Reihen, Folgen, Konvergenz - Verständnisprobleme |
| 04.07.2011, 16:06 | Guinerva | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Reihen, Folgen, Konvergenz - Verständnisprobleme also kurz vorab, ich versuche mich gerade auf die Klausur Analysis I vorzubereiten und stelle mich nicht gerade geschickt an, wie ich den Eindruck habe. Mein Problem ist vor allem, dass mir viele Grundlagen fehlen, wie ich glaube. Also ich habe den Eindruck, ich müsste mehr wissen. Leider sind meine mathematischen Fähigkeiten nicht sonderlich hoch ausgeprägt, aber es macht mir Spaß - auch der Grund für diese Studienfachwahl. Ich hab den Titel für diesen Thread mal allgemein gehalten, weil ich habe doch einige Sachen die mir unklar sind. Zum Thema Folgen: Ich habe verstanden, dass es Folgen systematische Auflistungen von Zahlen sind. Ich weiß es gibt zum Beispiel die Arithmetische Folge, die gekennzeichnet ist dadurch, dass jedes Folgeglied einen festen Abstand d zum nächsten Folgeglied hat. Berechnen kann man d = a(n+1) - an. Also man zieht das erste Glied vom zweiten Glied ab usw... Bei der Geometrischen Folge, die ja dadurch gekennzeichnet ist, dass immer ein Faktor q mit n in der Potenz zum ersten Glied dazumultipliziert. Also eine Geometrische Folge lässt sich darstellen als {an} = a1, a1*q^1, a1*q^2, usw... Berechnen kann man q = a(n+1)/an. Mein Problem ist jetzt, ich weiß zwar, wie eben die Definition ist, aber wie erkennt man das? Also vielleicht hört sich die Frage dumm an, aber ich tue mir sehr schwer wenn ich eine Folge sehe, herauszubekommen was es für eine Folge ist. Und dann gibts ja auch noch andere Folgen, zum Beispiel eben Cauchy-Folgen, da fehlt mir jegliches Verständnis für... also ich habe zwar herausfinden können, dass eine Cauchy-Folge in sich konvergent ist, aber was das heißt ist mir schleierhaft. Ich weiß das Cauchy-Folgen konvergent sind, folglich so wie ich die Konvergenz bisher verstanden habe, existiert für konvergente Folgen ein fester Grenzwert wenn ich n gegen unendlich streben lasse, also entweder Null oder eine feste Zahl c. Ich weiß auch, dass diese Zahl nicht unbedingt Element der Folge sein muss. Heißt dann bei einer Cauchy-Folge, sie ist "in sich konvergent", dass der Grenzwert Element der Folge ist? Und dann gibts ja sicher auch noch andere Folgen, die weder arithmetisch, noch geometrisch noch cauchy sind... Also Problem 1: Wie erkenne ich, wenn ich eine beliebige Folge aufgetischt bekomme, um welche Folge es sich handelt? Nehme ich die Formel für d und q her und probiere aus, obs geht - also das wäre ja ziemlich umständlich, zumal diese Methode auch sehr Fehler anfällig ist. Und Problem 2: Was zum Teufel ist eine Cauchy-Folge? Da gibts doch diesen tollen Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Heißt das eine geometrische Folge ist auch eine Cauchy-Folge? Aber was ist dann mit dem "in sich konvergent"? Achja und dann noch die Konvergenz der Folgen. Wenn eine Folge Konvergent ist, dann gilt eben die Sache mit dem festen Grenzwert. Eine arithmetische Folge, da man ja immer einen festen Wert dazu adiert würde dann aber doch nicht konvergent sein, denn ihr Grenzwert läuft für n nach unendlich doch auch gegen unendlich. Und da habe ich die Divergenz im Kopf. Von Dingen die springen (alternieren) will ich gar nicht erst anfangen... Aber die sind ja auch nicht konvergent und meistens durch irgendeine negative Basis mit n in der Potenz gekennzeichnet - so habe ich zumindest den Eindruck. Ist das eine richtige Annahme? Oder woran erkennt ihr das? Zum Thema Reihen: Ich hab mich auch schon in die Reihen etwas eingelesen und auch Übungen gemacht. Teilweise gehts, also ich kriege beispielsweise bei: Summenzeichen ak := 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) schon raus, dass das Bildungsgesetz: an = 1/(2^n-1) ist, allerdings eher durch scharfes Hinschauen als durch irgendein System und bei komplizierteren Reihen krieg ich es nicht hin. Problem 3: Wie kriegt man es hin, das Bildungsgesetz rechnerisch rauszufinden? Nebenbei weil ich nix von Arithmetischen Reihe gelesen hab - gibts die Überhaupt, wenn ja, dann sind sie aber bestimmt divergent - oder? Und dann gibts auch noch große Thema der Konvergenz und da ist mir vieles eben auch nicht ganz klar. Also wie gesagt, ich habe verstanden, dass nur Folgen und Reihen, die einen festen Limes haben, auch konvergent sein können - das ist schon mal schön und gut. Aber es erscheint mir als gäbe es eine Flut an Konvergenzkriterien und Bestimmungen und Regeln wie man das dann nachweisen kann und irgendwie verwirrt mich das. Ich kriege das Quotientenkriterium mit Limes (n gegen unendlich) |a(n+1)/an| = q noch hin. Hah, und irgendwie erinnert mich das ganz dunkel an die Formel um den Faktor q in der geometrischen Reihe auszurechnen. Da ist doch bestimmt ein causaler Zusammenhang. Also q soll <1 sein, dann (so mein Buch) sei die Summe an absolut konvergent. Wenn q kleiner 1 ist und es ist mit dem Faktor der geometrischen Reihe gleichzusetzen, dann ist das klar, denn irgendwie sind die einzelnen Glieder Nullfolgen und damit muss die ganze Reihe gegen Null konvergieren. Aber geht dann das Quotienten Kriterium nur bei geometrischen Reihen oder tatsächlich bei jeder Reihe? Oder hab ich einen totalen Gedankendreher drin? So und nun der eigentliche