Fixpunkt und welches x=g(x) ist dafür geeignet

09.07.2011, 15:42

wurmi86

Fixpunkt und welches x=g(x) ist dafür geeignet

Hallo Zahlenfans,
ich hatte zwar schon mal eine Fixpunktfrage und hatte es zu dem Zeitpunkt verstanden aber jetzt hats mich wie vom Blitz getroffen, weil ich es nciht mehr verstehe

es geht um folgendes. (sind zwei verschiedene sachen)
wie komm bekomme ich für die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{x}+x-2 \end{eqnarray*}$ eine geeignete iterirfähige Form x=g(x)?

also der Simple Fall $\begin{eqnarray*} x=-e^{x}+2 \end{eqnarray*}$ ist es seltsamerweise nicht, weil ich beim testen der Intervallgrenzen [0,0.9] nicht wieder in diesem Intervall lande. (hatte es so gelernt, dass ich immer in dem Intervall landen muss).. und hier enden auch die ideen. kann mir hierbei jemand helfen?

und wehwehchen Nummer 2:

in einer Übung war $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}-e^{2x} = 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Intervall = [-0.7,-0.4]
und drei Funktionnen die ich zum Iterieren benutzen soll(eine davon ist nur geeignet)

diese sind $\begin{eqnarray*} g_{1}(x)=\sqrt{e^{2x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{2}(x)=ln(x^{2})/2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g_{3}(x)=-e^{x} \end{eqnarray*}$

die ersten zweiten kann ich mir schon herleiten, diese sind aber nicht geeignet zum iterieren.
die letzte ist offensichtlich zum iterieren geeignet, aber ich hab absolut keine ahnung wie man darauf kommen soll...

erbitte auch hier um HIlfe

MfG Wurmi

[Edit] also problem 1 ist gelöst... x= ln(2-x)

09.07.2011, 16:07

tigerbine

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RE: Fixpunkt und welches x=g(x) ist dafür geeignet

Ist der Fixpunkt denn anziehend?

[WS] Fixpunktiterationen

Und eigentlich ist es nicht verwunderlich. Denn wenn es immer klappen würde, würde das doch bedeuten, dass man für jede beliebige Iterationsvorschrift Typ x=.... eine konvergente Folge bekommt. verwirrt

09.07.2011, 16:12

wurmi86

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RE: Fixpunkt und welches x=g(x) ist dafür geeignet
dankeee,
also grafen hab ich alles schon angeschaut. es geht echt nur darum auf diese Form zu kommen..

also da ich den Begriff "Anziehend" noch nie gehört habe, ist es wohl nicht wichtig(hoffe ich jedenfalls)

lässt sich eventulle etwas mit der p-q Formel für Quadratische Gleichungen anstellen?

09.07.2011, 20:24

Dopap

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wenn ich mich rechtig erinnere, dann sollte im Intervall das Maximum des Betrages der Ableitung von g(x) kleiner 1 sein.

Sonst kriegt man keine "Spirale" oder eine verjüngende "Treppe".

09.07.2011, 20:48

tigerbine

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RE: Fixpunkt und welches x=g(x) ist dafür geeignet

Zitat:

Original von wurmi86
also da ich den Begriff "Anziehend" noch nie gehört habe, ist es wohl nicht wichtig(hoffe ich jedenfalls)

Würde dann eher meinen, dass du zu wenig von dem Thema gehört hast....

Zu Fixpunktiterationen gibt es Sätze, zum Beispiel den von Banach. Da sollten einem dann schon mehr Ideen kommen.

Aber auch generell, wie man die Konvergenuz einer Folge nachweist und was man da für Abschätzungen benutzt.

P.S: Graph, nicht Graf

10.07.2011, 11:28

wurmi86

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Jetz aber ganz unabhängig davon, dass ich offensichtlich nicht sooo viel über fixpunkte weis... smile

ich muss doch,ganz einfach gesagt, nach x umstellen um meine Funktion zu bekommen oder?
wie aber kommt mein Prof zu dieser Funktion? $\begin{eqnarray*} g(x)=-e^{x} \end{eqnarray*}$
die war schon vorgegeben. als ich mal nachgefragt habe, hat er nur gemeint, dass abartige schwere Funktionen nicht Gegenstand unsere numerischen Könnens sein wird. deswegen gibt es sowas auch mal vor
ber

10.07.2011, 12:30

Huggy

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Wenn du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2-e^{2x}= 0 \end{eqnarray*}$

in eine für die Iteration geeignete Form bringen willst, kannst du sie nach dem x in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auflösen oder nach dem x in $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ . In beiden Fällen ist der erste Schritt die Form

$\begin{eqnarray*} x^2=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun nach dem x in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auflösen willst, ziehst du die Wurzel. Da gibt es aber immer 2 Möglichkeiten, die positive Wurzel oder die negative Wurzel. Du bekommst also

$\begin{eqnarray*} (1) \quad x = \sqrt{e^{2x}} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} (2) \quad x = -\sqrt{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

(1) ist offenbar ungeeignet, da ja nach Aufgabe eine Lösung mit negativem x gesucht wird. Also kommt nur (2) in Frage. Nun kann man den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

noch vereinfachen und schon bist du am Ziel.

10.07.2011, 13:08

wurmi86

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Fantastisch. natürlich! Jetzt klingelt es.

und ich schäme mich im nachhinnein gefragt zu haben. hab nach dem wurzel ziehen das minus vergessen =)

vielen dank an alle helfenden!

10.07.2011, 14:22

Leopold

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Die erste Aufgabe geht zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} I = \left[ 0{,}4 \, ; 0{,}5 \right] \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{2 - \operatorname{e}^x} \, , \ x \in I \end{eqnarray*}$

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ sinnvoll definiert (die Radikanden sind positiv). Für die Ableitung errechnet man

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{2 - (x+1) \operatorname{e}^x}{2 g(x)} \end{eqnarray*}$

Der Nenner des Bruches ist in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stets positiv. Das Produkt $\begin{eqnarray*} (x+1) \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ bestimmt in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eine streng monoton wachsende Funktion, also ist der Zähler des Bruches streng monoton fallend. Da er für $\begin{eqnarray*} x=0{,}4 \end{eqnarray*}$ bereits negativ ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} g'(x) < 0 \, , \ \ x \in I \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend. Mit $\begin{eqnarray*} g(0{,}4) = 0{,}45 \ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(0{,}5) = 0{,}41 \ldots \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} g(x) \in I \end{eqnarray*}$ . Weiter sieht man, daß

$\begin{eqnarray*} \left| g'(x) \right| = \frac{(x+1) \operatorname{e}^x - 2}{2 g(x)} \, , \ x \in I \end{eqnarray*}$

streng monoton wächst (weil nämlich der Zähler streng monoton wächst und der Nenner streng monoton fällt). Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} \left| g'(x) \right| \leq \left| g'(0{,}5) \right| = 0{,}56 \ldots < 1 \end{eqnarray*}$

Damit sind für

$\begin{eqnarray*} g: \ I \to I \, , \ \ x \mapsto g(x) \end{eqnarray*}$

alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

10.07.2011, 16:21

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
Die erste Aufgabe geht zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} I = \left[ 0{,}4 \, ; 0{,}5 \right] \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{2 - \operatorname{e}^x} \, , \ x \in I \end{eqnarray*}$

Auch das naheliegende

$\begin{eqnarray*} x=\ln(2-x) \end{eqnarray*}$

tut es, noch dazu im gesamten Intervall [0, 0.9].

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