Nullstellen und Trust-Region-Verfahren

30.06.2011, 18:43	Ben 1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen und Trust-Region-Verfahren Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage : Ich habe $\begin{eqnarray} d(\lambda) := -(A+ \lambda I)^{-1} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi(\lambda):= \|\|d(\lambda)\|\|_2- \rho \end{eqnarray}$ ] a) Diskutieren Sie die Existenz der Nullstellen $\begin{eqnarray} \lambda>max \left\{ 0, -\lambda_{min}(A) \right\} von \psi falls q^T_1 c \neq 0 und \lambda_1<0 \end{eqnarray}$ als Hinweis, man betrachte $\begin{eqnarray} \lim_{\lambda \to -\lambda_1} \|\|d(\lambda)\|\|_2 und \lim_{\lambda \to \infty }\|\|d(\lambda)\|\|_2 \end{eqnarray}$ b) Untersuchen Sie den Fall, wenn A positiv definit ist und $\begin{eqnarray} \|\|d(\lambda)\|\|_2 > \rho \end{eqnarray}$ c) Angenommen mann wendet unter der Voraussetzung von a) der Newton-Verfahren zur Nullstellensuche auf $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ an. Was passiert für $\begin{eqnarray} \lambda nahe -\lambda_1 \end{eqnarray}$ . Warum ist es besser , die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\|\|d(\lambda)\|\|_2} - \frac{1}{\rho} \end{eqnarray}$ zu lösen? Meine Ideen: Zu a) Die Berechnung von $\begin{eqnarray} \|\|d(\lambda)\|\|_2 \end{eqnarray}$ habe ich hin bekommen, diese ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \frac{q^T_ic}{\sqrt{(\lambda + \lambda_i)^2}} \end{eqnarray}$ Wobei ich A in $\begin{eqnarray} Q^TDQ \end{eqnarray}$ zerlegt habe $\begin{eqnarray} (D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)) \end{eqnarray}$ * c = $\begin{eqnarray} Qb \end{eqnarray}$ Die Grenzwertbetrachtung fiel mir auch nicht schwer, da Sie im 1. Fall = unendlich und im 2. Fall 0 ergibt. Kann es denn damit Nullstellen geben? Denn eigentlich werden die Werte 0 und unendlich gar nicht angenommen b) Wenn A positiv definit ist, sind die Eigenwerte alle größer 0 somit gilt $\begin{eqnarray} \lambda > max \left\{ 0, -\lambda_{min}(A) \right\}=0 \end{eqnarray}$ Dh. für \lambda = 0 ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \frac{q^T_ic}{\sqrt{(\lambda_i)^2}} \end{eqnarray}$ . Hier ist das Problem $\begin{eqnarray} \|\|d(\lambda)\|\|_2 >\rho \end{eqnarray}$ .Ich weiß nicht wie ich da ran gehen soll c)Wenn ich das Newton-verfahren amwende wird die Funktion bei $\begin{eqnarray} \lambda nahe -\lambda_1 \end{eqnarray}$ stark nichtlinear(laut Vorlesung). Durch die Umformung konvergiert diese schneller. Die Frage hier ist wie sich das am Besten zeigen lässt. Ich wäre dankbar für ein Paar Anregungen. Danke Ben

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