Hermitsche Matrix rg(A) = 1

30.06.2011, 22:08

steviehawk

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Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Meine Frage:
Hey Leute: Sei $\begin{eqnarray*} A = A^*; A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: Ist rg(A) = 1, so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R / \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ und ein normiertes $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \lambda xx^* \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Okay also ich dachte mir dass ich mir mein A wähle als: $\begin{eqnarray*} A = xx^* \end{eqnarray*}$

wenn ich den Vektor x normiere erhalte ich doch: $\begin{eqnarray*} x_{norm} = \lambda x \end{eqnarray*}$ alles zusammen:

$\begin{eqnarray*} A = \lambda xx^* \end{eqnarray*}$ wobei gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda xx^* = xx^* \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

01.07.2011, 12:06

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Ideen:
Okay also ich dachte mir dass ich mir mein A wähle als: $\begin{eqnarray*} A = xx^* \end{eqnarray*}$

Wenn ich es nicht besser wüßte, so würde ich wetten, dass Du vorher noch nie etwas mit Mathematik zu tun hattest.

In dieser Aufgabe ist Dir das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ taucht bisher nicht auf. Das was Du da vorhast ist in etwa das komplette Gegenteil von sinnvoll.
unglücklich

unglücklich

_____________

Dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat Rang 1. Das heißt, dass die Spalten alle Vielfache eines bestimmten Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sind. Also Spalte 1 ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot v \end{eqnarray*}$ , Spalte 2 ist $\begin{eqnarray*} \lambda_2\cdot v \end{eqnarray*}$ , ...
Setze $\begin{eqnarray*} w^T=(\lambda_1,...,\lambda_n) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A=v\cdot w^T \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

03.07.2011, 21:05

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Hallo Reksilat,

Also die Matrix $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ hat logischerweise Rang 1, nun hat aber doch die Matrix $\begin{eqnarray*} A = v v^T \end{eqnarray*}$ auch den Rang 1, also mir ist nicht ganz klar, warum ich mir den Vektor w bauen soll, wenn ich nachher eh auf $\begin{eqnarray*} A = xx* \end{eqnarray*}$ in der Lösung kommen soll, wichtig ist ja das die Matrix Rang 1 hat, und das hat sie ja wohl in beiden Fällen.

Mir ist auch noch nicht ganz klar, wie ich mit $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ nun weiter machen soll.

Ich muss ja den Vektor v noch normieren, das heißt er bekommt einen Vorfaktor, welcher ihn auf die Länge 1 bringt.

$\begin{eqnarray*} v_n = \alpha v \end{eqnarray*}$ und wenn ich dann $\begin{eqnarray*} v_n w^T \end{eqnarray*}$ rechne bekomme ich ja das gleiche wie bei $\begin{eqnarray*} \alpha v w^T \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Wie du siehst kann ich noch etwas Hilfe gebrauchen smile

smile

Vielen Dank bislang...

Stevie

04.07.2011, 10:40

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Zitat:

Also die Matrix $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ hat logischerweise Rang 1, nun hat aber doch die Matrix $\begin{eqnarray*} A = v v^T \end{eqnarray*}$ auch den Rang 1, also mir ist nicht ganz klar, warum ich mir den Vektor w bauen soll, wenn ich nachher eh auf $\begin{eqnarray*} A = xx* \end{eqnarray*}$ in der Lösung kommen soll

Natürlich gilt:
$\begin{eqnarray*} A=xx^*\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ hat Rang 1
Aber Du willst hier einfach den Schluss in die andere Richtung ziehen und das ist im Allgemeinen falsch.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lässt sich nicht in der Form $\begin{eqnarray*} xx^* \end{eqnarray*}$ darstellen, hat aber Rang 1.

Dagegen lässt sich - wie ich oben erklärt habe - jede Matrix von Rang 1 in der Gestalt $\begin{eqnarray*} vw^T \end{eqnarray*}$ darstellen. Wenn Dir was anderes einfällt, wie Du die Voraussetzung hier sinnvoll verwenden kannst, dann kannst Du das gerne sagen. Mir scheint dieser Ansatz der beste zu sein.

Als nächstes solltest Du die zweite Voraussetzung, nämlich $\begin{eqnarray*} A=A^* \end{eqnarray*}$ mal verwenden.
Das hast Du bisher nämlich unberücksichtigt gelassen.

