\hdots ,n \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} =Var(X_1)+\hdots Var(X_n)+[E(X_1)-E(M)]^2+\hdots [E(X_n)-E(M)]^2 \end{eqnarray*}$

Da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig sind und $\begin{eqnarray*} E(X_i)=0 \end{eqnarray*}$ n.V.:

$\begin{eqnarray*} =Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)+n\cdot [-E(M)]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)+n\cdot E(M)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)+E(n\cdot M)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =Var(X_i)+\hdots +Var(X_n)+E(\sum_{i=1}^{n}X_i)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, es hilft mir jemand. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2011, 18:48

Esprimo

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Hm, ich glaub es ist richtig.

Aber weiß es nicht genau!

30.06.2011, 18:50

Gast11022013

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Na toll! Also so eine Antwort bringt mich ja nun gar nicht weiter! unglücklich

unglücklich

30.06.2011, 20:59

Gast11022013

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Kann mir jemand eine Antwort geben?

Ich wüsste nur gerne, ob ich (einigermaßen?) richtig liege oder wieder mal vollkommen daneben.

Wink

Wink

30.06.2011, 21:25

Mecky

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Lineare Transformation, keine Ahnung was das ist, aber M ist nicht konstant smile

smile

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30.06.2011, 21:29

Gast11022013

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Och nöö. Wieder alles falsch.

Gibts einen Wink? Big Laugh

Big Laugh

Ist es denn wenigstens korrekt bis zu dem Schritt, wo ich schreibe

$\begin{eqnarray*} =Var(X_1-M)+E(X_1-M)^2+...+Var(X_n-M)+E(X_n-M)^2 \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2011, 21:37

Mecky

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RE: Erwartungswert berechnen

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2\right)=E\left((X_1-M)^2\right)+E\left((X_2-M)^2\right)+\hdots +E\left((X_n-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

Kann man das nicht einfach ausrechnen?

$\begin{eqnarray*} ...=n*E[(X_i-M)^2]=n*E[X_i^2+2X_i*M+M^2]=... \end{eqnarray*}$

30.06.2011, 21:39

Mecky

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Jo, das ist's richtig.

30.06.2011, 21:40

Mecky

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Edit: Hab die binomische Formel verkackt...

30.06.2011, 21:42

Gast11022013

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Ja, kann sein, dass man es so ausrechnen kann.

Aber irgendwo muss man ja die Varianz ins Spiel bringen, deswegen dachte ich an die Umformung.

Oder käme die Varianz auch ins Spiel, wenn man - so, wie Du vorschlägst - einfach weiter ausrechnet?

Edit:

$\begin{eqnarray*} ...=n\cdot [E(X_i^2)+E(2X_iM)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann man da jetzt die Varianz reinbringen bei $\begin{eqnarray*} E(X_i^2) \end{eqnarray*}$ und vielleicht auch bei $\begin{eqnarray*} E(M^2) \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2011, 21:43

Mecky

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Edit: Gibt sicher was eleganteres, aber würde das 2 Beiträge vorher einfach mal weiter rechnen

30.06.2011, 21:45

Mecky

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Klar kommt die Varianz ins spiel. schon beim ersten Summanden

E[X_i^2]=E[(X_i-E[X_i])^2]=Var(X_i)

30.06.2011, 21:46

Gast11022013

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Hatte ich grad im Edit schon dazugefügt.

Okay, ich rechne da mal weiter und poste es dann!

30.06.2011, 21:51

Gast11022013

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Also...

Ich nutze $\begin{eqnarray*} Var(X_i)=E(X_i^2)+E(X_i)^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} =n\cdot [E(X_i)^2+Var(X_i)+E(2X_i\cdot M)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist ja nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} E(X_i)^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X_i)=v \end{eqnarray*}$ .

Also steht da:

$\begin{eqnarray*} =n\cdot [v+E(2X_i\cdot M)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$ .

Wie kanns weiter gehen?

