Carathéodory-meßbar

09.07.2011, 19:33

Gast11022013

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Carathéodory-meßbar

Meine Frage:
Hallo, ich wiederhole gerade ein bisschen Maßtheorie und bin auf folgende Aufgabe gestoßen.

Zitat:

Forster, Analysis 3, 6. Auflage

Sei $\begin{eqnarray*} \mu^{*}:\mathcal{P}(\Omega)\to \overline{\mathbb R_{+}} \end{eqnarray*}$ ein äußeres Maß. Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subset \Omega \end{eqnarray*}$ heißt Carathéodory-meßbar bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu^{*} \end{eqnarray*}$ , falls

(*) $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\backslash A) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Man zeige:

Ist $\begin{eqnarray*} \mu:\mathcal{U}\to \overline{\mathbb R_{+}} \end{eqnarray*}$ ein Maß auf einer $\begin{eqnarray*} \sigma - \text{Algebra} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}\subset \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu^{*}:\mathcal{P}(\Omega)\to \overline{\mathbb R_{+}} \end{eqnarray*}$ das zugeordnete äußere Maß, so ist jedes $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{U} \end{eqnarray*}$ Carathéodory-meßbar.

Hinweis: Es genügt die Bedingung (*) für den Fall nachzuprüfen, dass $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)<\infty \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich muss ja nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ gilt.

Für das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ habe ich die Subadditivität des gegebenen äußeren Maßes benutzt:

Schreibe $\begin{eqnarray*} X=(X\cap A)\cup (X\backslash A) \end{eqnarray*}$ , so folgt für (*) das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\mu^{*}\left((X\cap A)\cup (X\backslash A)\right)\leq \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\backslash A) \end{eqnarray*}$ aufgrund der Subadditivität.

Wie kann man nun $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ zeigen?
Da habe ich bis jetzt keinerlei Ansatz.

Über eine Hilfe würde mich mich da sehr freuen!

09.07.2011, 20:54

freaky89

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nur ne idee
hi kannst du nich einfach das so machen??

erstmal schreibst du es als $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$

und ich denke mir dann mal mit der def. des äußeren maßes:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C})=\inf\left\{\mu(X\cap A): ...\right\}+\inf\left\{\mu(X\cap A^{C})\right\}\leq \mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C})=\mu((X\cap A))\cup (X\cap A^{C})=\mu(X) \end{eqnarray*}$

was sagen die matheexperten dazu?
vllt is es eine hilfe.
wenns falsch is, hab ichs versucht.^^

09.07.2011, 21:39

Gast11022013

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Danke für Deinen Versuch!

Aber da sehe sogar ich, dass das falsch ist. unglücklich

unglücklich

09.07.2011, 22:07

gonnabphd

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Hi,

Für die Rückrichtung, wähle ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und nimm eine messbare Überdeckung von X, so dass

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \sum_j \mu(X_j)+\varepsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt starr' die Überdeckungen $\begin{eqnarray*} X\cap A \subset \bigcup_j X_j \cap A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X\setminus A = X \cap A^c \subset \bigcup_j X_j \cap A^c \end{eqnarray*}$ für eine Weile intesiv an, bis sie mit der Lösung rausrücken...

09.07.2011, 22:53

Gast11022013

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Ich versuch`s!

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\inf\left\{\mu(\bigcup X_j+\varepsilon):X\subset \bigcup X_j+\varepsilon\right\} \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat irgendeine Überdeckung $\begin{eqnarray*} \bigcup X_j+\varepsilon \end{eqnarray*}$ , genau genommen müsste man noch das Infimum immer dazu schreiben, oder? Naja, oder man denkt es sich einfach dazu, dass das $\begin{eqnarray*} \underbrace{\bigcup X_j+\varepsilon}_{=\sum X_j + \varepsilon} \end{eqnarray*}$ einfach als das Infimum gewählt ist. Korrekt?

Und dann mal weiter:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C})=\inf\left\{\mu(\bigcup (X_j\cap A): ... \right\}+\inf\left\{\mu(\bigcup (X_j\cap A^{C}):... \right\}\leq \bigcup (X_j\cap A)+\bigcup (X_j\cap A^{C})=\sum (X_j\cap A)+\sum (X_j\cap A^{C})=\sum (X_j)\leq \sum X_j+\varepsilon=\mu^{*}(X) \end{eqnarray*}$

Jetzt Epsilon gegen Null laufen lassen?