Die Normierung solltest Du erst mal völlig außer acht lassen. Das lässt sich ganz zum Schluss noch machen. Zuerst mal ist $\begin{eqnarray*} A=vv^* \end{eqnarray*}$ das Ziel.

Gruß,
Reksilat.

04.07.2011, 11:00

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
okay vielen Danke,

Also wenn $\begin{eqnarray*} A = vw^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = A^* \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} vw^T = (vw^T)^* = w^{T^*} v^* = wv^* \end{eqnarray*}$ , da w reell ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} A = wv^* \end{eqnarray*}$

stimmts soweit?

04.07.2011, 11:04

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Nicht ganz. Es ist $\begin{eqnarray*} (w^T)^*=\overline w \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} A=\overline wv^* \end{eqnarray*}$ .
Wieso gehst Du davon aus, dass $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ reell ist ? verwirrt

verwirrt

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04.07.2011, 11:08

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
ich dachte, dass w reell ist, weil es ja nur aus reelen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ besteht.

04.07.2011, 11:14

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Und woraus schließt Du das? Weil in der Aufgabenstellung nach einem reellen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gesucht wird?

Diese Bezeichnung hat mit den von mir angeführten $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ nicht zu tun, sondern ist eher zufällig, weil ich nicht noch mal nachgelesen habe, ob irgendwo schon ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ definiert ist. Zugegeben - nicht optimal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst die Komponenten von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auch anders nennen. Reell werden sie im allgemeinen nicht sein.

04.07.2011, 15:04

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Okay, dann muss ich nun aber immer noch von $\begin{eqnarray*} A = \bar w v^* \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A = vv^* \end{eqnarray*}$ und dann auf $\begin{eqnarray*} A = \lambda xx^* \end{eqnarray*}$ kommen.

Das sieht ja dann so aus:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \bar {\alpha_1} \\ : \\ \bar {\alpha_n} \end{pmatrix} \left(\bar v_1,...,\bar v_n\right) \end{eqnarray*}$

Egal wie es aufschreibe, ich sehe nicht, wie ich da auf vv* kommen kann...

Danke

04.07.2011, 17:44

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Zitat:

Das sieht ja dann so aus:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \bar {\alpha_1} \\ : \\ \bar {\alpha_n} \end{pmatrix} \left(\bar v_1,...,\bar v_n\right) \end{eqnarray*}$

Richtig. Aber auch:
$\begin{eqnarray*} A =vw^T= \begin{pmatrix} {v_1} \\ : \\ {v_n} \end{pmatrix} \left( \alpha_1,..., \alpha_n\right) \end{eqnarray*}$

Nun ist A nicht die Nullmatrix (rang(A)>0) und insofern gibt es eine Spalte von A, die nicht komplett Null ist. Ohne Beachtung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass es die erste Spalte ist.
Die beiden Darstellungen von oben geben jeweils auch eine Darstellung der ersten Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die dann natürlich in beiden Fällen gleich ist.

04.07.2011, 18:28

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Dann sieht die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} A = \bar w v^* \end{eqnarray*}$ so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \bar \alpha_1 \bar v_1 \\ : \\ \bar \alpha_n \bar v_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und von $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 v_1 \\ : \\ \alpha_n v_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und diese müssen jetzt gleich sein, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \bar \alpha_1 \bar v_1 \\ : \\ \bar \alpha_n \bar v_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 v_1 \\ : \\ \alpha_n v_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das sagt mir jetzt was? Das $\begin{eqnarray*} \bar \alpha_1 = \alpha_1 \end{eqnarray*}$ ist, würde ja heißen, das die Alphas doch reell sind...

04.07.2011, 18:35

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Zitat:

Dann sieht die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} A = \bar w v^* \end{eqnarray*}$ so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \bar \alpha_1 \bar v_1 \\ : \\ \bar \alpha_n \bar v_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja.
Oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} \overline v_1\cdot \overline w \end{eqnarray*}$

Zitat:

und von $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 v_1 \\ : \\ \alpha_n v_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein.

04.07.2011, 18:55

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
okay dann: Für $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ erste Spalte ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \alpha \\ : \\ v_n \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.: $\begin{eqnarray*} v \alpha_1 \end{eqnarray*}$

also habe ich:

$\begin{eqnarray*} v \alpha_1 = \bar v_1 \bar w \end{eqnarray*}$

04.07.2011, 19:00

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v \alpha_1 = \bar v_1 \bar w \end{eqnarray*}$

Richtig, wobei hier jeweils ein Skalar mit einem Vektor multipliziert wird. Gemeinhin schreibt man das Skalar vor den Vektor, also $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v = \bar v_1 \bar w \end{eqnarray*}$ .