30.06.2011, 22:01

Mecky

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Wenn Du nicht weißt, dass M eine ZV ist, dann solltest Du nochmal ein paar elementare Regeln für ZVs lernen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Summen von ZVs sind ZVs. Würde es aber vllt nicht mit der Formel machen, weil du damit ja nur wieder was neues reinbringst, schreib einfach die Summe für M hin und rechne mit den $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ .

Btw: Die Varianzformel die Du nutzt hat ein eigentlich ein Minuszeichen und meinen Fehler bei der binomischen Formel hast Du auch gelassen?

30.06.2011, 22:07

Gast11022013

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Ich werde jetzt für heute mal es lassen.

Ich merke schon wieder, dass ich zu viele dumme Fehler mache.

Vielleicht klappts morgen wieder besser.

Eventuell schaust Du ja noch mal morgen irgendwann vorbei Big Laugh

Big Laugh

Wink

Danke bis hierher.

30.06.2011, 22:52

Gast11022013

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Also nochmal ausführlicher:

Es gilt $\begin{eqnarray*} E(X_i)=0 \Leftrightarrow X_1=X_2=...=X_n \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot E[(X_i-M)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot E[X_i^2-2X_i\cdot M+M^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot [E(X_i^2)-E(2X_i\cdot M)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot [Var(X_i)+E(X_i)^2-E(2X_i\cdot M)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot [v-E(2X_i\cdot M)+E(M^2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v-n\cdot E(2X_i\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i)+n\cdot E(M^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v-2\cdot (E(X_i)\cdot E(\sum_{i=1}^{n}X_i))+n\cdot E(M^2) \end{eqnarray*}$

[An dieser Stelle bin ich mir nicht so sicher, aber eigentlich müssten doch $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}X_i \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen sein, sodass man hier das mit dem Erwartungswert so rechnen kann?]

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v-2\cdot (0\cdot E(\sum_{i=1}^{n}X_i))+n\cdot E(M^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+n\cdot E(M^2) \end{eqnarray*}$

Ist's bis hierhin korrekt?

Jetzt würde ich jedenfalls so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+n\cdot E[(\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+n\cdot \frac{1}{n^2}\cdot E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+\frac{n}{n^2}\cdot Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)+\left(E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+\frac{1}{n}\cdot Var\left(X_1+\hdots +X_n\right)+\left(E(X_1+\hdots +X_n)\right)^2 \end{eqnarray*}$

Da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, gilt:

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+\frac{1}{n}\cdot \left(Var(X_1)+\hdots +Var(X_n)\right)+\left(E(X_1)+\hdots +E(X_n)\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+\frac{1}{n}\cdot (n\cdot v)+(0+\hdots +0)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+\frac{1}{n}\cdot (n\cdot v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot v+v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =v\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist mein Ergebnis, von dem ich natürlich hoffe, dass es stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2011, 12:24

Gast11022013

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Oha, das war eine lange Rechnung.

Umso mehr würde ich mich freuen, wenn sich das mal jemand ansehen könnte.

Wink

Wink

01.07.2011, 14:55

Gast11022013

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Ich ziehe (fast) alles zurück, denn ich habe mich vertan!

Ich schreibe es nochmal auf!

[Entschuldigung für das Chaos!]

Also...

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2\right)=E\left((X_1-M)^2+\hdots +(X_n-M)^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E[n\cdot (X_i-M)^2]=n\cdot E[(X_i-M)^2] \end{eqnarray*}$ , ganz gleich, welches i man wählt.

