adjungierte Abbildung ?

05.07.2011, 12:34

LoBi

adjungierte Abbildung ?

i) Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} dim V =n, \end{eqnarray*}$ Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <\cdot,\cdot> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \in Hom_{\mathbb C}(V, \mathbb C). \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass es ein eindeutiges Element $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(u)=<u, v> \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in V \end{eqnarray*}$ gilt.
Hinweis: Wählen Sie $\begin{eqnarray*} v= \sum\limits_{j=1}^n f(u_j) u_j \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \{u_1,..., u_n\} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

ii)
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} dim V =n, \end{eqnarray*}$ Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <\cdot,\cdot> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \in Hom_{\mathbb C}(V, V). \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass es ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} f* \in Hom_{\mathbb C} (V, V) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} <f(v),u>=<u,f*(v)> \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V . \end{eqnarray*}$
Hinweis: Betrachten Sie die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g \in Hom_{\mathbb C}(V, \mathbb C) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(v)=<f(v),u> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u \in V \end{eqnarray*}$ und benutzen Sie i).

zu i)
Ich habe mir ein $\begin{eqnarray*} u=\sum\limits_{i=1}^n a_i u_i \end{eqnarray*}$ genommen.
Dann $\begin{eqnarray*} f(u)=<\sum\limits_{i=1}^n a_i u_i,v>=<\sum\limits_{i=1}^n a_i u_i,\sum\limits_{j=1}^n f(u_j) u_j> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n a_i <u_i,\sum\limits_{j=1}^n f(u_j) u_j> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n a_i \sum\limits_{j=1}^n f(u_j)<u_i, u_j> \end{eqnarray*}$
Dann ist für $\begin{eqnarray*} i \not= j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <u_i, u_j>=0 \end{eqnarray*}$ ansonsten 1, und es bleibt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i f(u_i) \end{eqnarray*}$ übrig.

Dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i <u_i,v>= <\sum\limits_{i=1}^n a_iu_i,v>=<u,v> \end{eqnarray*}$

So korrekt ?
Müsste dann noch Eindeutigkeit zeigen(?):
Also angenommen es existiert $\begin{eqnarray*} v' \not=v \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} <u,v>=<u,v'> \Rightarrow <u,v-v'>=0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} v'=\sum\limits_{i=1}^n b_iu_i \end{eqnarray*}$ . Dann gibt's mindesten ein $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} b_i \not=f(u_i). \end{eqnarray*}$
Dann habe ich $\begin{eqnarray*} <u, (f(u_i)-b_i)u_i> = (f(u_i)-b_i)<u,u_i>=(f(u_i)-b_i)\not= 0 \end{eqnarray*}$

Kommt mir irgendwie komisch vor? zu ii) muss ich mir noch Gedanken machen.

Gruß

05.07.2011, 12:55

silvio

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Hi LoBi, der Teil mit der Existenz stimmt schon mal.

Zur Eindeutigkeit: Du hast ja <u,v-v'> = 0 für alle u aus V. Also ist v-v' orthogonal zu allen Vektoren u aus V, und v-v' liegt auch in V, da wir ja von einem Vektorraum sprechen. Was ist aber der Schnitt eines Vektorraumes und seines orthogonalen Komplements?

Im zweiten Teil soll gezeigt werden, dass zu jeder der beschriebenen Abbildungen genau eine adjungierte Abbildung existiert (also auch wieder Existenz und Eindeutigkeit).

05.07.2011, 18:58

LoBi

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Das ist natürlich eleganter. Man findet ein Widerspruch in dem der Schnitt von v- v' und V leer ist, aber im Schnitt muss v-v' liegen.
Ich hab noch vergessen dass das Skalarprodukt antilinear in der ersten Kompenente ist, der Beweis funktioniert allerdings trotzdem.

Bei ii) komm ich nicht nich weiter:
zzg: $\begin{eqnarray*} g(v)=<f(v),u>=<v, f*(u)> \end{eqnarray*}$
Ich nehm' mir wieder ein beliebiges $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^n%20a_i%20u_i \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} u=\sum\limits_{i=1}^n%20f'(u_j)%20u_j \end{eqnarray*}$ wie in i).
Dann $\begin{eqnarray*} g(v)=<f(v),u>=<f(\sum\limits_{i=1}^n%20a_i%20u_i),\sum\limits_{i=1}^n%20f'(u_j)%20u_j> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n%20\overline{a_i}<f(%20u_i),\sum\limits_{j=1}^n%20f'(u_j)%20u_j>=\sum\limits_{i=1}^n%20\overline{a_i}\sum\limits_{j=1}^n%20f'(u_j)<f(%20u_i),%20u_j> \end{eqnarray*}$

Jetzt steh ich auf dem Schlauch, ich weiss ja nicht wie das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <f(%20u_i),%20u_j> \end{eqnarray*}$ ist.

schönen Gruß

05.07.2011, 19:30

silvio

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Der Schnitt ist nicht leer, sondern {0}. Dann folgt: v - v' = 0, also v = v' .

Schau mal in dein Mailfach oder auf der Homepage nach Lesen1

, anscheinend ist den Assistenten schon wieder ein Fehler bei der Aufgabenstellung passiert. böse

05.07.2011, 19:57

LoBi

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Sicher ? Ich schneide ja nur einen orthogonalen Vektor mit V und keinen orthogonalen Raum. Deine Argumentation passt ja Augenzwinkern

Zitat:

Schau mal in dein Mailfach oder auf der Homepage nach Lesen1 , anscheinend ist den Assistenten schon wieder ein Fehler bei der Aufgabenstellung passiert. böse

Kurz vor Abgabe, immer wieder gern gesehen. Augenzwinkern

schönen Gruß

Edit: Kann es sein das man bei i ) ne induktion machen muss?
Man benutzt ja $\begin{eqnarray*} f(u_j)=<u,u_j> \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 09:25

silvio

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Die neue Aufgabe (i) heißt jetzt, dass man f (u) = <v,u> mit $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{j=1}^n \overline{f(u_j)}u_j \end{eqnarray*}$ zeigen soll. Am Beweis ändert sich zum Glück nicht viel, nur dass jetzt berücksichtigt wird, dass das Skalarprodukt in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ in der ersten Komponente semlinear ist (nach Definition aus der Vorlesung).

Ich hoffe, es gibt dafür trotzdem noch ein paar Bonuspunkte. Augenzwinkern

Ich denke mal, mit deiner letzten Bemerkung meinst du die (ii) ?

Werde es mal ausprobieren, melde mich dann später noch mal.

06.07.2011, 11:28

silvio

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So, ich bin jetzt mit der (ii) fertig.

Existenz: Ich betrachte $\begin{eqnarray*} g \in Hom_{\mathbb C} (V,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ mit g(v) = <u,f(v)> für alle $\begin{eqnarray*} u \in V \end{eqnarray*}$ . Nach Aufgabe 1 existiert dann ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit <u,f(v)> = g(v) = <w,v> für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Dann definiere ich f* durch f*(u) = w. Dass f* ein Homomorphismus ist, muss noch gezeigt werden, lässt sich aber schnell nachrechnen.

Eindeutigkeit: Beachte, dass das Bild von f* wieder in V liegt. Dann verläuft der Beweis ähnlich wie in (i).

06.07.2011, 14:57

LoBi

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Habe ich auch so ähnlich.
Nur ich dachte die Eindeutigkeit von f* folgt daraus das w ja eindeutig war ?
Gruß

06.07.2011, 15:17

silvio

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Du hast Recht. Freude

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