Grund, warum ich mich entschlossen habe, meine ganzen Fragen hier zu posten... Ich habe eine Aufgabe, wo ich die Konvergenz mit Hilfe des Majorantenkriteriums nachweisen soll. Das Majorantenkriterium habe ich so verstanden, dass ich eine Reihe habe, die mich an eine andere "erinnert" von der ich aber den Grenzwert kenne bzw. weiß, dass sie konvergent ist. Wenn ich sehe, dass die Reihe, die ich kenne größer ist als die, die ich bearbeiten soll, dann kann ich das Majorantenkriterium verwenden. Denn ich gehe davon aus, dass die kleinere Reihe auch nicht größer werden kann, als die größere Reihe. Also das klingt schon sehr verwirrend, wahrscheinlich weil ich auch noch nicht richtig in dem Thema drin bin, aber ich versuche immer mir die Sachen auf möglichst einfache Weise zu übersetzen - sonst hab ich gar keine Chance das verstehen. Also wie gesagt, ich habe eine Aufgabe, da wird mir die Summe ak: 1 + 1/(Wurzel von 2) + 1/(Wurzel von 3) + 1/(Wurzel von 4) + usw gegeben. Okay, gebildet wird das wohl: Summe ak = 1/(Wurzel k) bzw. als Folge betrachtet, hab ich an = 1/(Wurzel n) Und 1/(Wurzel n) ist ja nichts anderes als n (Potenz: - 1/2) oder anders 1/(n^(1/2)) Und wie froh war ich, als ich das sah. Denn immer wenn n mit einer Potenz im Nenner steht hab ich ja eine Nullfolge und Nullfolgen konvergieren zur 0 - wie ich mir gemerkt habe. Von daher dachte ich klasse, 1/(Wurzel n) ist wohl eine Nullfolge, damit konvergent zur Null. Also muss ich nur noch eine Reihe finden, die größer ist. Und dann wars schon vorbei mit meinem Verständnis. Also schaute ich im Lösungsteil nach um, weiter zu kommen. Und da schätzen die das ganze mit 1/n ab. Aber das ist ja kleiner als 1/(Wurzel n) - das verwirrt mich schon wieder, denn die Aufgabe lautete man soll das Majorantenkriterium benutzen. Und dann wirds noch besser, das 1/n ist eine harmonische Reihe, also gehört habe ich das schon, aber ich habe keine Ahnung was das ist. Aber nun steht da die harmonische Reihe wäre divergent und damit wäre auch 1/(Wurzel n) divergent. Und jetzt bin ich total verwirrt. Hätte irgendjemand hier vielleicht die Güte und Geduld, die verschlungenen Gedankengänge bei mir zu entwirren, damit ich die Sache klarer sehe. Da ich mir sehr schwer tue mathematische Sachen mit mathematischen Formulierungen zu verstehen, wäre es gut, wenn sich jemand die Mühe macht, mir das genau aufzudröseln und zwar auf deutsch und nicht auf mathematisch. Weil sonst besteht die Gefahr, dass der Beitrag umsonst war, denn ich kapiers vielleicht nicht. Also ich bin durchaus in der Lage in meinem Skript, Büchern, Wiki und allgemein im Internet mir die Sachen anzuschauen, aber da steht es eben immer auf "Mathematisch" und das hilft mir nicht unbedingt weiter... Also schon mal ein ganze dickes Danke an meinen Retter/Retterin, denn in 14 Tagen ist Klausur und ich krieg langsam Angst. Ich mache Übungsaufgaben aus einem Buch, die Übungsblätter von der Uni, sind für meinen Stand teilweise noch etwas kompliziert. Das ist irgendwie sehr deprimierend. Also die Aufgaben, die ich zur Abgabe irgendwie hingebracht hab, die krieg ich natürlich hin, aber die die ich da schon nicht auf die Reihe gebracht habe, die schaffe ich immer noch nicht. Da ausgerechnet zu diesen Aufgaben mir keine Musterlösungen vorliegen, hab ich ein enormes Problem und ich dachte, ich üb mich erst mal an den Grundlagen, weil die müssen ja sitzen, sonst geht nix - dummerweise scheitere ich eben schon an den Grundlagen. In meinen Hirn herrscht chaos. Kaum denke ich, dass ich irgendwas endlich verstanden hab und es hinbekomme, taucht irgendwas auf, dass mich wieder völlig verwirrt - geht das anderen Mathestudenten auch so? Naja, ich hoffe, ich bekomme Hilfe und ich sag schon mal danke. Liebe Grüße Guinerva |
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| 04.07.2011, 17:02 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Guinerva, Du kennst die Definition einer arithmetischen bzw. geometrischen Folge und möchtest nun wissen, wie man eine solche erkennt. Die naheliegendste Methode ist, zu überprüfen, welche Definitionseigenschaften die Folge hat. Das ist jetzt etwas schlecht ausgedrückt, aber in diesen beiden Fällen wirklich sehr simpel:
Falls dir das nicht sofort klar ist, dann solltest du am besten Übungen dazu lösen, bei denen es darum geht, die Folge zu identifizieren und explizite/implizite Formel aufzuschreiben. Der Begriff der Cauchy-Folge ist ein ganz anderer als der einer arithmetischen bzw. geometrischen Folge. Wenn eine Folge eine Cauchy-Folge ist, dann heisst dies nichts anderes, als dass die Folge konvergiert, das heisst, dass für eine beliebige Folge (steht hier nicht explizit für eine arithmetische Folge!) existiert. Der Unterschied zum herkömmlichen Begriff der Konvergenz ist bei der Cauchy-Folge, dass hier der Grenzwert nicht in der Definition vorkommt. Womöglich erinnerst du dich an die Definition der Konvergenz: Eine Folge heisst konvergent, falls , wobei a hier der Grenzwert der Folge ist. Die Definition einer Cauchy-Folge ist sehr ähnlich, eine Folge heisst nämlich Cauchy-Folge, falls . Erstere Definition bedeutet in Worten, dass die Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe kommen; zweitere Definition bedeutet, dass der Abstand zweier Folgenglieder beliebig klein wird. Nun zu deinen "Problemen".
