Nachweis Primzahl träge in Eukl. Ring

02.07.2011, 14:24

Det24

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Nachweis Primzahl träge in Eukl. Ring

Hallo,

ich soll eine Primfaktorzerlegung von 42 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\frac{1+\sqrt{-3} }{2} ] \end{eqnarray*}$ angeben

42=2*3*7

habe zuerst die norm berechnet( $\begin{eqnarray*} (n+m\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (n+m\frac{1-\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$ =n^2+nm+m^2

und dann geschaut ob die 7=n^2+nm+m^2 eine lösung hat. das passt für n=1 und m=2

bei 3=n^2+nm+m^2 für m=n=1

Wie weise ich aber nach dass die 2 träge ist (so meine Vermutung).

03.07.2011, 11:01

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{1 + \sqrt{-3}}{2} \end{eqnarray*}$ ist primitive sechste Einheitswurzel. Daher ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} z^3 + 1 = \left( z + 1 \right) \left( z^2 - z + 1 \right) \end{eqnarray*}$ .
Hier muß $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ Nullstelle des zweiten Faktors sein. Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} \omega^2 - \omega + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Norm eines Elementes $\begin{eqnarray*} \alpha = n + m \omega \in R = \mathbb{Z}[\omega] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) = n^2 + nm + m^2 = \left( n + \frac{1}{2} m \right)^2 + \frac{3}{4} m^2 = \frac{3}{4} n^2 + \left( \frac{1}{2} n + m \right)^2 \end{eqnarray*}$

Hieran liest man ab:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) > 0 \ \ \mbox{für} \ \ \alpha \neq 0 \, , \ \ N(\alpha) \geq 3 \ \ \mbox{für} \ \ |n| \geq 2 \ \ \mbox{oder} \ \ |m| \geq 2 \end{eqnarray*}$

Die Norm einer Einheit von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ muß ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein. Das geht nur mit $\begin{eqnarray*} n,m \in \{ 0,1,-1 \} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n=m=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=m=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=m=-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = 3 \end{eqnarray*}$ . Es bleiben also noch sechs Möglichkeiten. Da andererseits die sechsten Einheitswurzeln mit Sicherheit Einheiten von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind, sind das alle Einheiten: $\begin{eqnarray*} \omega^k, \, 0 \leq k < 6 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt geht es darum, ob man $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ zerlegen kann: $\begin{eqnarray*} 2 = \alpha \beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in R \end{eqnarray*}$ . Der Übergang zur Norm liefert

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) \cdot N(\beta) = 4 \end{eqnarray*}$

Das ist eine Gleichung in natürlichen Zahlen. Wenn nun hierin weder $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist, was folgt dann daraus?

$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ tatsächlich zerlegbar. Wie aber sehen konkret die Zerlegungen aus?

03.07.2011, 19:14

Det24

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n und m einfach jeweils eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 7=(1+2\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) * (1-2\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=(1+1\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) *(1-1\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

oder nicht?

03.07.2011, 19:22

Det24

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Warum gilt nochmal $\begin{eqnarray*} N(\alpha) \cdot N(\beta) = 4 \end{eqnarray*}$ ?

03.07.2011, 19:38

Leopold

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Nein, das stimmt nicht. Einfach nachrechnen. Wegen $\begin{eqnarray*} \omega^2 = \omega - 1 \end{eqnarray*}$ (siehe oben) folgt:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + 2 \omega \right) \cdot \left( 1 - 2 \omega \right) = 1 - 4 \omega^2 = 1 - 4 \left( \omega - 1 \right) = 5 - 4 \omega \neq 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \omega \right) \cdot \left( 1 - \omega \right) = 1 - \omega^2 = 1 - \left( \omega - 1 \right) = 2 - \omega \neq 3 \end{eqnarray*}$

Dein Denkfehler: Die Norm ist keine injektive Funktion. So gilt z.B. $\begin{eqnarray*} N(2 - 5 \omega) = N(3 - 5 \omega) = 19 \end{eqnarray*}$ , aber natürlich ist $\begin{eqnarray*} 2 - 5 \omega \neq 3 - 5 \omega \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} N(\alpha) \cdot N(\beta) = 4 \end{eqnarray*}$ gilt, weil $\begin{eqnarray*} N(2) = 4 \end{eqnarray*}$ und die Norm mit der Multiplikation verträglich ist.

03.07.2011, 21:37

Det24

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Zitat:

Original von Det24
n und m einfach jeweils eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 7=(1+2\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) * (1-2\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=(1+1\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) *(1-1\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

Sorry, da sollte eigentlich stehen:

$\begin{eqnarray*} 7=(1+2\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) * (1+2\frac{1-\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=(1+1\frac{1+\sqrt{-3} }{2}) *(1+1\frac{1-\sqrt{-3} }{2}) \end{eqnarray*}$

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03.07.2011, 21:47

Det24

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Ich verstehe auch nicht ganz wieso ich mir die Norm der Einheiten anschauen muss...

(Vielleicht habe ich mir die Aufgabe zu leicht gedacht? Bzw. nicht so ganz verstanden....)

Wie genau muss ich denn vorgehen?

1. Norm berechnen

2. ....