Also mir ist, wie gesagt, noch das mit dem Infimum am Anfang ein bisschen unklar.

10.07.2011, 00:30

gonnabphd

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Also..... Was du da schreibst, musst du mir erst noch erklären. Das macht mal überhaupt keinen Sinn. verwirrt

verwirrt

Mal ne doofe Frage: Verstehst du überhaupt, was ein äusseres Mass ist?

Ich mein, schon hier machts keinen Sinn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\inf\left\{\mu(\bigcup X_j+\varepsilon):X\subset \bigcup X_j+\varepsilon\right\} \end{eqnarray*}$

Die X_j sind Teilmengen von Omega. Das epsilon ist eine kleine positive Zahl. Was addierst du da denn?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\bigcup X_j+\varepsilon}_{=\sum X_j + \varepsilon} \end{eqnarray*}$

?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C})=\inf\left\{\mu(\bigcup (X_j\cap A): ... \right\}+\inf\left\{\mu(\bigcup (X_j\cap A^{C}):... \right\}\leq \bigcup (X_j\cap A)+\bigcup (X_j\cap A^{C})=\sum (X_j\cap A)+\sum (X_j\cap A^{C})=\sum (X_j)\leq \sum X_j+\varepsilon=\mu^{*}(X) \end{eqnarray*}$

??? o.O

Also mein lieber Scholli...

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10.07.2011, 11:22

Gast11022013

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Dann weiß ich nicht, wie ichs machen muss.

Du hast zwar schon einen Tipp gegeben, aber den verstehe ich dann nicht.

Vielleicht kannst Du ja nochmal aktiv werden?

Ansonsten muss ich mich wohl einfach mal geschlagen geben.

Edit:

Um das erstmal zu verstehen:

Zu zeigen ist doch, dass

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)=\inf \sum_{j}\mu(X_j)\geq \overbrace{\inf \sum_{j}\mu(X_j\cap A)}^{=\mu^{*}(X\cap A)}+\overbrace{\inf \sum_{j}\mu (X_j\cap A^{C})}^{=\mu^{*}(X\cap A^{C})} \end{eqnarray*}$ ??

Wobei $\begin{eqnarray*} X\subset \bigcup_{j}X_j \end{eqnarray*}$
und ebenso $\begin{eqnarray*} (X\cap A)\subset \bigcup_{j}(X_j\cap A) \end{eqnarray*}$
sowie $\begin{eqnarray*} (X\cap A^{C})\subset \bigcup_{j}(X_j\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$ .

D.h., da habe ich einfach erstmal die Definition des äußeren Maßes eingesetzt und eine Überdeckung für X angenommen und daraus dann Überdeckungen für $\begin{eqnarray*} X\cap A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X\cap A^{C} \end{eqnarray*}$ gemacht.

10.07.2011, 14:14

gonnabphd

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Ja, geht doch. Was du im Edit geschrieben hast, ist vollkommen richtig (wieso nicht von anfang an so?). Freude

Freude

Allerdings sollte die Überdeckung von X nicht beliebig sein, sondern eine fast optimale. Das Problem ist das folgende: man wird keine Überdeckungen von den beiden Mengen $\begin{eqnarray*} X\cap A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X\cap A^{C} \end{eqnarray*}$ finden, welche ein Mass kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \end{eqnarray*}$ haben (zumindest nicht im Allgemeinen).

Allerdings kann man das fast schaffen. Denn zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ kann man Überdeckungen der beiden Mengen finden, so dass deren Mass kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) + \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Nun habe ich dir hierzu den Tipp gegeben, wie du solche zwei Überdeckungen finden kannst. Dazu wähle ersteinmal eine Überdeckung von X

Zitat:

Wobei $\begin{eqnarray*} X\subset \bigcup_{j}X_j \end{eqnarray*}$

welche bis auf Epsilon an das Infimum herankommt, d.h. so dass

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) + \varepsilon \ge \sum_j \mu(X_j) \end{eqnarray*}$

Und nun versuch nochmal über die daraus entstehenden (messbaren) Überdeckungen von
$\begin{eqnarray*} (X\cap A)\subset \bigcup_{j}(X_j\cap A) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (X\cap A^{C})\subset \bigcup_{j}(X_j\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$
zu meditieren.

10.07.2011, 15:10

Gast11022013

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Ich habe sehr lange gebraucht um das mit dem Epsilon zu verstehen.

Und ich bin jetzt zu Folgendem gekommen:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)+\varepsilon\geq \sum_{j}\mu(X_j)=\sum_{j}\mu((X_j\cap A)\cup (X_j\cap A^{C}))=\sum_{j}\mu(X_j\cap A)+\mu(X_j\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j}\mu(X_j\cap A)+\sum_{j}\mu(X_j\cap A^{C})\geq \inf \sum_{j}\mu(X_j\cap A)+\inf \sum_{j}\mu(X_j\cap A^{C})=\mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \to 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann die Behauptung.

Die Schwierigkeit hierbei war für mich den Ansatz zu verstehen, den ich mir jetzt so erkläre:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X) \end{eqnarray*}$ ist ja das Infimum der Summen über $\begin{eqnarray*} \mu(X_j) \end{eqnarray*}$ . Wenn man hierzu nun ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ addiert, ist dies kein Infimum mehr.
Man hat dann irgendeine Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{j}\mu(X_j) \end{eqnarray*}$ , die zwischen $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)+\varepsilon \end{eqnarray*}$ liegt und daher $\begin{eqnarray*} \leq \mu^{*}(X)+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Soweit meine Überlegungen.

Dennoch muss ich sagen, dass ich auf diese Idee mit dem Epsilon nicht gekommen wäre. Das ist dann wohl die hohe Kunst der Mathematik, die mich leider nicht
anfliegen will...

10.07.2011, 15:28

Gast11022013

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Ich würd schon auch gerne noch verstehen, wie man auf diese Idee hätte selbst kommen können. Daher nochmal eine Frage.

Zitat:

Original von gonnabphd
[...] man wird keine Überdeckungen von den beiden Mengen $\begin{eqnarray*} X\cap A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X\cap A^{C} \end{eqnarray*}$ finden, welche ein Mass kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \end{eqnarray*}$ haben (zumindest nicht im Allgemeinen).

Wieso?

Wieso ist das nur mit dem Weg über das Epsilon zu zeigen?

10.07.2011, 15:57

gonnabphd

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Zitat:

Wieso?

Es gilt ja immer

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \end{eqnarray*}$

dann kann man maximal Gleichheit in die andere Richtung zeigen. Und um Gleichheit zu zeigen, braucht man zwei Überdeckung, wo das Infimum auch tatsächlich angenommen wird, d.h. das Infimum muss dann ein Minimum sein. Im Allgemeinen existiert aber kein Minimum, d.h. für alle abzählbaren Überdeckungen muss dann "<" dastehen.

Wie man auf den Trick mit dem Epsilon kommt: Ich habe mir genau obige Überlegung gemacht und so gesehen, die rechte Seite i.A. für jede Überdeckung echt grösser sein muss als die linke Seite. D.h. man muss versuchen, nachzuweisen, dass das Infimum rechts gerade das äussere Mass von X sein muss. Das bedeutet nun jedoch nach Definition, dass man zu jedem Epsilon zwei Überdeckungen finden muss, so dass das Mass dieser $\begin{eqnarray*} \le\mu^\ast(X) + \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

So ganz grundsätzlich gehören solche Tricks mit der Zeit einfach ins Repertoire, denke ich (nachdem man sie einige Male in Beweisen gesehen hat, kommen sie einem bei Gelegenheit dann in den Sinn).

Ähnliche Tricks werden in der Masstheorie immer wieder verwendet. z.B. wenn man zeigen will, dass eine positive Funktion g fast überall = 0 ist, und man keinen direkten Beweis findet, dann zeigt man häufig, dass die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} \{x \, |\, g(x) > \frac1n\} \end{eqnarray*}$ für jedes natürliche n eine Nullmenge ist (das ist häufig viel leichter zu zeigen).

Edit: Der Beweis sieht übrigens gut aus.

10.07.2011, 17:24

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

Wieso?

Es gilt ja immer

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \end{eqnarray*}$

Okay, das verstehe ich noch: Subadditivität halt.

Zitat:

dann kann man maximal Gleichheit in die andere Richtung zeigen.

Das verstehe ich nicht. unglücklich

unglücklich

Wie meinst Du das?

Zitat:

Und um Gleichheit zu zeigen, braucht man zwei Überdeckung, wo das Infimum auch tatsächlich angenommen wird, d.h. das Infimum muss dann ein Minimum sein.

Auch das ist mir nicht klar. Wieso muss es ein Minimum sein?

11.07.2011, 14:03

Gast11022013

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Also zu zeigen ist ja: $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)\geq \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid, wenn ich nochmal störe!

