Projektive Gruppe [PFA]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Gruppe [PFA]
Ich versuche mir gerde als Beispiel für eine Unauflösbare Gruppe vorzustellen. Da ich gerne kleine Dimension n=2 hätte, wähle ich auch IR als Körper, um nicht in Sonderfällen zu landen, die doch auflösbar sind.

sind die invertierbaren reellen 2x2 Matrizen mit det(1). Das stelle ich mir so vor, dass die Fläche des Parallelogramms erzeugt von den Spaltenvektoren immer die Fläche 1 hat.

Das Zentrum dieser Gruppe besteht meiner Meinung nach nur aus , weil man Matrizen sucht, die mit allen Kommutieren -> Diagonalmatrix mit gleichen Einträgen und wegen Det(1) eben nur diese beiden.

Wie habe ich mir nun anschaulich die Faktorgruppe vorzustellen, so dass ich das "Projektiv" einsehen kann. Und wie stelle ich mir mit Matrizen diese Restklassen dar?

Also in einer Restklasse MN={M,-M} ? Wobei N obigen Zentrum sein soll.

Fasst man also hier 2 Parallelogramme als gleich auf, wenn sie durch Drehung um 180° aufeinander abgebildet werden können? Kongruent aber mit anderer Orientierung wäre aber eine andere Äquivalenzklasse?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Gruppe [PFA]
Und ich nochmal. smile

Schauen wir uns mal die an. Diese Gruppe bildet Vektoren wieder auf Vektoren ab. Sei und . Dann wird eben auf abgebildet. Nun kann man auch den eindimensionalen Unterraum auf den eindimensionalen Unterraum abbilden. (Man kann sich überlegen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist, also unabhängig vom Erzeuger des Unterraums).
Damit sieht man, dass auf der Menge der eindimensionalen Unterräume von operiert. Der Kern dieser Operation (also die Elemente, die alle eindimensionalen UR festlassen) ist gerade das Zentrum der .

Die (und analog die ) kann man also als Gruppe interpretieren, die treu auf den eindimensionalen Unterräumen operiert. Deshalb auch der Begriff projektiv - in der projektiven Geometrie gibt es ja auch keinen Längenbegriff und Geraden aus dem euklidischen Raum werden zu Punkten.

Eine (treue) Matrixdarstellung lässt sich meines Wissens für die PSL nicht so leicht allgemein angeben. So ist die kleinste Darstellung der als Gruppe von Matrizen über achtdimensional.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Schritt zurück.
Hauptproblem ist, von Geometrie habe ich keine Ahnung. Im Skript werden aber gerne Beispiele aus diesem Feld eingefügt.

Zitat:
Schauen wir uns mal die an. Diese Gruppe bildet Vektoren wieder auf Vektoren ab. Sei und . Dann wird eben auf abgebildet.


Mmh, also nehmen wir mal IR als Körper. Operiert die Gruppe G dann auf der Menge IR² der Vektoren (Darf man statt Menge auch Vektorraum sagen?). Wie sieht die Operation aus? Es muss ja gelten

ist ein Homomorphismus. Hier würde man dann jeder reg. Matrix (in trivialer Weise?) die zugehörige bij. lin. Abbildung von M in M zuordnen? Und somit für jedes v aus M

Zitat:
Nun kann man auch den eindimensionalen Unterraum auf den eindimensionalen Unterraum abbilden. (Man kann sich überlegen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist, also unabhängig vom Erzeuger des Unterraums).


Das ist dann eine andere Menge? Also M nun Menge der eindimensionalen Unteräume des IR²?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schritt zurück.
Zitat:
ist ein Homomorphismus. Hier würde man dann jeder reg. Matrix (in trivialer Weise?) die zugehörige bij. lin. Abbildung von M in M zuordnen? Und somit für jedes v aus M

Genau.

Zitat:
Das ist dann eine andere Menge? Also M nun Menge der eindimensionalen Unterräume des IR²?

Ja. Nennen wir sie aber lieber M'. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schritt zurück.
Zitat:
Nun kann man auch den eindimensionalen Unterraum auf den eindimensionalen Unterraum abbilden. (Man kann sich überlegen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist, also unabhängig vom Erzeuger des Unterraums).
Damit sieht man, dass auf der Menge der eindimensionalen Unterräume von operiert. Der Kern dieser Operation (also die Elemente, die alle eindimensionalen UR festlassen) ist gerade das Zentrum der .


OK, also lassen wir G nun auf M' operieren. mit

Wie sehen nun die 2x2 Matrizen Z aus, die im Kern liegen. Für die muss ja für alle v aus IR² gelten . Da kommen nur Vielfache der Einheitsmatrix in Frage, da es für alle v gelten soll. Diese Matrizen kommutieren mit allen 2x2 Matrizen (und es sind die einzigen, die das tun). Sie sind also das Zentrum von G.

Zitat:
Die kann man also als Gruppe interpretieren, die treu auf den eindimensionalen Unterräumen operiert.


Nun betrachten wir die Faktorgruppe und lassen die wieder auf M' operieren. Wieso ist das das nun injektiv? Weil es jetzt nur noch eine Restklasse als Urbild der id in Sym(M') gibt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schritt zurück.
Das gilt für jede Gruppenoperation: Wenn ich den Kern rausfaktorisiere, operiert die Faktorgruppe treu.

Eigentlich muss man sich ja erst überlegen, wie die Faktorgruppe überhaupt operiert:

Die Elemente von operieren auf einfach so, dass man einen beliebigen Vertreter der Nebenklasse nimmt und dann dessen Operation betrachtet. Also mit für alle und .
Das ist wohldefiniert, da ja alle Elemente in einer Nebenklasse identisch auf so einem Unterraum operieren.

Anders ergibt es auch keinen Sinn. Wenn eine Gruppe auf einer Menge operiert, so operiert nicht automatisch auch jede Faktorgruppe auf dieser Menge. Nur wenn man eine Teilmenge des Kerns der Operation rausfaktorisiert geht das.

Schon daraus sieht man dann, dass die Faktorgruppe treu operiert.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schritt zurück.
OK, danke. Wieder ein neues Licht auf die Operation.... smile
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