Komplexe Gleichung berechnen

08.07.2011, 23:40

frostkrieg

Komplexe Gleichung berechnen

Moin,

also folgende Aufgabe: Berechnen Sie die komplexe Gleichung

$\begin{eqnarray*} (-1+2j)z^3+18-36j=45-90 \end{eqnarray*}$

In der Form z=a+bj

So als erstes hab ich jetzt mal folgendes gemacht

$\begin{eqnarray*} (-1+2j)z^3-27+54j=0 \end{eqnarray*}$

So um die Gleichung lösen zu können brauch ich ja quasi ne Form wie ne quadratische gleichung mich stört das $\begin{eqnarray*} (-1+2j)z^3 \end{eqnarray*}$ hier jetzt erstmal und ich komm jetzt grad nicht drauf wie ich das sinnvoll umformen kann das ich weiterrechnen kann.

09.07.2011, 08:23

lgrizu

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RE: Komplexe Gleichun berechnen
Als erstes würde ich einmal z³ isolieren, also das ganze umformen zu einer Gleichung der Form z³=.....

Wähle dazu geeignete Äquivalenzumformungen.

09.07.2011, 09:33

frostkrieg

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RE: Komplexe Gleichun berechnen
Okay ergibt

$\begin{eqnarray*} z^3=(27-54j)/(-1+2j) \end{eqnarray*}$

um den Bruch wegzubekommen muss ich doch dann mit dem nenner erweitern? oder soll ich erst die 3. Wurzel ziehen?

09.07.2011, 17:28

lgrizu

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RE: Komplexe Gleichun berechnen
Bei Brüchen, die komplexe Nenner und Zähler haben sollte man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern, damit man im Nenner keinen Imaginärteil mehr stehen hat.

10.07.2011, 18:02

frostkrieg

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Okay also ich bin jetzt soweit und habe folgendes Ergebnis

$\begin{eqnarray*} z^3 =(81/5) +(108j/5j) \end{eqnarray*}$

Allerdings soll ich es halt in der form z=a+bj angeben d.h. ich soll noch die wurzel ziehen allerdings steh ich da nun wirklich aufm schlauch..

10.07.2011, 19:09

frostkrieg

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Okay also ich ab folgende formel gefunden http://www.physik-multimedial.de/cvpmm/s...wurzelimgc.html

allerdings stellt sich mir da die frage was alpha ist.
in dem bsp ist alpha=pi

10.07.2011, 19:28

polynom2007

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Hi,

ausklammern machts hier leichter.
Zunächst deine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} z^3=(27-54j)/(-1+2j) \end{eqnarray*}$
jetzt umklammen:
$\begin{eqnarray*} z^3=-27(-1+2j)/(-1+2j) \end{eqnarray*}$
iefert:
$\begin{eqnarray*} z^3=-27 \end{eqnarray*}$
-1 kann man darstellen als $\begin{eqnarray*} e^{i\pi} \end{eqnarray*}$
27 kann man darstellen als $\begin{eqnarray*} 27e^{i2\pi k} \end{eqnarray*}$ wobei k=1,2,3,4,5...
mit dem k veränderst du nix, du drehst den zeiger immer nur um $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ in der komplexen Ebene weiter.
-27 ergibt somit $\begin{eqnarray*} 27e^{i2\pi k}e^{i\pi} \end{eqnarray*}$
zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} z^3=27e^{i\pi(2k+1)} \end{eqnarray*}$
jetzt nur noch die dritte Wurzel gezogen und du hast das Ergebnis von
$\begin{eqnarray*} z_{k_i}=3e^{i\pi(2k+1)/3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_i=1,2,3 \end{eqnarray*}$
Schau dir das nochmal in der Komplexen Ebene an

10.07.2011, 19:54

frostkrieg

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hmm okay werd mich da mal durchwurschteln...

10.07.2011, 21:35

lgrizu

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@polynom:

Jetzt ist es sinnlos, die Lösung von dir zu entfernen, da frostkrieg sie bereits gelesen hat, ich rate dir aber dazu, dir einmal das Boardprinzip durchzulesen:

Zitat:

Prinzip - Mathe online verstehen!

Das MatheBoard soll Schülern, Studenten und anderen Interessierten beim Verstehen der Mathematik helfen. Es soll "Hilfe zur Selbsthilfe" gegeben werden. Diese sollte aus Tipps und Hinweisen bestehen, so dass der Fragesteller den Stoff versteht und seine Aufgaben dann selbst bearbeiten kann.

Komplettlösungen
Es ist in aller Regel nicht sinnvoll, dem Fragesteller einfach komplette Lösungen hinzuschreiben oder selbst nach Komplettlösungen zu fragen! Das MatheBoard-Team behält sich daher das Recht vor, Komplettlösungen mit *** zu editieren.

Wenn so etwas von einem Mopderator frühzeitig gelesen wird, wird es entfernt, ich bitte dich darum, dich in Zukunft an unser Prinzip zu halten.

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