Außerdem hatten wir angenommen, dass die erste Spalte nicht Null ist. Insbesondere ist also auch $\begin{eqnarray*} \alpha_1\neq 0\neq v_1 \end{eqnarray*}$ .

Was sehen wir also?

04.07.2011, 19:08

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
dass $\begin{eqnarray*} \bar w \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von v ist?

Durch den Skalar $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ kann ich ja teilen, insbesondere ist er ja auch ungleich Null.

Also: $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v = \bar v_1 \bar w \Rightarrow \frac{\alpha_1}{\bar v_1} v = \bar w \end{eqnarray*}$

oder? Was siehst du? smile

smile

04.07.2011, 19:52

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Ja. Genau das sehe ich auch. Freude

Freude

Wenn wir das jetzt in die Gleichung $\begin{eqnarray*} A=\overline wv^* \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann sieht es schon ganz gut aus:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{\alpha_1}{\bar v_1} vv^* \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{\bar v_1}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.
Schau Dir dazu mal die erste Komponente der ersten Spalte auf die gleiche Weise wie oben an (also auf zwei verschiedene Arten).

Anschließend noch das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ normieren.

05.07.2011, 14:21

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
bin mir nicht sicher ob es so stimmt!

Ich weiß ja jetzt, dass $\begin{eqnarray*} A = \frac{\alpha_1}{\bar v_1} v v^* \end{eqnarray*}$ gilt, das erste Element der ersten Spalten sieht ja dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{\bar v_1} v_1 \bar v_1 \end{eqnarray*}$

so nun weiß ich auch, dass $\begin{eqnarray*} A = v w^T \end{eqnarray*}$ gilt. Hier sieht das erste Element der ersten Spalte so aus:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1 \end{eqnarray*}$

Also folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{\bar v_1} v_1 \bar v_1 = \alpha_1 v_1 \end{eqnarray*}$

ich muss also $\begin{eqnarray*} \bar v_1 \end{eqnarray*}$ kürzen können, das geht nur im reellen, weil da ja sonst eine Summe aus Im-Teil und Re-Teil steht...

Käse oder?

Wie immer vielen Dank

05.07.2011, 15:52

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Kürzen kannst Du überall. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x}=1 \end{eqnarray*}$ - egal in welchem Körper.
Insofern bekommst Du hiermit noch nichts Neues über den ersten Eintrag raus. Er ist weiterhin nur $\begin{eqnarray*} \alpha_1v_1 \end{eqnarray*}$

Schau Dir doch auch mal die Darstellung $\begin{eqnarray*} A=\overline wv^* \end{eqnarray*}$ an. Da findest Du eine andere Darstellung für diesen ersten Eintrag, die Dir weiterhilft.

05.07.2011, 19:41

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Okay, dann so:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1 = \bar \alpha_1 \bar v_1 \end{eqnarray*}$ , ( $\begin{eqnarray*} \bar v \end{eqnarray*}$ wurde gekürzt) da aber nur im reellen gilt: $\begin{eqnarray*} \bar x = x \end{eqnarray*}$ muss also auch mein $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{\bar v_1} \end{eqnarray*}$ reell sein.

Wenn ich dann den Vektor v normiere bekomme ich ja sowas:

$\begin{eqnarray*} v_{normal} = \beta v \end{eqnarray*}$ , ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{\bar v_1} \beta = \lambda \end{eqnarray*}$ ???

Danke...

06.07.2011, 11:57

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Fast.

$\begin{eqnarray*} A=\frac{\alpha_1}{\bar v_1} vv^* \end{eqnarray*}$
Du musst ja $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^* \end{eqnarray*}$ normieren.
Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{\alpha_1}{\bar v_1} \beta^2 \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 12:56

steviehawk

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Okay alles klar,

dann haben also $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^* \end{eqnarray*}$ beide das gleiche $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ als Vorfaktor beim normieren???

Vielen Dank...

stevie

06.07.2011, 13:00

Reksilat

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RE: Hermitsche Matrix rg(A) = 1
Ja, denn die Norm von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline v \end{eqnarray*}$ ist gleich.

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