Ich hoffe, dass das einigermassen deutsch genug für dich war. Wenn du im Studium mit solcher Mathematik zu tun hast, dann wirst du nicht an der Sprache der Mathematik vorbeikommen... MfG PS: Auch ich bereite mich derzeit auf meine ersten Klausuren im Studium vor und in anderen Fächern stehe ich genauso aufm Schlauch. 
//e: @Mazze: Das ist natürlich wahr. |
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| 04.07.2011, 17:07 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist falsch. Man kann ohne Probleme Räume angeben, in denen nicht jede Cauchyfolge konvergiert. Wähle etwa die rationalen Zahlen mit einer Folge die gegen Wurzel(2) konvergiert. Ein Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert (bezüglich Norm/Metrik), heißt übrigens vollständig. Eine Cauchyfolge per se ist erstmal nur eine Folge, deren Folgenglieder einen bestimmten Abstand nicht überschreiten ab einem bestimmten Index. |
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| 04.07.2011, 18:55 | Guinerva | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Huy, danke für deine Antwort, ich drösel jetzt noch mal auf, nur um sicher zu gehen, dass ich deine Antwort kapiert habe
Also deine letzte Anmerkung, das ich natürlich die Mathematische Sprache verstehn muss, wenn ich Mathe studiere, ist ja in sofern klar. Aber ich ich sag mal so, wenn ich eine Fremdsprache lerne, dann lernt man ja auch Vokabeln so, dass sie man sie durch das deutsche Wort dafür ersetzt. Also blödes Beispiel: Quitschibo - alle die die Simpsons kennen, kennen Barts Erklärung zu dem Begriff - aber ohne diese weiß kein Mensch was ein Quitschibo ist... 
Also man kann eine Sprache nur lernen, wenn man sich auch etwas drunter vorstellen kann.Mir fällt das bei Mathematik etwas schwer, ich war auch nie gut in Mathe und mir fehlt vermutlich das nötige Genie. Aber ich knobele gerne und möchte mein Hirn trainieren und mein logisches Denken trainieren. Ich finde aber, dass das nicht unbedingt die schlechteste Voraussetzung für ein Studium ist... Aber nun zu deinen spezifischen Antworten: Deine Definition der arithmetischen und geometrischen Folge ist doch dieselbe, die ich gegeben habe - oder? Also genauso wie ich das verstehe, habe ich das gemeint. Oder verstehe ich schon wieder etwas falsch? Was die Übungen betrifft, ist das kein Problem. Also wenn ich weiß, dass ich eine geometrische Folge vor mir habe, dann krieg ich es auch hin, die Folge so zu zerlegen, dass ich das Bildungsgesetz hinschreiben kann - zumindest bei den einfachen. Mein Problem ist aber eher, dass ich allgemein, wenn ich irgendwas gegeben habe, dann nicht erkenne was es ist. Also ich sehe es einfach noch nicht. Das ist fehlende Übung. Aber ich hab nur noch zwei Wochen bis zur Klausur und von daher einfach auch momentan ein Zeitproblem. Das mit den Reihen und Folgen ist ja nur so nebensächlich, aber es ist eben praktisch wenn man weiß, was man vor sich hat. Ich dachte halt, es gibt eine sinnvollere Art, als lange rumzuprobieren... Gerade da wir in der Klausur keinen TR benutzen dürfen, befürchte ich, dass ich zuviel Zeit mit ausprobieren verplempere... Aber ein bisschen üben sollte ich das noch. Hast du vielleicht einen Tipp wo ich im Netz gute Aufgaben dazu finde? Also wenn nicht, dann werd ich mal googln, da findet sich sicher etwas... aber wenn du eine entsprechende Seite kennst, wo solche Aufgaben mit Lösungen stehen, dann wäre das total toll
Was jetzt die Cauchyfolgen betrifft, da bin ich noch etwas verwirrt und so Sonderfälle wie von Mazze schließe ich einfach mal aus, weil das verwirrt mich gerade nur. Also ich verstehe was Mazze meint, aber ich will erst mal begreifen, worum es überhaupt geht, bevor ich mir über spezielle Einzelfälle Gedanken mache. Also du schreibst, eine Folge ist konvergent, wenn |an - a| < Epsilon gilt. Die Definition kenne ich so, aber ist mir etwas kryptisch... also du sagst, das heißt, dass sich alle Folgeglieder beliebig nahe kommen. Diese Annäherung der einzelnen Glieder habe ich auch als Konvergenz verstanden. Also vielleicht liege ich auch voll daneben, aber ich habe mir gedacht, also beim Beispiel einer Reihe: Lässt man den Limes gegen unendlich gehen, muss man ja, damit Konvergenz überhaupt vorliegen kann, eine feste Zahl rauskommen. Deswegen ist klar, eine aritmetische Reihe, wo immer der selbe Wert dazu addiert wird ist divergent, weil es einfach nie endet. Also es gibt immer noch eine Zahl, die dazu kommt und die ganze Reihe größer macht. Bei deinem Beispiel der geometrischen Reihe, die ja 5*3^n als Bildungsgesetz hat, ist es klar, dass die auch nicht konvergent ist, weil sie nicht endet. Wäre aber das Bildungsgesetz 5*1/3^n dann wäre 1/3^n eine Nullfolge, also wenn man das Ding für sich selbst betrachtet. Und damit wird jedes weitere Glied, desto größer n wird, immer kleiner - praktisch fängt man irgendwann an, nur noch fast Null dazu zu addieren und damit wächst die Folge nicht mehr weiter. Dieser immer kleiner werdende Zuwachs, ist das was ich unter der Konvergenz verstanden habe. Also es kann sein, dass ich mich irre, aber so habe ich es in meinem Kopf für mich veranschaulicht... Also deine Erklärung der mathematischen Übersetzung der Defnition von Konvergenz, meine ich verstanden zu haben. Aber die Geschichte mit der Cauchy-Folge ist mir noch nicht ganz klar. Also du sagst, eine Cauchy-Folge ist eine Folge, wo die einzelnen Glieder beliebig nahe zusammenrücken können... Würde dann nicht jede geometrische Folge / Reihe in einem bestimmten Intervall (also ein möglichst weit hinten angesiedeltes), die eben so aussieht: Zahl*1/Zahl^n oder auch schon Zahl*1/n eine Cauchyfolge sein? Weil der Bruch mit meinem n wird ja so klein, dass das irgendwann gegen Null geht. Also das ist ja wieder für sich betrachtet eine Nullfolge. Aber eine Nullfolge ist keine Cauchyfolge... ich bin verwirrt. Hilfe. Könntest du mir eine Folge nennen die eine Cauchyfolge ist und mir das "Cauchy" darin zeigen? ad 1: Ja, erkennen, das ist mein Problem. Einfache Sachen kann ich auch sehen, aber andere Sachen nicht... wie gesagt, ist wohl wirklich Übung. ad 2: Da habe ich in dem einen Buch was gefunden. Also da stand, wenn der Faktor |q|<1 ist dann ist die geometrische Reihe konvergent. Irgendwie ja auch klar, weil q ist dann eine Nullfolge. Wenn |q| > 1 ist dann ist das Ding divergent. Irgendwie auch klar, weil dann wird das Ding wie in deinem Beispiel mit q = 3 immer größer und hat ja auch gar keinen festen Grenzwert. ad 3: Ist klar. Hab ich was anderes geschrieben gehabt? ad 4: Häh? Also sorry, da steig ich gerade aus. Hab jetzt gerade nix im Kopf. Also Alternierend wäre eine Folge / Reihe ja, wenn sie an = (-1)^n ist zum Beispiel. Addiert sich da immer eine feste Zahl hinzu oder auch von mir aus ein n. Also das ganze sähe dann so aus: an = (-1)^n + Zahl oder an = (-1)^n + n dann wäre das Ding ja bei erstem mit der Zahl eine arithmetische Folge / Reihe (oder?) und beim zweiten keine Ahnung... Hat das auch nen Namen? ad 5: verdammt 
ad 6: Das ist klar. ad 7: Schade, das Quotientenkriterium ist das einzige was ich annähernd hinbekomme. ad 8: Also die Aufgabe lautet vollständig: "Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten mit Hilfe des Majorantenkriteriums". Die erste Aufgabe hatte die Lösung: 1/(3^n +1) < 1/3^n und da stand dabei das die Summe 1/3^n eine geometrische Reihe wäre. Die würde ja lauten: 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81... das hieße ja eben dass sie aus 1 *1/3^n gebildet wird. Und meine zu bearbeitende Reihe sah ja eben so aus 1 + 1/4 + 1/10 + 1/28 + 1/82... Also klar, ist die erste kleiner als die zweite. Also allgemein heißt es bei dem Majorantenkriterium ja doch: Hab ich die Reihe an und die ist kleiner/gleich als die konvergente Reihe bn (die größer/gleich Null sein muss) dann ist auch an konvergent. Also von daher dachte ich eben, ich such mir eine Reihe, die nur ein kleines bisschen größer ist und dann weiß ich, das das ungefähr in die selbe Richtung abzielt. Also so ist mir das genauo klar, wie dass die 87 in der Nähe der 86 liegt, weil sie ist ja nix anderes als 86+1. Ich weiß es ist ein blödes Beispiel, weil es mit Konvergenz nix zu tun hat, aber mir ist es so logisch. Irre ich da so sehr? Mir wäre auch noch klar, wenn ich eine divergente Reihe hab, also zum Beispiel Summe an = 2^n (also die ist doch divergent, denn es gibt ja keinen festen Grenzwert oder?) dann wäre mir auch klar, dass an = 2^(n-1) ebenfalls divergent ist. Also für sich betrachtet, dürfte 2^n > 2^(n+1) also wäre ja das Majorantenkriterium erfüllt, denn 2^n ist Majorante zu 2^(n-1). Wenn umgekehrt die größere Reihe bekannt ist und die Konvergenz/Divergenz einer kleineren Reihe herausgefunden werden soll, dann würde ich eher das Minorantenkriterium vorschlagen. Oder babbel ich gerade dummes Zeug? Also ich versuche meine Gedanken schon so gut zu ordnen und mich verständlich auszudrücken... Ich denke, es wird mal wieder einer meiner bekannten Denkfehler sein, die mir hier das Leben schwer machen. Also vielleicht könntest du den Salat entwirren. So und dann hattest du noch das mit der Nullfolge und der Reihe gesagt. Also ich habe eine Reihe, die aus einer Nullfolge besteht. Also bei einer geometrischen Reihe wäre das q eine Nullfolge, dann ist die geometrische Reihe konvergent. Du meinst jetzt dass der Rückschluss, also wenn ich 1/n habe und das einfach irgendwo reinstecke nicht gilt oder? Vielleicht fehlen mir auch einfach die Anschauungsbeispiele... also ich kann mir nicht mal vorstellen, was du für eine Folge / Reihe meinen könntest... PS: Deine Erklärung war schon verständlich ausgedrück, aber sie hat eben auch neue Fragen aufgeworfen... So ist das wohl, wenn man sich in ein Thema hinein kniet... Ich wünsche dir übrigens viel Glück bei den Prüfungen, die du schreiben musst. Was studierst du denn, wenn ich fragen darf? Also ich muss sagen, ich bin ziemlich geplättet davon, was zum einen in dem Studium verlang ist, wieviel Zeitaufwand für mich nötig wäre und wie frustrierend etwas sein kann. Ich dachte schon der Mathe-LK hätte mein Frustrationspotenzial traininert, aber so gefrustet wie ich teilweise bin, habe ich das Gefühl, das ich nix gelernt hab. Also teilweise habe ich das Gefühl, dass ich vor allem weiß, dass ich nichts weiß. Oder um es in einem anderen Bild auszudrücken, ich sitze in einem Kanu mitten auf dem Amazonas mit jeder Menge gefrässiger Biester im Wasser, und mein Kanu hat sehr viele Löcher. Mir steht aber nur ein Esslöffel zur Verfüng um das Wasser herauszuschöpfen. Es ist einfach so eine Masse, die auf einen einstürzt und was man sortiert bekommen muss im Kopf... @Mazze: Auch dir danke für deine Antwort, aber so richtig geholfen hat sie mir nicht... Also das was du schreibst habe ich zwar auch schon gelesen, aber es für meine eigentliche Problematik unrelevant. Trotzdem danke. Liebe Grüße Guinerva |
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| 04.07.2011, 19:27 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich habe gerade wenig Zeit, werde nachher diese Antwort noch erweitern. Will aber doch kurz einen Punkt ansprechen, wo du irgendwie einen grossen Logikfehler drin hast.
