Aufgabe zu Ring - Strukturtafel,Distributivgesetz

07.07.2011, 12:28

Hómer89

Aufgabe zu Ring - Strukturtafel,Distributivgesetz

Wir betrachten die Menge L der Abbildungen
f : Z2 -> Z2
x ->ax + b
für beliebige a; b element aus Z² zusammen mit der
Addition (f +g)(x) := f(x)+g(x)
und der
Multiplikation (f * g)(x) := f(x)*g(x).
(L;+; ) ist ein Ring.

a. Bezeichnen Sie alle Elemente mit Buchstaben, wobei Sie insbesondere
g(x) := [1]x + [1], h(x) := [1]x + [0] und k(x) := [0]x + [1] verwenden.

b. Berechnen Sie die Strukturtafeln von (L; +) und (L; ).

c. Beweisen Sie ein Distributivgesetz.

d. Gibt es Nullteiler?

e. Lösen Sie in L:
f g + h = k ;
(Hinweis: in Z2 gilt x2 = x.)
____________________________________

ich weiß nicht was ich zur a schreiben soll.. im Prinzip sind die Elemente mit g,h und k schon angegeben? es fehlt aber i(x) = 0x + 0..

zur b bin ich deshalb noch garnicht gekommen

07.07.2011, 14:37

lgrizu

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RE: Aufgabe zu Ring - Strukturtafel,Distributivgesetz
Wenn man so gar keinen Ansatz hat hilft es vielleicht erst mal, die Funktionen aufzuschreiben, so viele sind es ja nicht, und dann Verknüpfungstafeln zu erstellen.

07.07.2011, 15:14

Hómer89

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danke für die antwort
ja das war ja meine frage ob das alle elemente sind, ich schreibs mal wie ich habs:

g(x) = 1x + 1
h(x) = 1x + 0
k(x) = 0x + 1 <- neutrales Element bez.: *
i(x) = 0x + 0 <- neutrales Element bez.: +

Strukturtafel für *

*| g h k i
g| g i g i
h| i h h i
k| g h k i
i | i i i i

für plus:
g+g=h+h=k+k=i+i = i
g+i=g h+i=h k+i=k
usw..?
stimmen die Elemente? also für die A? "Bezeichnen sie die Elementemit Buchstaben.."?

07.07.2011, 15:48

lgrizu

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Ist die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} f(x) \circ g(x) \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Multiplikation (hier wäre der Grad der entstehenden Funktion nämlich 2) oder die Hintereinanderausführung?

07.07.2011, 15:53

Leopold

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Zitat:

Original von Hómer89
stimmen die Elemente?

Stimmt alles. Auffallend ist die Idempotenz.

@ lgrizu

Es ist wohl schon die Multiplikation. Hier geht es um Funktionen, nicht um Polynome als formale Ausdrücke. Und die Funktionen (!) $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ sind gleich.

07.07.2011, 17:38

Hómer89

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genau in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ 2 gilt x² = x.

Danke!
c) und Distributiv hab ich so bewiesen: durch Definition von + und *

$\begin{eqnarray*} a_{1} (x + b_{1} ) * (( a_{2} x + b_{2}) + (a_{3} x + b_{3} )) = a_{1} (x + b_{1} ) * ( a_{2} x + b_{2} + a_{3} x + b_{3} ) = a_{1} x a_{2} x + a_{1} x b_{2} + a_{1} x a_{3}x + a_{1} x b_{3} + a_{2} x b_{1} + b_{1} b_{2} + a_{3} x b_{1} + b_{1} b_{3} = ((a_{1} x + b_{1}) * (a_{2} x + b_{2})) + ((a_{1} x + b_{1}) * (a_{3} x + b_{3})) \end{eqnarray*}$

d) Nullteiler: Gibt es nicht, da nur 0 und 1 in Z2 vorkommen (?)

e)
$\begin{eqnarray*} f * g + h = k f(x) * (x+1) + x = 1 f(x) = \frac{1-x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} = 1 = k(x) \end{eqnarray*}$

kann man das so rechnen? dachte mir dass -x in Z2 ja gleich x sein müsste (?)

vielen dank für die Hilfe!

07.07.2011, 19:40

lgrizu

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Z2 ist sowieso ein Körper, die Frage ist, ob es in dem von dir betrachteten Ring Nullteiler gibt, schau dir dazu noch einmal deine Verknüpfungstafel an, findest du zwei Elemente ungleich null, deren Produkt null wird?

07.07.2011, 20:41

Hómer89

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ja! g(x)*h(x)=h(x)*g(x)=0

logisch! vielen dank!

07.07.2011, 20:50

lgrizu

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Na also, doch Nullteiler gefunden. Augenzwinkern

07.07.2011, 21:06

Leopold

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Zum Nachweis der Distributivität brauchst du die Funktionen nicht bis auf ihre definierenden Terme herunterbrechen. Es genügt, auf der $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ -Ebene zu bleiben.

Seien $\begin{eqnarray*} u,v,w \in L \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} u*(v+w) = u*v + u*w \end{eqnarray*}$

Um zu zeigen, daß zwei Funktionen gleich sind, muß man nachweisen, daß sie auf allen Eingaben $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ übereinstimmen. Ich unterscheide die Multiplikation $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ von der Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ . Eigentlich müßte man das auch bei $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ tun. Aber es ist hoffentlich auch so verständlich:

$\begin{eqnarray*} \left( u*(v+w) \right)(x) = u(x) \cdot \left( v+w \right)(x) = u(x) \cdot \left( v(x) + w(x) \right) \end{eqnarray*}$

Das sind hier alles nur Anwendungen von Definitionen. Wo ist das Pluszeichen das in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und wo das in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ?
Und wie geht die Rechnung weiter?

Dein Lösungsweg bei e) stimmt nicht. Das Problem ist die Division durch $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ . Nicht für jedes Körperelement $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dieser Term ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} f*g + h = k \end{eqnarray*}$ würde ich folgendermaßen auflösen:

$\begin{eqnarray*} f*g + h = k \ \ \Leftrightarrow \ \ f*g = k-h \ \ \Leftrightarrow \ \ f*g = k+h \ \ \Leftrightarrow f*g = g \end{eqnarray*}$

Beim ersten Schritt wurden Eigenschaften einer abelschen Gruppe verwendet, beim zweiten Schritt, daß jedes Element von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ zu sich selbst invers ist. Und beim letzten Schritt wurde die rechte Seite mit Hilfe der Gruppentafel berechnet. Um jetzt die Gleichung zu lösen, würde ich schlicht in der Verknüpfungstafel für die Multiplikation (wozu haben wir die denn?) nachschauen, welche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ da passen. Und da sehe ich nicht nur eines.

08.07.2011, 10:54

Hómer89

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wow, super, sehr verständlich erklärt!
habs nun!
1000 dank
grüße

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