Aber kannst Du nochmal (vielleicht einfacher?) erklären, wie man auf die Beweisidee mit dem Epsilon kommt? Ich habe Deine letzten Erklärungen leider nicht verstehen können.

11.07.2011, 15:48

gonnabphd

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Hm....

Zitat:

Original von gonnbphd
Es gilt ja immer
$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dennis2010
Also zu zeigen ist ja: $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(X)\geq \mu^{*}(X\cap A)+\mu^{*}(X\cap A^{C}) \end{eqnarray*}$ .

Wenn obiges immer gilt, dann kann man doch unten unmöglich zeigen, dass es Überdeckungen von den Mengen rechts gibt, so dass deren Mass kleiner als das äussere Mass von X (links) ist. Denn das Mass jeder Überdeckung ist grösser als das Infimum über alle Überdeckungen.

Und aufs Epsilon kann man z.B. kommen, wenn man sich die Definition des Infimums mal anschaut. Aber "wie kommt man auf etwas" ist eine schwierige Frage.
Die Zeiten mit den Rezepten fürs Lösen von Aufgaben sind mit dem Gymnasium echt vorbei und danach ist das eine Mischung von "sich Tricks in Beweisen merken", Analogien zu anderen Aufgaben herstellen, ein Gefühl für die mathematischen Objekte entwickeln, Kreativität, viel Überlegen, mit allen Definitionen vertraut sein... halt Mathematik, ne.

11.07.2011, 15:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd

Wenn obiges immer gilt, dann kann man doch unten unmöglich zeigen, dass es Überdeckungen von den Mengen rechts gibt, so dass deren Mass kleiner als das äussere Mass von X (links) ist. Denn das Mass jeder Überdeckung ist grösser als das Infimum über alle Überdeckungen.

Ich glaube, ich habe wirklich ein Brett vorm Kopf. Ein riesengroßes.

Ich versteh das nicht.

Aber man kanns vermutlich nicht besser erklären.

Man kann es nicht zeigen... aber man zeigt es doch dann? Man zeigt doch am Ende, dass die linke Seite größer gleich der rechten Seite ist... traurig

traurig

unglücklich

11.07.2011, 16:02

Gast11022013

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Okay, das "kleiner" kann man also nicht zeigen. Das verstehe ich jetzt.

Aber das "gleich" muss man zeigen.

Und wie? (Ich weiß, Du hattest da schon etwas zu erklärt. Aber ich verstehe das nicht, warum es dann Minima sein müssen und wieso die rechte Seite dann immer "<" gilt.)

11.07.2011, 16:29

Gast11022013

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Ich frag lieber nochmal konkreter:

Das "gleich" ist also zu zeigen.

1.) Wieso muss man zwei Überdeckungen finden, die das Infimum auch annehmen?

2.) Wie kommst Du darauf, dass dann i.A. "<" gilt.

11.07.2011, 17:18

Gast11022013

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Hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen:

Wenn man Gleichheit zeigen will, dann müssen ja die Überdeckungen links und rechts übereinstimmen und also muss zum Beispiel die rechte Seite auch den Wert der linken Seite annehmen.

Dies ist die eine Sache, dass also Minima vorliegen.

Die andere (allgemeinere) Situation ist, dass dieses Infimum von der rechten Seite nicht angenommen wird, dann ist diese größer als dieses Infimum der linken Seite (kleiner geht ja nicht, wegen der Subadditivität, d.h. wegen der anderen Richtung, die schon bewiesen ist.).

Meinst Du das so?

Und dann dazu die Definition von "Infimum" (größte untere, wenn man was zu addiert, ists keine untere Schranke mehr und man findet eine Überdeckung, die kleiner gleich dem Infimum der linken Seite plus Epsilon ist), dann könnte man auf die Idee mit dem Epsilon gekommen sein... könnte. :-)

11.07.2011, 17:41

gonnabphd

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Zitat:

1.) Wieso muss man zwei Überdeckungen finden, die das Infimum auch annehmen?

Man muss nicht solche Überdeckungen finden. Man kann sogar in der allgemeinen Situation keine solchen "optimalen" Überdeckungen finden. (Das ist halt, weil es keinen Grund gibt, weshalb das Infimum angenommen werden sollte. Das es tatsächlich so ist, könnte man mit einem Beispiel belegen, aber dazu habe ich wirklich keine Lust - jedenfalls muss man dafür in die schrecklichen Abgründe der nicht-messbaren Mengen absteigen)

Was ich gesagt hatte: Man braucht den Epsilontrick, weil man im Allgemeinen keine optimalen Überdeckungen (solche wo das Infimum angenommen wird) finden kann. D.h. man muss diesen Umweg gehen und kann nicht die Gleichheit irgendwie "direkt" zeigen.

