Galoisgruppe: direkt oder semidirekt

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe: direkt oder semidirekt
Von 2 so harmlos aussehenden Polynomen soll die Galoisgruppe bestimmt werden. Vergleiche Galois trivial [KAB]





Zunächst faktorisiere ich die Polynome über C:





Feststellungen:

=> f ist reduzibel über Q
=> g ist irreduzibel über Q

Welchen Einfluss hat das nun?

Kann ich im ersten Falle die Körpererweiterung in Etappen machen und sagen - dabei sei L der Zerfällungskörper von f1. Es sich ergibt sich insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad 4 mit Minimalpolynomen und und



Dabei ergibt sich der Isomorphietyp aus der transitiven Operation auf jeweils einer 2-elementigen Nullstellenmenge. (?)

Alternativ müßte man zu einer beliebigen Permutation der Nullstellen prüfen, ob der dazugehörige Automorphismus auf dem Grundkörper die Identität ist. Beispiel
______

Im zweiten Fall ist g schon irreduzibel über Q. Aut(g|Q) wirkt transitiv auf den 4 Nullstellen. Man weiß erst mal nur, dass es eine transitive Untergruppe der S4 ist. Den Grad der Körpererweiterung kann man hier nun aber auch bestimmen. Mit und ergibt sich eine Erweiterung vom Grad 8. Es ist 4!=2³*3 und daher ist die gesuchte Gruppe eine 2-Sylowgruppe in der S4. Daher gibt es nur einen möglichen Isomorphietyp (p-Sylowgruppen sind konjugiert). Nun weiß man entweder, dass es die D8 ist oder...

Wie kann G nun auf den Nullstellen operieren? 2 sind komplex konjugert (Grundkörper bleibt fix unter komplexer Konjugation). Bei entsprechender Nummerierung also . Testet man nun, ob z.B. auch (1234) drin ist? Man bekommt keinen Widerspruch zu Q muss fix bleiben. Daher auch . Damit haben wir eine (zyklische) Untergruppe der Ordnung 4. Somit ist sie vom Index 2 in G, also Normalteiler. Der Schnitt mit der Untergruppe <(24)> ist trivial. Die muss nun aber noch nicht Normalteiler sein. Wie operiert <(24)> auf <(1234)> bzgl. Konjugation? Dazu muss man sich nur



anschauen. Damit bekommt man ein Semidirektes Produkt und das ist dann die D8.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galoisgruppe: direkt oder semidirekt
Hallo,

Zitat:
Original von tigerbine
Testet man nun, ob z.B. auch (1234) drin ist? Man bekommt keinen Widerspruch zu Q muss fix bleiben.

Könntest du genauer sagen, wie du beweist, dass (1234) in der Galoisgruppe liegt? Es kommt ja jedenfalls auf die Nummerierung an, da die Galoisgruppe nicht alle 4-Zykel enthält.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galoisgruppe: direkt oder semidirekt






So dürfte es doch zu keinem Widerspruch in Q kommen.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kenne ich die Methode nicht, die du anwendest. Aber ich sehe noch nicht, wie jetzt folgt, dass für dieses gilt und
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es war ein Versuch, keine Methode. Zumindest hielt die Permutation dem "Fix auf Q" Angriffpunkt stand, oder?

Wie würdest du denn einen 4er-Zykel finden, suchen, oder die Galoisgruppe bestimmen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zumindest hielt die Permutation dem "Fix auf Q" Angriffpunkt stand, oder?

Auf wird doch sowieso als Identität definiert.

Zitat:
Wie würdest du denn einen 4er-Zykel finden, suchen, oder die Galoisgruppe bestimmen?

Wenn L der Zerfällungskörper von g ist, dann ist eine zyklische Erweiterung vom Grad 4, denn die Erweiterung ist von erzeugt und daher ist diese Galoisgruppe von mit erzeugt.
hat also Ordnung 4. Sei die Einschränkung der komplexen Konjuation auf den Zerfällungskörper. Dann hat Ordnung 2 und es gilt wie man feststellt, indem man die beiden Elemente i und einsetzt, die die Erweiterung erzeugen.
Da und zusammen die 8-elementige Galoisgruppe von g erzeugen, muss diese zu isomorph sein, wobei (mit deiner Nummerierung) tatsächlich dem Zykel und dem Zykel entspricht.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das wie hier: Galoisgruppe bestimmen [SÜA] Das Problem sollte nicht auftreten, so wie ich die Bilder definiert habe.

