inverse Polynom im Körper bilden

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09.07.2011, 13:39	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
inverse Polynom im Körper bilden Meine Frage: Hallo liebe Community, meine Frage lautet folgendermaßen: Gesucht ist ein Polynom g(x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K mit $\begin{eqnarray} (x^{3} + 1) \end{eqnarray}$ * g(x) = 1 . p(x) := $\begin{eqnarray} x^{4} + x + 2 \end{eqnarray}$ ist irreduzibel uber GF(3) (sogar primitiv). Wir rechnen im Korper K := GF(3)[x]/p(x). Meine Ideen: Liege ich jetzt falsch mit der Annahme das ich eigentlich das Inverse zu $\begin{eqnarray} (x^{3} + 1) \end{eqnarray}$ erhalten möchte? Eigentlich nicht, oder? So dann habe ich mir gedacht ich nutzte den erweiterten euklidischen Algorithmus, aber denke da liegt mein Fehler. Ich wollte jetzt anfangen $\begin{eqnarray} x^{4} + x + 2 : (x^{3} + 1) \end{eqnarray}$ zu teilen und würde als Ergebnis x erhalten und den Rest 2. Und komme somit auf folgendes: $\begin{eqnarray} x^{4} + x + 2 = x(x^{3} + 1)+2 \end{eqnarray*}$ doch wie muss ich nun weitermachen? Theoretisch würde man ja jetz das in Klammern durch den Rest teilen nur macht sich das jetzt schlecht. Wahrscheinlich hab ich irgendwo einen Denkfehler... Dann schonmal Vielen dank für Eure Hilfe, ich probier und probier und komm einfach nicht weiter. Evtl hätte auch jmd ein anderes Beispiel, im GF(2) oder GF(3), mit dem inversen Ergebnis dazu, damit ich prüfen kann wie ich drauf komme.
09.07.2011, 16:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne P=(x³+1)(ax³+bx²+cx+d)=1 unter der Nebenbedingung x^4=2x+1. Koeffizientenvergleich liefert das Inverse zu x³+1.
09.07.2011, 19:07	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich dies den berechnen? kannst du mir da einen hinweis geben bitte ^^ Und koeffizientenvergleich was meinste genau damit ? Sry glaub ist heute u.a. absolut nicht mein tag Und meine idee geht gar nicht da brauch ich mich ja nicht wundern ^^ Vielen dank für hifle schonmal ^^!
09.07.2011, 21:15	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte jetzt folgendes probiert: (x³+1)(ax³+bx²+cx+d) = ax²(2x+1)+bx(2x+1)+dx³+ax³+bx²+cx+d wenn ich die nebenbedingung beachte. nun dachte ich mir ausklammern und komme auf: 2ax³+ax²+2bx²+bx+dx³+ax³+bx²+cx+d sind dann nun beim koeffizientenvergleich a=2 b=2 & c=1 d=1? wenn ja wäre dann nun das inverse 2x³+2x²+x+1? wenn ich das jetzt mit der ausgangsformel x³+1 multipliziere müsste ich ja 1 rausbekommen nur bekomm ich das gerade nicht heraus ^^ Brauche nochma hilfe von jemanden ^^
10.07.2011, 12:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist prima (kommt ja auch von mir ) , aber die Durchführung ist noch nicht perfekt. 0. Die Nebenbedingung x^4=2x+1 ist gleichbedeutend mit x^4+x+2=0. 1. Du hast das cx^4 vergessen. 2. Vor dem Koeffizientenvergleich musst du nach Potenzen von x sortieren. 3. Beachte 3=0 in GF(3) 4. Beim Koeffizientenvergleich müssen alle Koeffizienten von x^3 bis x gleich 0 sein, denn das Produkt ist gleich 1.
10.07.2011, 13:22	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
0. das war mir auch bewusst^^ 1. Flüchtigkeitsfehler würde ich das jetzt mal nennen 2.&3. klar habe gerade erst gesehn das man das ja zusammenfassen könnte und somit 3ax³ erhält und dadurch a,b,c = 0 werden. 4. nur wenn jetzt alle Koeffizienten 0 sind wie kann ich daraus das inverse ablesen? Ich habe ja gerade noch folgende sachen: 2ax³+ax²+2bx²+bx+2cx+c+dx³+ax³+bx²+cx+d = dx³+ax²+bx+c+d, da ja a,b,c = 0 sind wäre nur noch dx³ + d über oder hab ich da gerade einen denkfehler? und dies würde dem x³+1, der ausgangsformel, entsprechen Hä? ^^ Aber definitiv vielen dank für deine Ausdauer und deine Hilfe! EDIT: Kann es sein, dass das inverse x³+x²+x+2 ist? (jeden koeffizienten mal als 1 interpretiert aus der formel dx³+ax²+bx+c+d). Wenn ich nun nämlich polynomdivision (x³+1) : (x³+x²+x+2) durchführe, komme ich am ende auf den rest 1, wenn ich mich nicht verrechnet habe .
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10.07.2011, 14:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung stimmt, aber der Koeffizientenvergleich nicht. Es ist d=a=b=0, also c=1. Somit ist x das Inverse, und das passt.
10.07.2011, 15:50	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie seh ich das jetzt? Ich seh das gerade nicht wo ich das erkenne das c=1 ist und dafür aber d = 0?
10.07.2011, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
dx³+ax²+bx+(c+d)=1 , also d=0 (wegen dx³=0x³), a=0 (wegen ax²=0x²), b=0 (wegen bx=0x), also c=1 (weil d=0).
11.07.2011, 00:51	PiQ	Auf diesen Beitrag antworten »
Hihi is ja cool! Vielen Dank Elvis. Danke das du lebst Dann ist das ja aber fast klar das ich die Aufgabe in der Prüfung nicht hinbekam

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