DOCH, weil "Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge." und jede eine Nullfolge eine Folge ist, die gegen die Null konvergiert. Und ja, jede Folge der Form c/n, wobei c eine beliebige Konstante ist, ist ebenfalls eine Cauchy-Folge, da es eine Nullfolge ist. Ich habe erst die Hälfte deines Posts überflogen, sobald ich Zeit habe heute Abend, werde ich ihn etwas ausführlicher beantworten, wenn nicht jemand anderes bereits eingesprungen ist. MfG |
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| 04.07.2011, 21:54 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich soll dich also auf die Fehler von Huy nicht aufmerksam machen ? Alles klar 
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| 04.07.2011, 23:58 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also, nochmal zu deinem Beitrag, Guinerva.
Ich bezweifle, dass euch im Studium sämtliche Definitionen einfach an den Kopf geworfen wurden und euer Dozent diese (zumindest anfangs) nicht erklärt hat. Es ist klar, dass man sachte anzufangen hat und so war das auch bei uns der Fall. Aber es wird halt immer abstrakter und dann wird auch mit der Zeit vom Studenten verlangt, dass er Definitionen ohne weitere Erklärungen versteht.
Ja, aber wenn du dir deinen ersten Beitrag durchliest, dann wirst du merken, dass du während deiner Textwand häufig nach Bestätigung fragst. Dies ist auch der Grund, weswegen ich Punkte 3 und 5 aufgeführt habe, die du auf einmal als "völlig klar" abstempelst. Lies dir deinen ersten Post durch, da fragst du ausdrücklich danach, ob tatsächlich jede arithmetische Folge divergiert.
Dies ist falsch. Es stimmt, dass eine Folge konvergent ist, wenn [...]: |an - a| < Epsilon gilt. (Die Definition solltest du UNBEDINGT verinnerlichen und WIRKLICH verstehen, weil in Zukunft immer wieder "kryptisch" definiert wird - diese ganzen Quantoren gehören halt zum Vokabular eines Mathematikers...) Allerdings heisst das in Worte übersetzt NICHT, dass sich alle Folgeglieder beliebig nahe kommen und so etwas habe ich auch niemals behauptet. Um mich selbst zu zitieren: "Erstere Definition (Konvergenz) bedeutet in Worten, dass die Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe kommen; zweitere Definition (Cauchy-Folge) bedeutet, dass der Abstand zweier Folgenglieder beliebig klein wird."
Dieser "immer kleiner werdende Zuwachs" ist genau die Idee hinter der Definition der Cauchy-Folge. Die ursprüngliche Idee hinter der Konvergenz ist, dass man dem Grenzwert immer näher kommt. ad 4: Betrachten wir dein Beispiel . Es ergeben sich folgende Folgenglieder: . Dies ist KEINE arithmetische Folge, da von Folgenglied zu Folgenglied halt nicht immer entweder 2 addiert oder subtrahiert wird, sondern dies alterniert. Sorry, falls ich mich oben schlecht ausgedrückt habe, als ich vom "Abstand" sprach, meinte ich nicht den Absolutbetrag der Differenz... Zu : Dies ist weder arithmetische noch geometrische Folge. Ebenfalls wird sie für beliebig gross, also divergiert die Folge. Ein Beispiel für eine konvergente, alternierende Folge wäre . ad 8: Du hast das Majorantenkriterium nicht ganz richtig verstanden. Das Majorantenkriterium wird verwendet, um Konvergenz nachzuweisen. Dabei sucht man sich eine Majorante, also eine Folge, dessen Folgeglieder alle grösser sind als die der ursprünglichen Folge (im Betrag), und deren Reihe konvergiert. Das Minorantenkriterium wird verwendet, um Divergenz nachzuweisen. Dabei sucht man sich eine Minorante, also eine Folge, dessen Folgeglieder alle kleiner sind als die der ursprünglichen Folge, und deren Reihe divergiert. Dies sollte intuitiv völlig klar sein: Zeigst du, dass etwas grösseres konvergiert, dann muss auch das kleinere konvergieren - zeigst du hingegen, dass etwas kleineres divergiert, dann muss auch das grössere divergieren. Bei dieser Aufgabe halte ich es für einen schlechten Scherz, dass auf das Majorantenkriterium hingewiesen wird, tatsächlich divergiert (!) nämlich die angegebene Reihe, was einfach mittels Minorantenkriterium zu zeigen ist. Aufgaben zu Grenzwerten, Folgen und Reihen findest du zu genüge im Internet, bei Interesse kann ich dich gerne auch noch mit mehr Material versorgen. Ich hoffe, dass dieser Beitrag etwas Klarheit gebracht hat, ansonsten bin ich morgen natürlich weiterhin verfügbar... MfG PS: Ich studiere wie du (?) Mathematik - im zweiten Semester. |
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| 05.07.2011, 01:59 | Guinerva | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo ihr beiden, nochmal danke für euere Geduld und dass ihr euch überhaupt die Mühe macht, mich verstehen zu wollen. @Mazze: Ich wollte dich nicht nicht abkanzeln oder so. Du hast natürlich Recht mit dem was du sagt, so ziemlich das geiche hatte ich nur kurz vorher bei Wikipedia nachgelesen und entschlossen, dass das gerade nicht mein größtes Problem ist
