"fast sicher" impliziert "stochastisch"

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
"fast sicher" impliziert "stochastisch"
Meine Frage:
Hallo, ich würd gern folgenden Beweis verstehen für die Aussage, dass "fast sicher konvergent" impliziert, dass "stochastisch konvergent".



Meine Ideen:
Wir hatten folgende Definitionen:

1. stochastisch konvergenz:

reelle ZV, man sagt konvergiert stochastisch gegen , wenn
für und alle

2. fast sicher konvergent:

Dasselbe wie oben; man sagt konvergiert fast sicher gegen , wenn



So und jetzt soll ich zeigen, dass aus 2. impliziert, dass 1. gilt.


Im Georgii finde ich folgenden Beweis dazu, den ich nicht so recht verstehe:

Beweis:

Für jedes gilt:



wobei das vor dem letzten für unendlich viele k gilt und der zweite Schritt aus der Stetigkeit des W.-Maßes.


Ich komme da nicht mit!

Kann mir jemand die Schritte erklären, also wie man darauf kommt?

Das erste gilt m.E. wegen der Monotonie des W.-Maßes, weil das linke eine Teilmenge des rechten ist.

Aber die anderen Schlüsse verstehe ich iregendwie nicht.
Gilt das letzte weil ja die unendlichen somit zu den Zufallsvariablen gehören (also Teilmenge sind), die nicht gegen konvergieren (oder?)?

Und da n.V. fast sichere Konvergenz herrscht, kommt am Ende doch Null heraus, wenn man das punktweise sieht, denn das ist dann ja gerade das Gegenereignis der Definition der fast sicheren Konvergenz, oder? Und somit ist die Behauptung gezeigt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "fast sicher" impliziert "stochastisch"
Ich glaube, das ist an sich relativ einfach, wenn man erstmal die Konvergenzbegriffe auseinanderhalten kann.

Bei der fast sicheren Konvergenz geht es ja sozusagen um die Realisationen der Zufallsvariablen bzw. deren Limes, während es bei der stochastischen Konvergenz ja darum geht, dass die Wahrscheinlichkeit des Abstandes zwischen den Zufallsvariablen und dem Grenzwert gegen 0 bzw. 1 strebt.

Es ist ja nun vorausgesetzt, dass die fast sicher gegen konvergieren, das bedeutet ja:

.

Und nun soll man ja zeigen, dass hieraus die stochastische Konvergenz folgt. Man kann dafür ja beispielsweise zeigen, dass und genau das wird ja hier gemacht.

Man fängt also an, indem man einfach mal betrachtet, also die , für die die vorausgesetzte Konvergenz quasi nicht gilt.

Bevor man das ganze nun gegen Unendlich laufen lässt, bildet man das Supremum wie oben aufgeschrieben. Dann ist natürlich die Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes gefragt und man kann das erste aufschreiben. Korrekt?

Dann lässt man endlich n gegen Unendlich laufen, dann laufen auch die k gegen Unendlich und man hat für unendlich viele k gerade die (Realisationen der( Zufallsvariablen, die nicht gegen konvergieren, also das Gegenereignis, das also die Wahrscheinlichkeit 0 hat.

Das letzte ist mir immer noch nicht sooo ganze klar, aber ich denke mal das soll einfach nur andeuten, dass die unendlich vielen sozusagen zu den (unendlich vielen) gehören, die grade nicht gegen konvergieren und daher Wahrscheinlichkeit 0 haben.



Ist da so in etwa richtig? Ist sicherlich etwas schwammig teilweise formuliert.
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Zum zweiten Schritt: Die Suprema fallen, daher kannst Du stetigkeit des Maßes nutzen und den limes reinziehen. Jetzt muss Dir nur noch klar sein, was lim sup ist.

Mich wundert gerade ein bisschen, dass das mit dem "unendlich viele k" nicht im P steht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum fallen die Suprema? Weil die n.V. gegen Y konvergieren?

PS. Das stand dort in der Klammer bei dem P mit drin, ich wusste nur nicht, wie ich das aufschreiben kann.
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber enorm wichtig!!! Big Laugh sonst macht das ganze keinen Sinn und verwirrt mich komplett Big Laugh .



ist trivial! Wieso?

