lineare abbildung, kern image, projektion

17.12.2006, 11:52	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abbildung, kern image, projektion hallo alle zusammen, also, ich habe keine idee, wie ich diese Aufgabe lösen könnte: Im Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ seien die Vektoren $\begin{eqnarray} x_1 := (1,-1,-1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2 := (2,2,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_3:= (3,2,-2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1 := (1,-2,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_2 := (2,1,1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_3 := (3,-1,1) \end{eqnarray}$ gegeben. a) Zeigen Sie , dass es genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \phi (x_i) = y_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq 3 \end{eqnarray}$ und berechnen Sie $\begin{eqnarray} \phi (v) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} v := (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ b) Bestimmen sie jeweils eine Basis von $\begin{eqnarray} ker \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} im \phi \end{eqnarray}$ c) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine Projektion ist. mir wäre es ganz lieb, wenn ihr mir tipps bzw. hilfestellungen geben könntet. wie ich diese aufgabe anpacken sollte. Und schöner wäre es, wenn wirmit der b) anfangen könnten, da ich glaube ich diese am ehsten hinbekommen zu können. wie eine basis berechnet werden soll, weiß ich ja irgendwie. nur ich verstehe das nicht mit kern und image. habt ihr ein paar ideen? gruß Martin
17.12.2006, 11:59	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ohne mir die Vektoren genauer anzusehen, kann ich Folgendes allein aus der Aufgabenstellung folgern: Die Vektoren $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ bilden eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray} y_1,y_2,y_3 \end{eqnarray}$ sind linear abhängig ( $\begin{eqnarray} y_1+y_2=y_3 \end{eqnarray}$ ). b) und c) sind dann wieder Standardaufgaben. Gruß, therisen
17.12.2006, 12:03	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, gut. abgesehen davon, wie du nun das siehts, dass die jeweiligen vektoren eine basis bilden und die y vektoren linear abhängig sind(wie sieht man das?), wie kann ich mit diesem wissen eine basis von kern und image phi berechnen
17.12.2006, 12:21	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht man, wenn man das nötige Hintergrundwissen über lineare Abbildungen hat Du solltest das erstmal nachweisen, was ich oben geschrieben habe. Um die b) zu lösen, solltest du erst die a) gemacht haben (die Reihenfolge hat schon ihren Sinn ). Gruß, therisen

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