Also ich muss ich irgendwie schaffen erst mal die Grundzüge zu begreifen und dann mache ich mir Gedanken um Spezialfälle. Also nicht böse sein, wenn ich meinte, dass das für mich unrelevant ist. In zwei Tagen oder drei ist es sicher angebracht mich darauf noch mal hinzuweisen, weil dann hab ich es bestimmt wieder vergessen und wunder mich drüber - also das Verhalten würde mich, bei mir zumindest nicht wundern. Aber momentan hab ich einfach wesentlichere Probleme. Ganz blöd, wenn das Haus brennt, dann ist ein Fleck auf dem Teppisch das kleinste Problem, das man gerade hat
@Huy: Natülich kriegen wir vom Prof nicht einfach was hingeknallt, aber mir fehlen einfach viele Grundlagen. Ich hab mein Abi auf dem zweiten Bildungsweg gemacht und aus Zeitgründen, wurden da einige Sachen aus dem Lehrplan gestrichen. Da ich nie sonderlich gut in Mathe war, also ich bin auch schon wegen Mathe hocken geblieben und solche Scherze, fällt mir eben das Studium einfach schwerer als dem durchschnitts Abiturienten mit guten Noten im Mathe LK - meine waren nie berauschend... Natürlich könnte man jetzt darüber diskutieren, warum ich mir dann dieses Studium ausgesucht habe - einfach weil ich es wollte und es im Grunde es mir schon Spaß macht, zumindest wenn ich nicht gerade total frustriert bin. Ich denke, mir fehlt einfach viel Vorwissen. Und ich kann zwar die Definitionen lesen, also ich weiß was sie einem sagen sollen, aber mir fehlt das Bild in meinem Kopf. Verstehst du was ich meine? Ich brauche, um zu lernen, Muster in die ich das gelernte einsortieren kann - das können dumme Muster sein. Also ich will meinem Prof keinen Vorwurf machen, dass er schlecht sei oder so. Nur mir gehts einfach etwas zu schnell. Ich kämpfe halt auch damit, dass mir die Zeit während des Semesters fehlt, um so intensiv zu lernen. Also ich arbeite noch und habe auch noch ein paar andere Dinge, die an mir hängen zu tun. Abends bin ich dann oft zu fertig um zu lernen und dann ist plötzlich eh schon wieder Vorlesung und ich hab noch nicht mal das Zeug, aus der letzten wirklich kapiert. Und dabei betreibe ich das ganze schon auf einer Schmalspurvariante, also ich besuche nur Ana I. Warum ich immer nachfrage, wenn ich etwas von mir gebe, das liegt auch viel an Unsicherheit. Also wenn ich mir was in meinem Kopf zurecht gelegt habe, dann heißt das ja nicht, das mein Gedanke stimmt. Deswegen frage ich nach. Kriege ich dann aber noch mal eine Erklärung, die auf dasselbe abzielt, was ich mir überlegt hat, weiß ich das ich richtig lag und damit ist das dann klar. Also das ist keine Kritik an dir, sondern einfach meine Unsicherheit. Es kostet mich eh immer Überwindung in Mathe, also es war mal ein totales Angstfach bei mir und auch das ist ein Grund für das Studium, dass ich meine eigenen Grenzen überschreite. Ohne meine LK-Lehrerin damals wäre ich zu diesem Schritt eh nie fähig gewesen. Also es ist auch eine Huldigung an den Mathegott, dass er mir fürs Abi eine gute Lehrerin gab und mir die Kraft gab, das zu schaffen und mir auch die Freude an Mathematik schenkte. Was das dritte Zitat von mir betrifft, hab ich das echt falsch ausgedrückt. Also ich meinte nicht das die Folge plötzlich zusammenrutscht, sondern ich habs schon so verstanden, dass der Abstand zwischen dem n-ten Glied und dem n+1-ten Glied, also zwei aufeinanderfolgender Glieder immer kleiner wird. Ich weiß auch nicht, was mir da durchs Hirn geschwoben ist... Oder ist das jetzt immer noch falsch gedacht. Also ich glaube, ich meine dasselbe wie du, aber ganz sicher bin ich mir mal wieder nicht. Und was dieses Zitat von mir betrifft:
Also das dieses Ding, was ich mir aus den Fingern gesogen habe, alternierend ist, das war mir auch klar, so hab ich es ja auch geschrieben. Ursprünglich gings ja mal um eine alternierende Reihe, die auch konvergent ist. Also diese ist es nicht, wie du so schön hingeschrieben hattest... darüber hatte ich gar nicht nachgedacht. Ich wollte eben nur eine alternierende Reihe haben, dafür ja das (-1)^n und daraus eben erst mal eine arithmetische Reihe bauen, auch wenn die divergent ist, aber daraus hätte sich ja bestimmt, wenn man noch eine Nullfolge dazwischen bastelt was konvergentes zaubern lassen. Ich hatte aber den Denkfehler drin, dass ich nur an den konstanten dazuzuaddierenden Wert dachte und vergaß, dass dies ja die konstante Differenz zwischen dem Vorgänger- und dem Folgeglied ist... Selbst blöd, aber da siehst du, dass ich sehr wirr in meinen Gedanken bin und noch nicht alles wirklich beherrsche. Also muss auch immer wieder nachgucken, weil die Sachen noch nicht auswendig sitzen... Wie merkst du dir die Sachen - hast du da Eselsbrücken oder andere hilfereiche Tipps, außer die ständige Wiederholung? Also das ist eben meine Taktik und die dauert sehr lange bei mir... jugendlicher Alzheimer