04.07.2011, 08:18

Leopold

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Die Zerlegungen stimmen jetzt. Freude

Freude

Ich würde sie in der kanonischen Form schreiben, also bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} 1,\omega \end{eqnarray*}$ . Dann läßt sich's leichter rechnen:

$\begin{eqnarray*} (1 + 2 \omega) \cdot (3 - 2 \omega) = 3 + 4 \omega - 4 \omega^2 = 3 + 4 \omega - 4 (\omega - 1) = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 + \omega) \cdot (2 - \omega) = 2 + \omega - \omega^2 = 2 + \omega - (\omega - 1) = 3 \end{eqnarray*}$

Jetzt willst du ja untersuchen, ob 2 zerlegbar ist. Und du hast den Verdacht, daß das nicht so ist. Also führen wir einen Beweis durch Widerspruch. Wir unterstellen, daß eine Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \alpha \beta = 2 \ \ \text{mit} \ \ \alpha,\beta \in R \ \ \text{keine Einheiten} \end{eqnarray*}$

existiert. Insbesondere gilt also $\begin{eqnarray*} N(\alpha), N(\beta) \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du auf die Gleichung die Norm anwendest, erhältst du wegen der Multiplikativität der Norm

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) \cdot N(\beta) = 4 \end{eqnarray*}$

Der Witz ist, daß du jetzt eine Gleichung zwischen ganzen Zahlen, ja sogar, wie in meinem ersten Beitrag gezeigt, zwischen natürlichen Zahlen hast. Mit unseren Annahmen ist diese Gleichung eindeutig lösbar! Wie kommst du nun zum erwünschten Widerspruch? Beachte meinen ersten Beitrag.

04.07.2011, 09:34

Det24

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Also die Einheiten haben immer die Norm 1.
Ich weiß dadurch, dass die Norm der Zerlegungen jeweils 2 sein muss.(Da dort ja keine Einheit vorkommen soll)

Also wenn ich das wieder auf die Norm anwende müsste ich wieder

2=n^2+nm+m^2 lösen ??

Oder geht das anders? Wie zeig ich dann dass diese Gleichung nicht lösbar ist.....

04.07.2011, 09:50

Leopold

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Wenn du meinen ersten Beitrag genau liest, ist dort der Beweis versteckt enthalten.

04.07.2011, 11:54

Det24

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Also so ganz hab ich immer noch nicht.

Es müsste ja dann gelten:
$\begin{eqnarray*} N(\alpha)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(\beta) = 2 \end{eqnarray*}$

Wie hilft mir das dann weiter?

04.07.2011, 14:56

Leopold

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Genau das müßte gelten. Aber in meinem ersten Beitrag steht, warum $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = 2 \end{eqnarray*}$ für kein $\begin{eqnarray*} \alpha \in R \end{eqnarray*}$ möglich ist. Du mußt dir halt die Mühe machen, das einmal zu durchdringen.

04.07.2011, 21:10

Det24

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) = n^2 + nm + m^2 = \left( n + \frac{1}{2} m \right)^2 + \frac{3}{4} m^2 = \frac{3}{4} n^2 + \left( \frac{1}{2} n + m \right)^2 \end{eqnarray*}$

Hieran liest man ab:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) > 0 \ \ \mbox{für} \ \ \alpha \neq 0 \, , \ \ N(\alpha) \geq 3 \ \ \mbox{für} \ \ |n| \geq 2 \ \ \mbox{oder} \ \ |m| \geq 2 \end{eqnarray*}$

Also ich weiß nicht genau wie du (quadratische erg.?) und warum du $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = n^2 + nm + m^2 = \left( n + \frac{1}{2} m \right)^2 + \frac{3}{4} m^2 \end{eqnarray*}$
umformst.
Das $\begin{eqnarray*} \left( n + \frac{1}{2} m \right)^2 + \frac{3}{4} m^2 = \frac{3}{4} n^2 + \left( \frac{1}{2} n + m \right)^2 \end{eqnarray*}$ gilt ist ja klar.

irgendwie sehe ich auch nicht wie ich da ablesen kann dass die norm>3 sein muss.

04.07.2011, 21:48

Det24

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) = n^2 + nm + m^2 = \left( n + \frac{1}{2} m \right)^2 + \frac{3}{4} m^2 \end{eqnarray*}$

ist doch ok, hatte mich nur verrechnet...

die anderen fragen bleiben aber erhalten....

04.07.2011, 21:55

Det24

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Nee, passt doch nicht. Falls du das eventuell nochmal kurz erklären könntest...

04.07.2011, 23:33

Leopold

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Daß die Umformung mit der quadratischen Ergänzung gilt, kann man ja einfach nachrechnen. Nun sind Quadrate immer positiv. Wenn nun $\begin{eqnarray*} |m| \geq 2 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird, dann folgt

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) = \underbrace{\left( n + \frac{1}{2} m \right)^2}_{\geq 0} + \underbrace{\frac{3}{4} m^2}_{\geq \frac{3}{4} \cdot 2^2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

Entsprechendes gilt auch für $\begin{eqnarray*} |n| \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn daher die Norm einen Wert $\begin{eqnarray*} <3 \end{eqnarray*}$ haben soll, dann kommen dafür nur $\begin{eqnarray*} n,m \in \{ 0,1,-1 \} \end{eqnarray*}$ in Frage. Zwei Stellen $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ (die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ festlegen), für die jeweils drei Werte in Frage kommen, dafür gibt es mit elementarer Kombinatorik $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3 = 9 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Die kann man nun alle durchprobieren. Eine Möglichkeit liefert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , zwei liefern $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ als Norm, die restlichen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kommt als Wert schlicht nicht vor ...

05.07.2011, 01:03

Det24

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Danke für die Erklärung (auf minimalem Niveau. Aber das hab ich gebraucht...)!

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