Zitat:

2.) Wie kommst Du darauf, dass dann i.A. "<" gilt.

Ganz allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \end{eqnarray*}$

Wählt man nun beliebige messbare Überdeckungen $\begin{eqnarray*} X\cap A \subset \bigcup_i B_i, \; X\cap A^c \subset \bigcup_j C_j \end{eqnarray*}$ , so folgt also

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) \le \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \le \sum_{i} \mu(B_i) + \sum_{j} \mu(C_j) \end{eqnarray*}$

Ist X nicht messbar, so kann man das letzte $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ersetzen. Also steht in diesem Falle für jede Überdeckung

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) < \sum_{i} \mu(B_i) + \sum_{j} \mu(C_j) \end{eqnarray*}$

Und da X im Allgemeinen nicht messbar ist, ist das halt dann so.

Du kannst aber auch ohne alle diese Überlegungen - welche ich mir wohl implizit gemacht habe - (z.B. an einer Prüfung) auf den Epsilontrick kommen:

Schreib' dir z.B. einfach mal die Definitionen von den Begriffen hin, welche dir gegeben sind und was du zeigen sollst (das würde ich ganz allgemein als erstes machen, wenn du den Lösungsweg nicht eh schon siehst, oder du überhaupt gar keine Idee hast).

Zitat:

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) = \mu^\ast(X\cap A) + \mu^\ast(X\cap A^c) \end{eqnarray*}$

gegeben: A messbare, X beliebige Menge

$\begin{eqnarray*} \mu^\ast(X) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \mu(X_i) \, \Big|\, X_i \in\mathcal U, \; X \subset \bigcup_{i = 1}^\infty X_i \right\} \end{eqnarray*}$

Und was kann man jetzt schon gross machen? Man hat ja nur zwei Sachen gegeben und nur eine Definition. Da sind die Möglichkeiten echt begrenzt (das ist häufig der Fall bei solchen Aufgaben). Die eine Richtung sieht man ja gleich, wegen der Subadditivität.

Und dann steht man vor der Rückrichtung und ist erst mal planlos.
Dann probiert man halt mal wild drauf los! Man kann fast nicht anders, als sich erstmal eine gute Überdeckung von X schnappen, eine von X geschnitten A und eine von X geschnitten mit A^c - sagen wir die optimal sind bis auf ein Epsilon > 0.

Und dann würfelt man mal ein bisschen rum mit denen. Man versucht z.B. verfeinerte Überdeckungen aus diesen Überdeckungen zu konstruieren und sieht das es nichts bringt und dann hantiert man weiter rum und versucht die verschiedenen Überdeckungen miteinander in Verbindung zu bringen...
Bis man plötzlich erkennt, dass man eigentlich für die rechte Seite gar keine guten Überdeckungen braucht, weil man aus der einen ursprünglichen für X ganz leicht zwei Überdeckungen für die anderen bauen kann und dann schaut man, was denn nun für diese Überdeckung gilt und sieht, dass es so wirklich klappt.

Besser kann ich dir leider nicht erklären, wie ich persönlich solche Aufgaben löse. Ich mache mir halt klar, was gegeben ist und was ich zeigen will und dann jongliere ich solange mit Ideen herum bis ich ans Ziel gekommen bin.

Da diese Art von Aufgaben wie hier meist nur einen einzigen Schritt oder zwei brauchen, reicht es meist schon sich einfach die Definitionen aufzuschreiben und mal den offensichtlichen Schritt zu machen (z.B. wähle fast optimale Überdeckungen). Dann spielt man halt so lange damit herum, bis man sieht wie's gehen könnte.

11.07.2011, 21:17

Gast11022013

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Danke für die große Hilfe.

[Das klingt alles so locker flockig.

Mal schauen, so leicht ist es jedenfalls für mich nicht.]

11.07.2011, 22:27

gonnabphd

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Kein Problem.

Zitat:

Das klingt alles so locker flockig.

Locker bleiben ist das A und O, ist schliesslich nur Mathe... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und in Panik denkt sich's auch nicht so gut, wie ich finde.

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