Determinante

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edi Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Meine Frage:
Hi,

die Aufgabe lautet: A eine nxn Matrix, B eine mxm Matrix. Wir definieren eine (n+m)x(n+m)-Matrix durch



Zeigen Sie, dass .

Meine Ideen:
Unter Wikipedia gibt es einen Beweis, den ich leider nicht verstehe. Ich würde mich freuen, wenn ich mit jemandem diesen Beweis durchgehen könnte. Der Beweis ist sehr kurz, wikipedia-determinante dann unter Blockmatrizen. Es wird gesagt, dass alles aus dem verallgemeinerten Entwicklungssatzt folgt. Genau da hängts, weil ich unter verallgemeinerter Entwicklungssatz nichts finde.

gruß edi
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch versuchen den Entwicklungssatz irgendwie zu umgehen. Natürlich würde es mit diesem gehen, aber schön ist irgendwie anders.

Kennst du denn schon die entsprechende Regel für die Matrixmultiplikation?

Also z.B., dass gilt.

Dann könntest du z.b. sowohl A und B mit einer Konjugation auf Trigonalform (Wir rechnen einfach im Komplexen) bringen und dann folgt die Behauptung daraus, dass die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonalargumente ist.
edi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das Produkt ist klar. Ich weiß nicht wie du mit der Konjugation von A und B auf die Trigonalform kommst!?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn schon was Trigonalisierbarkeit bedeutet?
edi Auf diesen Beitrag antworten »

nicht ganz...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wirs das wohl mit dem Ansatz nix. Aber wir können das umgehen.

Zunächst können wir davon ausgehen, dass A invertierbar ist.
Denn ist das nicht der Fall, so sind die Spalten von A schon linear abhängig und dann sind auch die zugehörigen Spalten von der gesamten Matrix linear abhängig, da unter A ja nur 0en stehen. Dann sind also beide Determinanten 0 und alles passt.

Nun wendest du den Gauß-Algorithmus auf die ersten n Zeilen der Matrix an und bringst A so auf eine Dreiecksgestalt.
Dabei ändert sich die Determinante von A nicht und natürlich auch nicht die der Gesamtmatrix.
Evlt. musst du dazu Zeilen vertauschen, aber das macht gar nix, denn dabei ändert sich die Determinante von A und die der gesamten Matrix gleichermaßen nur um ein Vorzeichen.
Aber das Entscheidene bei dieser Überlegung: Der Block B bleibt dabei völlig unangetastet.

D.h. wir können den allgemeinen Fall auf den Fall zurückführen, dass A Dreiecksgestalt hat. Und dann sollte der Beweis eigentlich kein Problem mehr darstellen. Zur Not eine kleine Induktion über n (die Größe von A)
 
 
edi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir smile
bafla13 Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich bearbeite die gleiche aufgabe,
könnte jemand das anders erklären oder ein kleines beispiel zeigen bitte da ich das nicht ganz verstehe :S
danke
bafla13 Auf diesen Beitrag antworten »

hat keiner idee davonunglücklich bitte
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dass zwischen halb 1 und 4 Uhr nachts keine Antwort kam, wundert mich irgendwie nicht. Also nicht drängeln Lehrer

Was genau verstehst du denn an dem Ansatz nicht?
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