Den Rest von dir lese ich noch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Also man kann erst i adjungieren, weil der nichtrationale Faktor auch von i separiert als Nullstelle auftritt? Dann hätte man als Zwischenkörper Q(i). Über dem soll nun die Wurzel noch adjungiert werden. Es ist dann g das Mininmalpolynom über Q(i) dieser Erweiterung.

Die Erweiterung L|Q(i) ist galoisch [endlich, separabel, normal]. Aber woher weißt du, dass sie zyklisch ist?

Zitat:
denn die Erweiterung ist von erzeugt


Was heißt das? Ich hätte nur gesehen, dass es eine Erweiterung mit primitivem Element ist. Das Minimalpolynom ist ein reines Polynom. Da der Grundkörper nun Q(i) ist und i eine primitive 4-te Einheiteswurzel ist und in Q(i) liegt, folgt dass die Galoisgruppe L|Q(i) zyklisch ist. Habe ich das so richtig verstanden?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich meinte das wie hier: Galoisgruppe bestimmen [SÜA] Das Problem sollte nicht auftreten, so wie ich die Bilder definiert habe.

So kann man manchmal feststellen, dass eine gegebene Permutation nicht zur Galoisgruppe gehört: Wenn eine richtige algebraische Gleichung für die Nullstellen in eine falsche übergeht, wenn man die Permutation anwendet. Um mit diesem Ansatz zu beweisen, dass eine Permutation in der Galoisgruppe liegt, müsste man ja zeigen, dass so nie ein Widerspruch auftreten kann - das stelle ich mir eher schwierig bzw. unpraktisch vor.

Zitat:
Also man kann erst i adjungieren, weil der nichtrationale Faktor auch von i separiert als Nullstelle auftritt?

Da i im Zerfällungskörper liegt: ,ist ein Zwischenkörper. Allgemein enthält der Zerfällungskörper jedes reinen Polynoms die n-ten Einheitswurzeln (hier n=4).

Zitat:
Die Erweiterung L|Q(i) ist galoisch [endlich, separabel, normal]. Aber woher weißt du, dass sie zyklisch ist?

L wird über Q(i) von der 4. Wurzel aus 2 erzeugt. Denn L ist ja auch über Q(i) der Zerfällungskörper von und hat man die eine Nullstelle im Erweiterungskörper, dann auch die anderen, da i im Körper liegt.
Da die Erweiterung also einfach ist, entsprechen die Homomorphismen der Galoisgruppe den Möglichkeiten, das erzeugende Element auf seine Konjugierten abzubilden: und Oder anders geschrieben mit k=0,1,2,3. entspricht k=1. usw. Also entspricht der Nullstelle mit k=l und erzeugt die Galoisgruppe.
Wiederum lässt sich das direkt auf beliebige reine Gleichungen (über ) vom Grad n verallgemeinern, statt i hat man dann eine primitive n-te Einheitswurzel.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Langsamer bitte.
Also man hat ein reines Polynom. Die Nullstellen sind Einheitswurzeln. Nun schaut man, ob eine primitive Einheitswurzeln schon im Körper liegt.

=> Ja => zyklische Gruppe nein. Z.B.

=> keine Aussage bzgl. zyklisch. Z.B.

Zum Fall (i) gibt es einen Satz. Ich nehme an, mit dessen Beweisstruktur hast du geantwortet?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Langsamer bitte.
Zitat:
Original von tigerbine
Also man hat ein reines Polynom. Die Nullstellen sind Einheitswurzeln.

Die Nullstellen von sind die Elemente (k=0,1,..,n-1) wenn eine primitive n-te Einheitswurzel ist und eine beliebig gewählte Nullstelle von

Die Erweiterung ist immer zyklisch. Für das Beispiel x^4-2 über Q habe ich das eben bewiesen, ja. Die Aussage nützt einem auch etwas, wenn nicht schon ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Langsamer bitte.
Sorry, bei dem reinen habe ich ungenau formuliert.

Ich denke, wir meinen den gleichen Satz. Du hast den Beweis noch ausgeführt, so ganz verstanden habe ich ihn noch nicht. Muss da noch mal drüber brüten.

Danke.
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