Automorphismengruppe endlicher Körper

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe endlicher Körper
Hallo,

frage mich gerade ob die folgenden Sachen identisch sind oder nicht. Es steht im Skript:

ist zyklisch von der Ordnung n und wird von Frobenius-Automorphismus erzeugt.

Wie sieht nun die Galoisgruppe

aus. Dort steht sie sei zyklisch und von erzeugt. Gilt dann



oder ist es eine Untergruppe? Laut Definition der Automorphismengruppe einer Körpererweiterung ist ja



Müßte ich mich also Fragen, was der Erzeuger von eingeschränkt auf macht. So richtig vorstellen kann ich es mir nicht. Beispiel

und mit

Kann ich den größeren überhaupt mit Restklassen schreiben oder muss ich da mit so einer Faktordarstellung über ein Minimalpolynom ran?



Da drin wären dann "Polynome" und interpretiere ich als konstante Funktionen? Setze ich die nun in den Frobeniusauto ein, so rechne ich aber modulo 3, nicht 9. Dann würde der Erzeuger der Identitätsfoerung genügen und es würde gelten


Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Hi tigerbine, Wink

Kurze Antwort:
Zitat:
Gilt dann

oder ist es eine Untergruppe?

Es gilt die Gleichheit. Jeder Automorphismus von lässt ja insbesondere die fest und somit auch - also alle Elemente des Primkörpers .

Jedenfalls solange prim ist.

Gruß,
Reksilat.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Zitat:
Original von Reksilat
Jedenfalls solange prim ist.

Gruß,
Reksilat.


Könnte q auch ne p-Potenz sein?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Nein, angenommen , wobei prim.

Die Automorphismengruppe von wird von erzeugt.
Auf ist dieser Automorphismus aber nicht trivial. Also ist und
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ist die Gruppe dennoch zyklisch?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ja klar, sie wird von erzeugt. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Also. Sei nun mal und p sei prim. Nun betrachten wir die Erweiterung .

1. Frage: Ist der Zerfällungskörper von über

2. Frage: Wird von erzeugt? Ist mit

Danke für deine schnellen Antworten.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Zweimal ja.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Mit Zunge Danke dir für das ,
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Anschlussfrage. Wie hängt denn

ist der Zerfällungskörper von über

und die Kreisteilungskörper über endlichen Körpern zusammen?

als Zerfällungskörper von über

Nehmen wir mal an, . Was kann man dann über die Erweiterung aussagen? Der Zerfällungskörper hat dann doch als Elementenzahl eine Potenz von p. Dann müßte man die doch irgendwie miteinander identifizieren können... verwirrt

Was passiert eigentlich, wenn die Charakteristik von K die Potenz n teilt. Ist die Körpererweiterung dann trivial. Also und der Fall ist "uninteressant"?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Du musst für den ZFK von halt den Körper finden, der alle Nullstellen enthält. Dazu muss gelten, denn dann gilt .
Letztlich rechnest Du also die Ordnung von modulo aus.

OBdA kann man annehmen, denn wie man sieht ist in . Der ZFK von ist also in der Tat wieder der Primkörper und -Potenzen im Exponenten spielen keine Rolle.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Nehmen wir man und interessieren uns für den Zerfällungskörper über . Zunächst mal muss das zug. Kreistilungspolynom bestimmen. Das macht man über Q und rechnet dann modulo.



1. Sätze über Einheitswurzeln
Untersuchen, ob irreduzibel über ist. Ja.



Die Erweiterung ist galoisch und die Galoisgruppe ist zyklisch. [generell, für char(K) nicht 0 und teilerfremd zu n]


Wie sieht aus?


2. Körpererweiterungen bei endlichen Körpern
Die Erweitunerungskörper sind vom Typ . Welches k ist nun das richtige für ?

Es ist der Zerfällungskörper von .
[Warum schreibt man eigentlich nicht Zerfällungkörper von ? Optik oder übersehe ich was?]

Es muss gelten damit es in LF zerfällt. Wie sieht es mit der Minimalforderung [des Zerfällungskörpers] aus? Ist k eindeutig bestimmbar?

Für k=1 nicht erfüllt, für k=2 erfüllt. [Minimial]
code:
1:
x^8-1= (x-1)*(x+1)*(x^2+1)*(x^4+1)


Damit müßte sein. Es ist und hier ist die Automorphismengruppe der Körpererweiterung immer zyklisch und vom FrobeniusAutomorphismus erzeugt.

Somit liefern beide Blickwinkel identische Ergebnisse.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Zitat:
Wie sieht aus?


Hätte ich an der Stelle, wegen schon sagen können
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ja, die endlichen Körper sind bis auf Isomorphie eindeutig durch ihre Ordnung bestimmt.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Super. Danke.
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