Linear Unabhängig

06.07.2011, 08:52	gigala	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear Unabhängig Meine Frage: Hi, kann mir jemand bei den folgenen Aufgaben weiterhelfen? (i)Sei K ein Körper und V,W VR über K und f:V->W eine lineare Abbildung. Weiter seien v1,v2 aus V mit $\begin{eqnarray} v1\neq v2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(v1)=f(v2)\neq 0 \end{eqnarray}$ zz. (v1,v2) l.u. (ii) Die gleiche Aufgabe, nur mit $\begin{eqnarray} f(v1)=f(v2)=1 \end{eqnarray}$ (iii) Ist (v1, v2) ein l.u, Paar von Vektoren aus V und c aus K, so ist auch (v1+cv2, v2)l.u. Meine Ideen: zu (i) $\begin{eqnarray} f(v1)=f(v2) <=> f(v1)-f(v2)=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(v1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(v2)\neq 0 \end{eqnarray}$ Da f K-linear ist gilta also: $\begin{eqnarray} f (v1-v2)=0 \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ . Also muss gelten $\begin{eqnarray} v1-v2=0 \end{eqnarray}$ . Da aber $\begin{eqnarray} v1\neq v2 \end{eqnarray}$ gibt es ein s, t aus K mit $\begin{eqnarray} sv1tv2=0 \end{eqnarray*}$ . Folgt dann schon, dass v1 und v2 l.u.? zu (ii) Ändert sich hier überhaupt etwas? zu(iii) Hier habe ich noch keine idee
06.07.2011, 10:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig Du hast ein paar Denkfehler in deiner Argumentatiion, du setzt vorraus, dass es kein Element aus v aus V gibt, das ungleich 0 ist für das gilt f(v)=0, das kannst du aber nicht tun. Du kannst da folgendermaßen herangehen: Seien v_1, v_2 linear abhängig, dann existiert ein k ungleich 0 aus deinem Körper mit v_1=kv_2. Nun ist die Abbildung linear, also f(v_1)=f(kv_2)=k*f(v_2). Was muss für k gelten, damit die Bedingung f(v_1)=f(v_2) erfüllt ist? Was kann man daraus schließen?
07.07.2011, 13:01	gigala	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig Dann gilt doch k=1, da sonst die Bedingugn in der Vorsuassetzung, dass f(v1)=f(v2) ist, nicht erfülllt . Also folgt aus v1, v2 l.a., dass f(v1), f(v2) l.a. sind und damit gilt auch, dass aus v1, v2 l.u. die lineare Unabhängigkeit von f(v1) und f(v2) folgt. zu (3) sei (v1, v2) l.a. Dann gibt es ein K aus k mit v1=kv2 Dann gilt (v1+cv2, v2)= (kv2+cv2,v2)= (v2(k+c), v2) und das ist offensichtlich l.a. Also folgt auch aus (v1, v2) l.u., dass (v1+cv2, v2) l.u. ist Kann mans so machen?
07.07.2011, 14:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig Das ist etwas konfus. Annahme: v1 und v2 sind linear abhängig, dann existiert ein k ungleich 0 aus K mit $\begin{eqnarray} v_1=k \cdot v_2 \end{eqnarray}$ . Da f linear ist ist dann $\begin{eqnarray} f(v_1)=f(k \cdot v_2)=k \cdot f(v_2) \end{eqnarray}$ . Nun ist nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} f(v_1)=f(v_2) \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass k=1 ist. Mit k=1 gilt aber $\begin{eqnarray} v_1=v_2 \end{eqnarray}$ und gerade das soll ja nicht gelten, also müssen v1 und v2 linear unabhängig sein. Die iii) würde ich direkt zeigen durch ausrechnen.
07.07.2011, 17:21	gigala	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig ja, stimmt Dann versuch ichs mal zu rechnen $\begin{eqnarray} (v_{1}+cv_{2}, v_{2}) \end{eqnarray}$ soll also l.u. sein. Dann gibt es ein s,t aus K mit $\begin{eqnarray} s (v_{1}+cv_{2})+t v_{2}= 0<br /> <=> sv_{1}+scv_{2}+tv_{2}=0<br /> <=> v_{2}(sc+t)+sv_{1}=0 \end{eqnarray}$ Da v1 und v2 l.u. folgt: sc+t =0 und s=0, also auch t=0
07.07.2011, 19:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig Jap, stimmt so. Hast du die ii) auch schon gerechnet?
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08.07.2011, 08:07	gigala	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig zu (ii) Da kann man doch ähnlich wie bei aufgabe (i) vorgehen Sei $\begin{eqnarray} (v_{1}, v_{2}) la. => v_{1}=sv_{2} \end{eqnarray}$ () für s aus K Da f linear ist gilt nun $\begin{eqnarray} f(v_{1})=f (sv_{2}) <=> f(v_{1})=s f(v_{2}) \end{eqnarray}$ () Da $\begin{eqnarray} f(v_{1})=f(v_{2})=1 \end{eqnarray}$ folgt für (): 1= s Das würde aber bedeuten, dass $\begin{eqnarray} v_{1}=v_{2} \end{eqnarray}$ wegen () Das ist aber ein Widerspruch. Also ist v1,v2 l.u.
08.07.2011, 16:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear Unabhängig Kann man so machen, die Frage ist auch, ob man hier nicht gleich auf Aufgabe i) verweisen kann und sagt, dass es schließlich egal ist, welchen Funktionswert die beiden annehmen.

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