So und was das Majorantenkriterium betrifft, hast du es jetzt so gesagt, wie ich es mal ursprünglich verstanden hatte, aber dann wieder verworfen... Soviel zu im Hirn zurecht legen... Aber jetzt merk ich es mir und mir ist auch ein schönes Bild dazu eingefallen: Sitzt eine größere Reihe drauf wird die kleinere nach unten gedrückt und bekommt einen festen Limes, also ist konvergent. Also ich stelle mir die Majorante als dicke Raupe vor und das mit dem Minorantenkriterium ist mir so auch logisch, also dass die kleine Reihe, die größere hochdrückt und nicht runter lässt und so kommt die Reihe nie auf den Boden und damit geht sie gegen unendlich... also divergent. Also sofern es dich interessiert, die Minorante ist in meiner Vorstellung eine Schlange, aber meine Fantasien mit dick und dünn liegen wohl eher am Wort und eben der Verbindung mit größere Folge und kleinere Folge. Das sind übrigens auch so Sachen, die ich unter "Muster" fasse
Also ich brauche Bilder, um mir die Sachen merken zu können und sie auch annähernd begreifen zu können...Und warum in der Aufgabe nur Majorantenkriterium gestanden hat, weiß ich auch nicht, aber das Minorantenkriterium wurde in dem Buch auch noch gar nicht aufgeführt - oder ich habs überlesen... Aber das Buch, auch wenn die Erklärungen verhältnismäßig verständlich sind, also zumindest verständlicher, weil einfach ausformuliert, als die Uni-Aufzeichnungen, ist in einigen Aufgaben sehr fehlerhaft. Also ich werde teilweise aus manchen Lösungen nicht schlau, also bei einer Aufgabe, wo man die Definitionsmenge angeben sollte, stand in der Läsung P = x \ {0}, da habe ich mich gefragt, wo das P herkommt, als D hätte ja Sinn gemacht, aber P? Es wurde auch vorher nicht eingeführt oder überhaupt irgendwann erwähnt. Und dann das mit dem kleinen x ohne Null und Mengenklammern, also wenn dann X würde ich meinen. Da wir aber in R waren, warum nicht D = R \{0} Also das hab ich nicht verstanden und war mir aber sicher, dass ich es so schreiben darf, wie ich es gemacht habe... Aber dann auch andere Aufgaben, gerade vorhin gings ums Ableiten und dann sollte man 2x^3 ableiten, das sollte abgeleitet 6x sein, als das Quadrat wurde vergessen und sowas ist da dauernd... von daher fällt diese Ungenauigkeit auch nicht weiter ins Gewicht. Aber es hat mich verwirrt. Aber jetzt merk ich es mir mit Major Raupe und der Schlange Minorant. Auf dein Angebot, dass du morgen bzw. später wieder hier bist, werde ich gerne eingehen. Allerdings werd ich wohl erst nachmittags reinschauen, denn ich wollte/sollte in die Uni... Und ja ich habe das Gefühl es wird klarer. Ich studiere Mathe im, *scharr mit den Füßen - räusper* vierten Fachsemester... allerdings hänge ich immer noch an Ana I und weiter hab ich es bisher nicht gebracht. Also der LA I Schein fehlt mir auch, aber da ich in Ana nur noch zwei Versuche hab, konzentrier ich mich eben darauf. Also ich kann damit leben, wenns länger dauert bzw. muss ich das. Aber ich krieg ja nicht mal dieses Sparprogramm hin, also brauch ich mich mir mehr gar nicht aufhalsen... von daher ich bin optimistisch, dass ich noch vor der Rente fertig werde
Also von daher, ich bin keine typische Mathestudentin. Das ist auch etwas, das nicht so ganz einfach für mich ist... die anderen sind so jung. Du ja anscheinend auch, also es ist nicht so das ich Berührungsängste hätte, aber ich komm mir teilweise ein bissel dumm vor, wenn mich alle groß angucken, wenn ich zugebe, wie alt ich bin und so... Das mag ich mir halt auch nicht so geben. Liebe Grüße Guinerva |
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| 05.07.2011, 07:48 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn ich auch was sagen darf, bevor wir zu (technisch) komplizierten Reihen gehen, sollten wir doch erstmal die absoluten Grundlagen überprüfen, die ja wirklich fehlen. Die Definitionen sind elementar. Wenn du Quantoren nicht magst, musst du ganz an den Anfang zurück zur Grundlagen der Logik! Ich kann es dir ja nochmal in Worten sagen. Def. (Grenzwert). a ist per Definition der Grenzwert einer Folge von x_n, wenn folgender Sachverhalt gilt: Du sagst mir einen Abstand, so klein er auch sein mag, genannt epsilon. Und ich kann dir dann sofort ein Indexzahl N sagen, sodass ALLE FOLGENDEN Folgenglieder, die nach dieser Indexzahl kommen den besagten Abstand zum Wert a haben. Der Witz ist, du kannst natürlich einen beliebig kleinen Abstand sagen. Wenn ich dann trotzdem mit einer Zahl N ankommen kann, dann konvergiert die Folge gegen a. MfG |
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| 05.07.2011, 09:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Muster oder anschauliche Bilder sind in der Mathematik nur spärlich und eher auch nur anfangs anzutreffen. Später (besonders in der Algebra) werden die Dinge immer abstrakter. Verabschiede dich also von dem Wunsch, zu allem und jedem ein anschauliches Bild zu bekommen.
