120 Grad bei "Fermatpunkt" |
09.07.2011, 22:09 | El | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
120 Grad bei "Fermatpunkt" Ich würde gerne wissen, wie man herausgefunden hat, dass ein Punkt im Dreieck, bei dem die Summe der Abstände zu den Ecken minimal ist, jeweils diese drei 120 Grad-Winkel hat (Fermatpunkt)? Ich habe schon sehr viel herumgesucht und -probiert, finde aber nur immer die Meinung Grusons, der behauptet hat, dass die drei Winkel an diesem Punkt 120 Grad sein soll :/ Gibt es eigentlich auch Lösungen zu einem "Fematpunkt" in einem Körper? Würde mich mal interessieren ^^ LG Kel 8) |
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09.07.2011, 23:15 | https://mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, gleichseitige Dreiecke haben 3 60° große Winkel. Zeichnet man die jeweiligen Umkreise der Dreiecke, so schneiden sie sich paarweise in 2 Punkten, einer davon ist der Fermatpunkt. Die gleichseitigen Dreiecke kann man nun mit diesem Punkt zu Vierecken mit diesem Eckpunkt ergänzen. Alle Seiten dieses Vierecks sind Sehnen des jeweiligen Kreises - Und gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck ergänzen sich zu 180°. -> 180°-60°=120° \https// |
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09.07.2011, 23:26 | El | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort Nur kannte ich diese Tatsache; ich hab die Frage anscheinend etwas unglücklich gestellt Ich wollte eher wissen, wieso denn nun genau bei diesem Punkt die Summe der Entfernungen minimal ist ? |
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09.07.2011, 23:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
fermatpunkt |
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10.07.2011, 02:00 | El | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah cool, vielen herzlichen Dank für eure Hilfe Gute Nacht! |
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11.07.2011, 20:08 | Schwierig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fermatpunkt in einem Körper? Müsste eigentlich möglich sein. Vielleicht muss dieser "Fermatpunkt" im Raum auch im Winkel von 120° zu allen (mindestens 4) Punkten liegen.... |
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11.07.2011, 20:45 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
fermat im tetraeder HAL 9000 |
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12.07.2011, 08:17 | peter*3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte auch noch ein Frage dazu: Gibt es eine einfache Möglichkeit zu zeigen, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck der Fermatpunkt auf der Mittelsenkrechten der "freien" Seite, also der Symmetrieachse des Dreiecks, liegt? Bitte ohne darauf zurückzugreifen, dass die Winkel am Fermatpunkt 120° sind, das hatten wir nämlich nicht in der Schule. (Dort hieß es auch nicht Fermatpunkt, sondern der Punkt, der Summe der Abstände zu den Ecken minimiert, aber soweit ich weiß ist das das gleiche). Irgendwie scheint die Sache ja offensichtlich, aber wir sollen eine elementargeometrische Begründung suchen und da scheitere ich. |
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12.07.2011, 09:45 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, man kann relativ einfach zeigen, dass jeder Punkt außerhalb dieser Mittelsenkrechte nicht optimal ist: Sei gleichschenklig mit , also Basisseite und deren Mittelsenkrechte , sowie der Fermatpunkt dieses Dreiecks. Angenommen, es gelte nun , dann kann man von auf das Lot fällen und erhält Lotfußpunkt . Nun kann man zeigen sowie , woraus folgt, womit der Minimaliät des Fermatpunktes widerspricht. |
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13.07.2011, 15:04 | Schwierig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gilt leider nur bei 4 kongruenten Dreiecken. Wie sieht es denn mit 2 paarweisen kongruenten Dreiecken aus? Oder allgemein bei beliebiger Lage der 4 Punkte? |
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