Randwertprobleme

02.07.2011, 08:19	Steinenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
Randwertprobleme Hallo zusammen! Ich scheitere gerade an einer Randwertaufgabe, bei der eine 2.Ableitung dran kommt. Könnte mir jemand da helfen? Folgendes habe ich bisher gemacht: Gegeben ist die Randwertaufgabe $\begin{eqnarray} <br /> y''(x)+3y'(x)=5y(x)+1<br /> y(0)=1, y(1)=2<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ Das Gebiet in der die L"osung liegt ist: $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . 1.) Umformung in DGL 1.Ordnung $\begin{eqnarray} <br /> y_1(x)=y(x)\\<br /> y_2(x)=y'(x)=y_1'(x)\\<br /> \begin{pmatrix}y_1'(x)\\y_2'(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_2(x)\\5y_1(x)-3y_2(x)+1 \end{pmatrix}=\overset{\rightarrow}{f}(\overset{\rightarrow}{x},\overset{\rightarrow}{y})<br /> \end{eqnarray}$ 2.) Anfangsbedingung lautet $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ 3.) Forme in ein "aquivalentes NS-Problem, das sich aus $\begin{eqnarray} y(1)=2 \end{eqnarray}$ ergibt, um $\begin{eqnarray} <br /> F(s)=y(1,s)-2=0<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Ich glaube eher nicht. Als nächstes habe ich mir folgende Schritte aufgeschrieben. Allerdings komme ich da jetzt auch nicht weiter 3.) Anwendung des Newton-Verfahrens - Leite $\begin{eqnarray} F(s) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ab $\begin{eqnarray} <br /> F'(s)=\frac{\partial F}{\partial s}=\frac{\partial }{\partial s}y(1,s)<br /> \end{eqnarray}$ - W"ahle $\begin{eqnarray} s_0=1 \end{eqnarray}$ wegen y(0)=1 $\begin{eqnarray} F(s)=y(1,s)-2=y(1,1)-2=0 \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} y(1,1) \end{eqnarray}$ mit Euler ermitteln - Newton-Verfahren Korrektor: $\begin{eqnarray} K=-\frac{F(s)}{F'(s)} \end{eqnarray}$ Update: $\begin{eqnarray} x^1=x^0+K \end{eqnarray}$ Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! Danke schon im Voraus!

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