Anzahl der Elemente einer Gruppe mit Ordnung x

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CLST58 Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Elemente einer Gruppe mit Ordnung x
Meine Frage:
Hallo an alle,
ich würde gerne wissen wie ich folgendes löse:
Wieviele Elemente a der Ordnung x gibt es in einer endlichen zyklischen Gruppe G der Ordnung m.

Meine Ideen:
Mein eigener Ansatz geht so:
Da G endlich und zyklisch ist, muss G isomorph zu sein. Außerdem gilt , wobei das neutrale Element in der Gruppe ist. Übertragen auf heißt das also . Ich will also wissen wieviele a's es gibt sodass
wobei . Bei meinem speziellen Problem geht es dabei um die Zahlen
. Wenn ich dann die letzte Formel auflöse komme ich auf 15 Elemente der Ordnung 15. Ich weiß aber bereits das die Lösung eigentlich 8 ist... nur wie komme ich darauf bzw. was mache ich falsch ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Elemente einer Gruppe mit Ordnung x
Tach!

Es geht ja hier um die Ordnung. Einige der Elemente die Du findest erfüllen zwar die Bedingung , aber es gibt auch kleinere als 15, weshalb 15 nicht Ihre Ordnung ist.

Zum Beispiel hat das Element in nicht die Ordnung 15, sondern nur die Ordnung 5.

Letztlich wirst Du als Lösung ja bisher raushaben. Nun musst Du erkennen, welche der Zahlen aus teilerfremd zu 15 sind.

Gruß,
Reksilat.
CLST58 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Elemente einer Gruppe mit Ordnung x
Ich glaub ich stehe ein wenig auf dem Schlauch...
Also nicht alle meine Lösungen sind richtig, weil es auch noch Elemente in gibt, die kleinere Ordnung haben als 15 und trotzdem die Gleichung erfüllen. Diese Elemente müssen dann also eine Ordnung haben die teiler von 15 ist... also 3 oder 5. Wenn ich jetzt meine Ergebnisse nehme also und dort alle Elemente entferne die die Gleichung oder erfüllen, bleiben nurnoch Elemente der Ordung 15 übrig... in diesem Fall genau 8. Soweit habe ich das verstanden.
Ich verstehe allerdings nicht ganz warum man, anstatt das so zu machen, einfach nur schauen muss welche Zahlen aus teilerfremd zu 15 sind, was natürlich viel einfacher ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Elemente einer Gruppe mit Ordnung x
Nun, das Element hat die Ordnung 15. Ein Vielfaches von , sagen wir hat eine Ordnung, die ein Teiler von 15 ist. Die Ordnung von ist also 1, 3, 5 oder 15.

Angenommen sei teilerfremd zu 15. Dann kann die Ordnung von nicht 3 sein, denn dann wäre , also müsste ein Teiler von und somit ein Teiler von sein. Widerspruch. Analog sieht man auch, dass auch 5 oder 15 nicht die Ordnung von sein können.
Auf diese Weise sieht man, dass für das Element immer die Ordnung 15 haben muss.

Ähnlich sieht man, dass für das Element die Ordnung hat.

Die Elemente der Ordnung 15 sind also gerade die mit und teilerfremd zu 15.

Gruß,
Reksilat.
CLST58 Auf diesen Beitrag antworten »

Super ich denke jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank !
MJMS Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Entschuldigung, dass ich einen alten Thread ausbuddel, aber ich habe die gleiche Frage gestellt bekommen und stehe vor einem ähnlichen Problem. Ich kann nachvollziehen, wie es zur Lösung für die Ordnung 15 kommt.

Zusätzlich haben wir die gleiche Frage gestellt bekommen, wie viele Elemente der Ordnung 495 es gibt und uns wurde gesagt, dass die Lösung sei, dass es nur ein Element gäbe...
Allerdings kann ich mir nicht erschließen, warum und frage mich, ob uns nicht einfach irrtümlich die falsche Lösung gegeben wurde. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Danke,
MJMS
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MJMS
Zusätzlich haben wir die gleiche Frage gestellt bekommen, wie viele Elemente der Ordnung 495 es gibt und uns wurde gesagt, dass die Lösung sei, dass es nur ein Element gäbe...

Ist natürlich blanker Unsinn... geschockt

Z.B. haben a und in einer Gruppe immer die gleiche Ordnung... Ist a also erzeugendes Element einer zyklischen Gruppe mit m>2 Elementen, so ist automatisch auch erzeugend und von a verschieden...
MJMS Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort, Mystic. Zu dem Schluss war ich auch gekommen und daher verwirrt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt sogar noch eine Menge mehr Elemente der Ordnung 495, nämlich alle, die teilerfremd zu 495 sind. Dabei identifiziere ich die Elemente mit der Zahl n, wobei a ein Erzeuger der zyklischen Gruppe ist, also Ordnung 495 hat.

Edit: Es gibt 240 Elemente der Ordnung 495 in ; In Haskell liefert
code:
1:
length $ filter (\x-> gcd x 495 == 1) [1..495]
den Wert 240.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei man das als Algebraiker nicht mit dem Computer berechnen sollte:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Phi-Funktion
Augenzwinkern

Gruß
Reksilat
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Da hst du natürlich recht Augenzwinkern . Ich vergaß die Multiplikativität von .
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