Konvergenz einer ,,Matrixfolge"

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krateng Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer ,,Matrixfolge"
Meine Frage:
In Paris ziehen jedes Jahr 10% der Einwohner der Innenstadt in die
Vororte und 20% der Einwohner der Vororte ziehen in die Innenstadt.
Sei die Anzahl der Einwohner der Innenstadt und sei die Anzahl
der Einwohner der Vororte im Jahr n.

Berechnen Sie

Meine Ideen:
Also, in den ersten Teilaufgaben habe ich die Matrix A die die Bevölkerung von Innenstadt / Vororten des Vorjahres auf die des aktuellen Jahres abbildet berechnet und dann die Matrix A^n, die das also für eine beliebig große Spanne Jahre macht.

Für diesen Grenzwert hab ich die Folgen und ausformuliert, stoße dabei aber auf das Problem, dass ja ab dem zweiten Jahr der Zugang zur einen Größe abhängig von der Veränderung der anderen ist...

Das sieht dann etwa so aus:

(Wobei mir bei der Formel gerade auffällt dass das mit der Reihenfolge der Zu- und Abgänge auch nicht so genau hinhaut, oder?)

Auf jeden Fall hab ich KEINE Ahnung wie ich da jetzt irgendwas rauslesen sollAugenzwinkern
Schonmal danke für Eure Aufmerksamkeit und Hilfe! smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer ,,Matrixfolge"
Am besten stellst du erstmal eine rekursive Gleichung auf:

krateng Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das hab ich ja praktisch in meiner Matrix: und analog für y. Aber eine rekursive Berechnung hilft mir doch bei der Konvergenz eher wenig, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du mal als Matrixgleichung schreiben:



Offensichtlich ist

Jetzt brauchst du erstmal die Komponenten dieser Matrix. Dann ist zu schauen, was ist.
krateng Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich die Matrix

Die hab ich ja auch schon in ner anderen Teilaufgabe ausgerechnet, und auch diagonalisiert und damit berechnet... aber wie soll ich daraus eine Divergenz bestimmen?

EDIT: Konvergenz mein ichAugenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn A^n aus?
 
 
krateng Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Matrix auf diagonalisiert, mit

Damit ist S

und S^-1




dadurch kam dann raus:


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