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die ja gegen Y gehen nach Voraussetzung und die Abstände daher immer kleiner werden.

Also ich bin jetzt so weit:



Das erste gilt wegen der Monotonie des W.-Maßes und wenn man das nun gegen Unendlich laufen lässt, gilt



Jetzt fehlt mir noch das letzte .


Wo kommt das her?

Ich nehme an daher, dass ja der Grenzprozess der Suprema enthalten ist im Grenzprozess der gesamten bzw. damit identisch ist, also Teilmenge ist (Monotonie des W.-Maßes).
 
 
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung ist falsch. Es gilt für vollkommen beliebige Zahlen in :

Das solltest Du Dir klarmachen.

Zum letzten ungleich:

finde heraus, was "unendlich oft" zu tun hat und folgere, dass der Abstand nicht unendlich oft sein kann, wenn wir fast sicher konvergieren.

lg
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok der Beitrag war ein bisschen müllig und schwer verstehbar. So besser:

Zitat:
Original von Mecky
Die Begründung ist falsch. Es gilt für vollkommen beliebige Zahlen in :

Das solltest Du Dir klarmachen.

Zum letzten Ungleich:

finde heraus, was mit "unendlich oft" zu tun hat und folgere, dass der Abstand nicht unendlich oft sein kann, wenn wir für ein konvergieren.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Will gerne versuchen, drauf zu kommen, im Moment versteh ich aber nur Bahnhof.


Edit:

Meinst Du vllt., dass der Limes superior hier gleich dem Limes ist (der ja existiert)?

Also =Y? verwirrt
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, hier fehlt Dir scheinbar einiges an Analysis Augenzwinkern :

Also zunächst einmal ist die Ungleichung trivial, weil einfach über mehr k's das sup gebildet wird.

Dann ist limsup der größte Häufungspunkt, das heißt für unendlich viele k gilt

, was nicht geht, wenn gegen konvergiert.

lg smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das letzte leider immer noch nicht:

Wie kommt man auf:

?


Edit:


ist doch, wenn man sich mal die Definition davon ansieht:



Und das ist , wobei k da unendlich viele Werte annimmt.

So und nun erkläre ich mir das letzte in dem obigen Beweis so, dass ja, wenn k sozusagen gegen Unendlich geht (bzw. unendlich viele Werte annimt) und man davon ausgeht, dass fast sichere Konvergenz vorliegt, , da und das ganze ja gegen strebt.

Also



Was Anderes weiß ich dazu nicht mehr.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem letzten Edit habe ich mir nochmal selbst ein paar Gedanken gemacht bzw. versucht, den obigen Beweis aus Georgii zu verstehen.

Kann mir jemand sagen, ob das stimmt?
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »



Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du da ein paar Worte zu sagen?

Soll das die Erklärung für das letzte sein?
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Instantanantworten helfen Dir nicht weiter, da hat Dich erst neulich jemand belehrt. smile
Und natürlich soll es das erklären smile .

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fasse nochmal zusammen:

Der Limes superior ist für unendlich viele k.

Und die , für die gilt, bilden eine Teilmenge derjenigen , für die n.V. gilt, dass .

Also Monotonie des W.-Maßes anwenden und es folgt die Behauptung...


Vor ein paar Beiträgen sagtest Du mal was von, da es der größte Häufungswert ist, kann das mit dem größer gleich Epsilon nicht gelten...

Warum hattest Du das erwähnt? Ich meine, wo braucht man das hier in dem Beweis? Oder sollte das nur eine andere Erklärung dafür sein, dass der Abstand kleiner Epsilon sein muss?
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

limes superior =größter häufungspunkt
--> unendlich viele größer eps

das sollte dich einfach nur auf den zusammenhang "lim(sup)" <-->"unendlich oft" bringen
miriop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo smile

Kann ich das nicht auch so beweisen:



Da wir ja wissen, dass fast sichere Konvergenz vorliegt. Hier müsste im vorletzen Schritt noch ein Limes für n gegen unendlich eingebaut werden smile

Geht das oder mache ich es mir zu leicht?
Und wenn nein, wo ist der Fehler?

Schon mal Danke für ein kurzes Feedback.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »