Abbildung von R^2 -> R untersuchen

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antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung von R^2 -> R untersuchen
Meine Frage:
Liebe Forum-Gemeinde,

ich habe von meiner Professorin eine Aufgabe bekommen, die ich nun lösen soll.
Hier einmal die Aufgabe Sei gegeben durch und gegeben durch
Zeichnen Sie den Graphen von f. Können Sie auch den Graphen von g skizzieren?\\
Bestimmen Sie die Ausdrücke und .\\
Untersuchen Sie die Abbildungen f und g auf Injektivität und Surjektivität.\\
Geben Sie, wenn möglich, und an.
Nun komme ich nicht so richtig weiter.


Meine Ideen:
Also ersteinmal sind dies beides ja Funktionen, die eigentlich schon mal perse nicht so einfach graphisch darzustellen sind. Bei der f((x,y)) handelt es sich ja um alle Punkte einer Ebene, die auf eine reelle Zahl abgebildet werden. Ich stelle mir da grad irgendwie ne Art Gerade vor, wobei die ja dann wieder zweidimensional wäre? Da komm ich schon mal nicht weiter. Bei der g((x,y)) habe ich so gar keine Idee. bei den Umkehrabbildungen bin ich auch überfragt. Ich weiß, dass ich bei f alle (x,y) finden muss auf die 4 abgebildet wird. Das sind z.B. (8,4) oder (9,5) usw. aber wie schreibe ich das formal? Genauso bei der g.....und der rest überfordert mich auch grad.....
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh...anscheinend ist die Aufgabe wohl nicht ganz ohne:-( Schade...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Zeichnen sag ich mal nichts, 3-dimensional Zeichnen ist nicht mein Ding.

f^-1({4}) hast du schon mal nicht schlecht bestimmt, das sind alle Zahlen, in denen x genau um 4 größer ist als y. Kannst du das als Formel ausdrücken?

g^-1({(1,1)}) kann ich mit hinschauen bestimmen, das ist ein lineares Gleichungssystem.

Was hast du als Theorie für die Injektivität und Surjektivität zur Verfügung?

Die Kompositionen angeben ist nur ausführen bzw. verstehen der Definition.
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

OK ich versuche mal wiederzugeben was ich bisher habe!
Also zu der Zeichnung habe ich was mit Mupad hinbekommen.
Nun die Umkehrabbildungen:

kann man das so schreiben? Die Menge 4 wird hier also auf die Gerade abgebildet.

Stimmt das so? Das kommt mir grad irgendwie zu einfach vor. Aber was anderes geht ja nicht. Ich habe ja das GLS: und Wenn ich das auflöse, bekomme ich für heraus.
Zu der Frage nach Injektivität und Surjektivität:
Also ich weiß hier immernoch nicht weiter, aber meine Definitionen, die ich habe, sind folgende:
{injektiv} : für alle
surjektiv : zu jedem exisitert ein \mit
Wie man das jetzt beweist weiß ich nicht. Beweise sind einfach nicht so mein Ding. Mir fehlt immer total der Ansatz
Zu den Verknüpfungen: geht meiner Meinung nach nicht! da das ja heißt und das geht ja nicht......


So das sind meine bisherigen Ergebnisse. Was meint ihr, stimmt das so? Und kann mir jemand bei dem Beweis bzw. der Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität helfen?

GlG
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt alles, bis auf die Komposition. g(x+y,x-y) hast du falsch berechnet, du hast z.B. (x+y)+y geschreiben statt (x+y)+(x-y). Beachte dass das "neue" y eben jetzt (x-y) ist. Du musst schon beide ersetzen Augenzwinkern

Injektiv von f hast du bereits wiederlegt, musst nur sehen wo Augenzwinkern
Für die Surjektivität von f mach dir einfach 1-2 Beispiele. Wie kann man beispielsweise (x,y) finden mit f(x,y) = 7?

Für injektiv/surjektiv von g mache dir mal klar dass es hier um eindeutigkeit/lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems geht.
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für deine Antwort:-) Das mit der Injektivität von f hab ich gerallt. f kann ja nicht injektiv sein, da ja mehrere Punkte auf 4 abgebildet werden siehe
Bei der Surjektivität haperts aber. Also ich bin mir sicher, dass f surjektiv ist, aber ich kann es irgendwie nicht allgemein zeigen. Wir müssen ja zeigen, dass für jedes ein Punkt aus existiert, der durch a ergibt. D.h. ich muss zeigen, dass für jedes a gilt oder????

Bei g bin ich überfragt. Was hat das GLS mit der Injektivität, bzw. Surjektivität zu tun? Ich hätte jetzt aber gesagt, dass g bijektiv ist, aber begründen kann ich das nicht, schon gar nicht formal:-(
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und a = x-y kannst du meinetwegen als lineares Gleichungssystem sehen. Hat dieses immer eine Lösung? Kannst du eine spezielle angeben?

Wenn g surjektiv sein soll, so muss die Gleichung g(x,y) = (a,b) für x,y lösbar sein.
Wenn g injektiv sein soll, so darf es maximal eine Lösung für die Gleichung g(x,y) = (a,b) geben.

Der Zufall ergibt sich halt, dass g so gewählt sind, dass diese Gleichungen ein lineares Gleichungssystem ergeben
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

OK also für f: da kann ich ja sagen, dass alle Punkte auf der Geraden auf a abgebildet werden. Reicht das für die Surjektivität????D.h. ja, dass jede reelle Zahl im Wertebereich durch Punkte aus dem Definitionsbereich der Gestalt, dass sie auf der Geraden liegen abgebildet werden oder?

zu g ich hab ja das GLS so und wenn ich jetzt verschiedene Punkte nehme, bekomme ich ja auch verschiedene Punkte raus, also injektiv. aber wie schreib ich das denn jetzt auf?
Oh man das nervt mich grad. Steh sowas von auf dem Schlauch:-(
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dir fehlen leider extrem die Kenntnisse aus der Schule unglücklich .

Gib doch einmal EINE Lösung von 5 = x-y an.

Und warum benutzt du beim LGS bei g x doppelt? Das Gleichungssystem heißt a = x+y und b = x-y. Mehr als Schulkenntnisse um dieses zu lösen braucht man aber nicht, ich vermute mal 9. Klasse oder so...
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, bin einfach überarbeitet im Moment.
Also eine Lösung von 5 wäre z.B. (9,4). ich weiß ja, dass es immer einen Punkt gibt, der auf eine reelle Zahl abgebildet wird, aber wie formulier ich das? Das ist ja mein Problem. Man muss ja zeigen, dass zu jedem element im wertebereich ein element aus dem definitionsbereich gehört, welches auf das element abgebildet wird.

zu g: Also die Lösung des GLS ist und so und weiter? Damit hab ch diede Surjektivität gezeigt, aber die injektivität?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ein einfachere Lösung für 5 ist doch (5,0). Eine Lösung für 6 wäre (6,0). Wie kann man eine allgemeine Lösung angeben?

Für die Injektivität von g hast du doch jetzt durch auflösen des LGS gesehen dass es nur eine Lösung gibt, das heißt doch gerade injektiv in diesem Fall
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich muss bald resignieren.
eine allgemeine Lösung? ich weiß nicht, worauf du hinaus willst? ich weiß nur, dass ist. Und wenn ich den Punkt (5,0) habe und wissen will auf welche reelle Zahl dieser abgebildet wird, rechen 5-0. Aber das bringt mich doch jetzt nicht weiter. vor allem, ich weiß ja schon, dass mehrere Punkte auf ein und dieselbe reelle Zahl abgebildet werden, aber ich kann es einfach nicht zeigen:-(

Mit der Injektivität von g hab ich das jetzt, denke ich, verstanden:-) DANKE!
Wobei ich jetzt immernoch denke, dass das GLS auch zeigt, dass es Surjektiv ist, oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Und das du nach all der Vorbeit nicht in der Lage bist zu sehen, dass f(a,0) = a gilt und damit f surjektiv ist....
antjeprincipessa Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke dir für deine Hilfe!!!!

Aber was ist denn, wenn ist?

Sorry, aber .... verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch nur ein Wertepaar (x,y) finden mit f(x,y)=a. Ich hab jetzt eben (a,0) genommen. Meinetwegen kannst auch (a+2,2) nehmen Augenzwinkern
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