reeller Jordan

01.07.2011, 20:30	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
reeller Jordan Meine Frage: hey ihr! hab in einer aufgabe eine matrix $\begin{eqnarray} M\in Mat_{\mathbb R}(4\times 4) \end{eqnarray}$ gegeben, deren reelle jordan-normalform ich bestimmen soll. Ihr charakteristisches polynom hab ich schon berechnet: $\begin{eqnarray} (4-\lambda)(2+\lambda)(-\lambda^2-\lambda-1) \end{eqnarray}$ . Also hab ich die eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1=4, \lambda_2=-2, \lambda_{3,4}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{-2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: es ist klar, dass ich 2 jordan-blöcke mit kästchengröße 1 habe. Aber $\begin{eqnarray} \lambda_{3,4}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{-2} \end{eqnarray}$ ist leider nit reell.... wie kann ich die jordanform trotzdem bestimmen?
02.07.2011, 10:08	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reeller Jordan weiß jemand wie ich die letzten beiden reellen eigenwerte herausfinden kann?
02.07.2011, 10:53	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine weiteren reellen Eigenwerte. Möchte man trotzdem eine "Normalform erzwingen", so gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder man erweitert den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zum Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und diagonalisiert die Matrix, oder man verwendet eine Begleitmatrix zum Polynom $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ , sodass die fragliche Matrix ähnlich zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{c\|c\|cc}4 \\ \hline &-2 \\ \hline &&0&-1 \\ &&1&-1 \end{array}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist - in manchen Vorlesungen wird so eine Matrix als Jordan-Normalform angesehen.
05.07.2011, 19:34	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmmm also ich weiß, dass es was mit $\begin{eqnarray} a+bi \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu tun hat, also $\begin{eqnarray} a \pm bi = \frac{1}{2}\pm \frac {\sqrt{3}}{2} i \mapsto \begin{pmatrix} 0,5 & -0,5\sqrt{3} \\ 0,5\sqrt{3} & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\sqrt{3} \\ -0,5\sqrt{3} & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber wie du dann im endeffekt auf die normalform gekommen bist schaff ich nit nachzuvollziehen. Kannst mir da nochmal helfen oder jemand anders? =)
06.07.2011, 07:43	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf kommt man wie folgt. Beweise, dass eine Matrix der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 & ... & 0 \\ 0&0&1&...&0 \\ 0&0&0&...&0 \\ &&...&& \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & ... & -a_{n-1} \end{pmatrix} \in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, charakteristisches Polynom $\begin{eqnarray} \chi=X^n+\sum_{i=0}^{n-1} a_i X^{i} \end{eqnarray}$ hat. So hat man dann eine Matrix, mit der man einen solchen irreduziblen Faktor wie $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \in \mathbb{R}[X] \end{eqnarray}$ repräsentieren kann.

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