Ich glaube, wir sollten uns mal dringend zusammensetzen und über deine Motivation, Mathe zu studieren, reden. Ein Mathe-Studium ist keine Form einer Selbst-Therapie. Und wenn du schon 4 Semester drauf hast und noch krampfhaft darum ringst, den Ana1- bzw. La1-Schein zu bekommen, dann gibt mir das zu denken. Ich will dir nicht zu nahe treten, aber ich denke, du solltest wirklich mal in aller Ruhe nachdenken, welches Studium deinen Fähigkeiten entspricht. Natürlich, wenn du einen reichen Papa hast und du nicht für deinen Lebensunterhalt selbst sorgen mußt, kannst du jahrelang Mathe studieren, wenn du willst. Und vielleicht findest du hier auch jemanden, der genügend Zeit hat, dir alles lang und breit auseinanderzutüfteln. Viel Glück.
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| 05.07.2011, 14:38 | Guinerva | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo ihr beiden, auch euch danke für eure Antwort. @Jeremy: Danke, für deine eben bildliche Analyse der Quantoren. Verstehen tu ich die Quantoren schon, also ich weiß was sie sagen sollen und ich krieg auch hin das in Worte zu fassen, aber mir erschließt sich daraus noch nicht der mathematische Vorgang. Also ich weiß ehrlich gesagt, nicht wie ich es beschreiben soll, also es ist vielleicht so, wie wenn man einen sehr langen Satz ließt, wo man am Ende schon den Anfang vergessen hat und der einen komplizierten Sachverhalt beschreibt, so dass man zwar die Worte einzeln versteht, den Sinn auch irgendwie umfasst, aber trotzdem noch mal lesen muss, um genau zu verstehen, was gemeint ist. Und ich kann die Quantoren angucken so lange ich will, ich sehe nicht die mathematische Anwendung. Also nur aus der Definition der Konvergenz alleine, komme ich nicht zu dem Punkt, wo ich wüsste, was ich damit anfangen kann bzw. was eben der tiefere Sinn des ganzen ist. Und das liegt wohl eben an meinem mathematischen Verständnis. Was deinen Vorschlag mit der Logik betrifft, also ich hab das schon durchgelesen und einigermaßen verstanden. Natürlich erklären sich daraus viele Sachen. Aber vielleicht meinst du ja was spezielles. Was wäre das dann? @Klarsoweit: Also ich finde es ehrlich gesagt schon gemein von dir, dass du mich nur weil ich kein Genie bin, mir die Berechtigung Mathe zu studieren absprichen willst. Aus welchen Gründen man studiert ist doch egal. Und eigentlich sollte Bildung ja nicht nur dazu dienen sich nen fetten Job zu sichern. Gerade heute wo ein Studium alleine dafür schon oft gar nicht mehr ausreicht. Und ich habe keinen Papa - schon gar keinen reichen. Ich arbeite neben dem Studium sehr viel, dieses ist eigentlich das erste Semester, wo ich wirklich lernen konnte und auch wirklich dabei war. Die anderen Semester sind meistens schon im Versuch gescheitert. Momentan gehts auch nur, weil ich mich extrem einschränke. Würde ich das ganze Semester so viel Zeit zum Lernen haben, wie jetzt, dann wäre ich schon weiter. Ich habe nämlich schon das Gefühl, dass ich mich verbessere und die Zusammenhänge langsam beginne zu verstehen, seit dem ich mich eben ernsthaft damit auseinandersetze und das sind vor allem die letzten beiden Wochen gewesen. Dafür konnte auch gerade mal die Zeit für die Vorlesung und ein paar Stunden in der Woche lernen finden. Und natürlich ist es mein Problem, dass ich jetzt ein ganzes Semester nachlernen muss - denn das ist ja im Prinzip, das was ich tue. Wenn jemand mir nicht antworte will, dann soll er es eben lassen. Ich will niemanden seine Zeit stehlen, aber vielleicht gibts ja eben doch ein paar Leute mit ausgeprägten sozialen Fähigkeiten, die sich gerne mit mir unterhalten. Vielleicht auch nicht, dann geh ich halt wieder. Davon brauchst du dir keine grauen Haare wachsen zu lassen. Achja, was die Muster betrifft, wenn man etwas nicht in Bilder fassen kann, dann erreicht man irgendwann die Grenzen seines Verstandes. Liebe Grüße Guinerva |
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| 05.07.2011, 17:07 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, die Definition gibt dir doch ein Rezept, wie du das lösen kannst. Möchtest du Konvergenz zum Grenzwert a zeigen, dann zeigst du, dass du: wenn jemand dir ein beliebiges epsilon gibt, dass du ein N (natürliche Zahl) finden kannst, sodass alle Folgenglieder nach dem N den Abstand oder einen kleineren Abstand epsilon zu a haben. Wenn Konvergenz nicht vorliegt und du das beweisen möchtest, musst du zeigen, dass es ein epsilon gibt, sodass du immer ein n findest, sodass der Abstand zwischen a und x_n größer epsilon ist. Mal dir Bilder
MfG |
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| 06.07.2011, 08:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein, das habe ich mit keiner Zeile getan. Natürlich hast du das Recht, Mathe zu studieren.
Das sehe ich anders. Ein Studienplatz kostet dem Steuerzahler Geld. Ein Studium soll dir eine ordentliche Ausbildung vermitteln, so daß du in der Lage bist, mit einem ordentlichen Job deinen Lebensunterhalt zu verdienen. Von daher ist es deine Pflicht, ein Studium zu wählen, das weitestgehend deinen Fähigkeiten entspricht.
Womit wir bei einem ernsthaften Problem sind. Ein Mathe-Studium geht nicht nebenbei, sondern ist quasi ein Vollzeitjob. Unter 40 Stunden pro Woche wird das kaum funktionieren.
Genau deswegen spreche ich dieses Thema an. Zu den sozialen Fähigkeiten gehört auch, jemanden festzuhalten, der sich anschickt, nicht links und rechts schauend eine stark befahrene 4-spurige Straße zu betreten.
Das ist eben eins der Gründe, weswegen ein Mathe-Studium nicht für jeden geeignet ist.
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