Weiter:

$\begin{eqnarray*} =n\cdot E\left[X_i^2-2X_i\cdot M+M^2\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[E(X_i^2)-E(2X_iM)+E(M^2)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[Var(X_i)+(E(X_i))^2-E(2X_iM)+E(M^2)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[v+(0)^2-E(2X_iM)+E(M^2)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[v-E(2X_iM)+E(M^2)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[v-E\left(2X_i\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right)+E\left(\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[v-\frac{2}{n}\cdot E\left(X_i\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right)+\frac{1}{n^2}\cdot E\left(\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\right] \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich erstmal den Ausdruck $\begin{eqnarray*} E\left(X_i\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E\left(X_i\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right)=E\left(X_i\cdot (X_1+\hdots +X_n)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E(X_iX_1)+E(X_iX_2)+\hdots +E(X_i^2)+E(X_iX_{i+1})+\hdots +E(X_iX_n) \end{eqnarray*}$

Da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ n.V. unabhängig sind, kann man rechnen:

$\begin{eqnarray*} =E(X_i)E(X_1)+\hdots +E(X_i^2)+E(X_{i+1})E(X_i)+\hdots +E(X_n)E(X_i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E(X_i^2)=Var(X_i)+(E(X_i))^2=v \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} E\left(X_i\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right)=v \end{eqnarray*}$ .

Nun weiter, wo ich eben oben aufgehört hatte:

$\begin{eqnarray*} =n\cdot \left[v-\frac{2}{n}\cdot v+\frac{1}{n^2}\cdot E\left(\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+\frac{1}{n}\cdot E\left(\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+\frac{1}{n}\cdot \left[Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)+\left(E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)\right)^2\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+\frac{1}{n}\cdot \left[Var(X_1+\hdots +X_n)+(E(X_1+X+\hdots +X_n))^2\right] \end{eqnarray*}$

Da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ n.V. unabhängig sind, kann man rechnen

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+\frac{1}{n}\cdot \left[Var(X_1)+\hdots +Var(X_n)+(E(X_1)+\hdots +E(X_n))^2\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+\frac{1}{n}\cdot (nv) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-2v+v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =nv-v=v\cdot (n-1) \end{eqnarray*}$

So!.

Korrekt? Big Laugh

Big Laugh

01.07.2011, 15:03

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.

Du solltest dir aber den Aufschrieb erleichtern, indem du nicht jedesmal das Rad neu erfindest: So kannst du ein für allemal feststellen, dass im Fall $\begin{eqnarray*} E(Y)=0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} E(Y^2)=\operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ gilt, egal ob man das z.B. für $\begin{eqnarray*} Y=X_i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} Y=\sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ betrachtet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2011, 15:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Find ich ja cool, dass ich mal was (mit gar nicht sooo viel Hilfe) hinbekommen habe!
Und mit dem Aufschreiben hast Du Recht. Das war sehr umständlich und ich hätte es besser machen können.

Tanzen

Tanzen

01.07.2011, 20:22

Mecky

Auf diesen Beitrag antworten »

Japp scheint alles richtig zu sein. Eins verstehst Du aber definitiv falsch, nur weil $\begin{eqnarray*} EX_i =0 \end{eqnarray*}$ gilt, heißt das noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} X_1=X_2=... \end{eqnarray*}$ gilt!

01.07.2011, 20:56

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, blöd von mir! Danke für den Hinweis!!

Ich dachte voreilig, das wäre so, weil man das Ganze am Anfang auf
$\begin{eqnarray*} =...=n\cdot E[(X_i-M)^2] \end{eqnarray*}$ vereinfachen kann.

Das ist ja aber natürlich Blödsinn:

Wenn man mal $\begin{eqnarray*} E((X_1-M)^2)+...+E((X_n-M)^2) \end{eqnarray*}$ anschaut und es für alle Summanden mal ausschreibt bzw. ausrechnet, kommt überall das Gleiche heraus.

Also kann man deswegen auch schreiben: $\begin{eqnarray*} n\cdot E((X_i-M)^2) \end{eqnarray*}$ und nicht, weil irgendwie $\begin{eqnarray*} X_1=...=X_n \end{eqnarray*}$ oder sowas.
Das war zu kurz gedacht.

PS. Ich habe das deswegen oben mal entfernt.

02.07.2011, 10:53

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, bevor ich das vergesse:

Danke an alle, die mir geholfen haben, insbesondere Mecky!

Wink

Wink

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