Schreibweise .../...

Neue Frage »

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise .../...
Hallo,

des Öfteren finde ich die Bezeichnung [latex].../...[/latex]. Bisher kenne ich sie nur von [latex]\mathbb Z/p\mathbb Z[/latex], das wohl soviel wie den Restklassenring [latex]\mathbb Z_p[/latex] angeben soll.

Nun würde es mich doch interessieren, was diese Bezeichnung im Allgemeinen beschreibt.

Könnte es vielleicht sein, dass es etwas mit Faktorgruppen zu tun hat?
Hier lese ich nämlich [latex]G/N := \{ gN : g \in G \}[/latex].

Vielen Dank
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt diese Faktorstruktur (so nennt man das) für verschiedene algebraische Strukturen. Am einfachsten ist sie wahrscheinlich für Vektorräume zu verstehen, denn dort kann man den Faktorraum zu jedem Unterraum bilden.

Es gibt prinzipiell 2 Möglichkeiten (die in Wirklichkeit die selben sind) den Faktorraum [latex]V/U[/latex] zu [latex]U \leq V[/latex] zu definieren.

1. Als Menge aller Nebenklassen: [latex]V/U := \{v+U | v \in V \}[/latex]

2. Als Menge der Äquivalenzklassen [latex]V/U := V/\sim[/latex] bzgl. der Äquivalenzrelation [latex]v \sim w :\Longleftrightarrow v-w \in U[/latex]. Wie sich schnell herausstellt sind die Äquivalenzklassen aber gerade die Nebenklassen.

Die Addition und Skalarmultiplikation ist sehr einleuchtend definiert:

[latex](v+U)+(w+U) := (v+w) + U[/latex]
[latex]\lambda(v+U) := \lambda v + U[/latex]

Jetzt wäre es dann z.b. deine Aufgabe zu zeigen, dass dies in der Tat ein Vektorraum definiert. Vorher muss man aber sicherstellen, dass diese Verknüpfungen überhaupt wohl definiert sind.

Dazu solltest du mal folgendes versuchen zu zeigen:
[latex]v+U = w+U \Longleftrightarrow v-w \in U[/latex]

Hier sieht man auch warum der Weg über die Äquivalenzrelation von Vorteil ist. Dann kriegt man diese Aussage nämlich geschenkt.
Aber es ist durchaus hilfreich, sich diese Äquivalenz mal nur mit Hilfe von Definition 1. zu überlegen.
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Dazu solltest du mal folgendes versuchen zu zeigen:
[latex]v+U = w+U \Longleftrightarrow v-w \in U[/latex]


Hier soll man bestimmt zunächst [latex]v+U=w+U\ \Rightarrow\ v-w\in U[/latex] zeigen.

Es bezeichnet also [latex]v+U[/latex] die additive Linksnebenklasse von [latex]U[/latex] unter [latex]v[/latex], analog [latex]w+U[/latex] die additive Linksnebenklasse von [latex]U[/latex] unter [latex]w[/latex].

Nun sind je zwei Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt...

[latex]v+U:= \{ v+u\mid u\in U  \}[/latex]
[latex]w+U:= \{ w+u\mid u\in U  \}[/latex]

Leider weiß ich nicht so recht, wie man anfangen soll ... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir doch einfach mal ein Elemente aus [latex]v+U[/latex]. Wie sieht solch ein Element aus? Und in welcher Menge (unter der Vorraussetzung [latex]v+U=w+U[/latex]) liegt solch ein Element noch?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Elemente von [latex]v+U[/latex] haben die Gestalt [latex]v+u[/latex] mit [latex]v\in V,~ u\in U[/latex].

Wenn die Gleichheit [latex]v+U=w+U[/latex] gilt, so liegen all diese Elemente auch in [latex]w+U[/latex].

Aber ist dann nicht auch [latex]v=w[/latex] ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Alle Elemente von [latex]v+U[/latex] haben die Gestalt [latex]v+u[/latex] mit [latex]v\in V,~ u\in U[/latex].


Genau.

Zitat:
Original von Pascal95
Wenn die Gleichheit [latex]v+U=w+U[/latex] gilt, so liegen all diese Elemente auch in [latex]w+U[/latex].

Auch richtig. Welche gestalt hat solch ein spezielles Element also auch noch?

Zitat:
Original von Pascal95
Aber ist dann nicht auch [latex]v=w[/latex] ?

Nein das folgt sicher nicht.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dann ist also [latex]v+u=w+u\quad\forall v,w\in V,~ u\in U[/latex] (?).
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht jetzt wirklich gar keinen Sinn. Wie soll das denn für alle v,w,u gelten? Das geht doch überhaupt nicht.

Wir sollten uns mal ordnen:

Es fing an ein beliebiges, aber festes Element aus [latex]v+U[/latex] zu wählen.

Also: Sei [latex]x \in v+U[/latex].

So jetzt nochmal: Welche Darstellung(en) hat x?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]x \in v+U\ \Rightarrow\ x\in w+U[/latex].

Also gibt es ein [latex]u\in U[/latex], sodass [latex]x=v+u=w+u[/latex] ?

Mit "beliebig, aber fest" meinst du, dass man es sich zwar aussucht, aber dann bei diesem Element bleibt und nachher nicht mehr wechselt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Also gibt es ein [latex]u\in U[/latex], sodass [latex]x=v+u=w+u[/latex] ?

Da steckt nämlich der Übeltäter.

Gegenfrage von mir: Gibt es irgendeinen Grund dafür, dass da auf beiden Seiten der Gleichung das selbe u steht?

Zitat:
Original von Pascal95
Mit "beliebig, aber fest" meinst du, dass man es sich zwar aussucht, aber dann bei diesem Element bleibt und nachher nicht mehr wechselt?


Genau.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das erwartet ja niemand.

[latex]v+U[/latex] bezeichnet ja nur die Menge aller Elemente [latex]v+u[/latex] mit [latex]u\in U[/latex].

Also: Sei [latex]x \in v+U[/latex].
Dann gibt es ein [latex]u_1\in U[/latex], sodass [latex]x=v+u_1[/latex]
Es gibt noch ein möglicherweise anderes [latex]u_2\in U[/latex], sodass [latex]x=w+u_2[/latex].


Nochmal zur Sicherheit:
Es bezeichnet also [latex]v,w[/latex] Elemente aus [latex]V[/latex], [latex]u[/latex] kommt aus [latex]U[/latex].
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Dann setz doch jetzt einfach mal die beiden Darstellung für x gleich und erinnere dich dann nochmal daran, was wir überhaupt zeigen wollten. Dann steht es nämlich eigentlich schon da.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeigen wollten wir, dass [latex]v+U = w+U \Longleftrightarrow v-w \in U[/latex].
Eigentlich zunächst nur "[latex]\Rightarrow[/latex]".

Man kann also schreiben:
[latex]v+u_1&=&w+u_2[/latex]

Darf man jetzt schreiben
[latex]v-w&=&u_2-u_1[/latex] ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst du. Grob gesagt kann man in Vektorräumen (allgemein in jeder additiven abelschen Gruppe) mit + und - rechnen als wären es ganze normale Zahlen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ist es nun richtig, so zu folgern:

[latex]u_2-u_1[/latex] ist natürlich aufgrund der Abgeschlossenheit in [latex]U[/latex].

Dann auch [latex]v-w[/latex].

Genau das wollte man zeigen.

?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Damit wäre die Richtung ja schonmal gezeigt.

Es geht übrigens noch einfacher:

Wegen [latex]0 \in U[/latex] ist [latex]v \in v+U[/latex], also [latex]v \in w+U[/latex].

Also gibt es ein [latex]u \in U[/latex] mit [latex]v=w+u[/latex], woraus das Gewünschte auch folgt.

Aber didaktisch war wohl der "längere" Weg sinnvoller, da wir jetzt immerhin schonmal das Missverständnis ausgeräumt haben, dass es immer dasselbe u ist.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

danke sehr.

Nun die andere Richtung [latex]v+U=w+U\ \Leftarrow\ v-w\in U[/latex]

Es gilt ja, dass zwei Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt sind (?)
Darf ich das benutzen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte ich das dir verbieten können?

Wenn du es weißt, dann benutze es doch. smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber so wirklich wüsste ich hier auch nicht, fortzufahren...

Darf man denn allgemein folgern [latex]v-w\in U\Rightarrow v\in U\land w\in U[/latex]?

Ich glaube mal ja.

Aber selbst das würde ja nicht [latex]v+U=w+U[/latex] implizieren...
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Darf man denn allgemein folgern [latex]v-w\in U\Rightarrow v\in U\land w\in U[/latex]?

Da tmo gerade nicht antwortet: Nein.

Betrachte [l]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/l] und [l]v=w=1[/l].

Dann ist [latex]v-w = 0 \in U[/latex], aber [latex]v\notin U \land w\notin U[/latex].

Pavel
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du [latex]U=\mathbb Z/2\mathbb Z=\{0,1\}[/latex].

Es ist [latex]1-1=0\in\mathbb Z/2\mathbb Z[/latex].
Und es ist [latex]1\in\mathbb Z/2\mathbb Z[/latex].

Also ist [latex]v\in \mathbb Z/2\mathbb Z\land w\in\mathbb Z/2\mathbb Z[/latex].
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »